2025年大学高数核心要点深度解析

第一讲:极限与持续一.数列函数:类型:L⑴数列*%=/〃；〃*%+i=/Q/x xx/x・0*分段函数*尸幻二3;*Fx=Cl X--X⑵初等函数:复合含/函数〃4y=/,u=px隐式方程5Fx,y=0⑹参式数一，二―变限积分函数「/力7/x=xjJ a00级数和函数数一，三:/,8Sx=2xeQn=0特性几何

2.⑴单调性与有界性鉴别;/⑴单调=定号vx0,x—//x—/%奇偶性与周期性应用.2,反函数与直接函数-13y=/x=x=/7y=y=/x二.极限性质类型含含土

1.*lim a;*lim/x x-iw;*lim fx x-4n«-00Xf8Jf—~无穷小与无穷大注无穷量

2..未定型一，3—1,

0.8,0°,0900-00,00°00,性质*有界性，*保号性，*归并性4三.常用结论111nan〃〃〃〉〃n〃〃〃n—1,0-1,”+b+ct max,Z7,c,—a0-0n\（）厂=/（夕），户）（）30^[a,/3]:s=d8+r2e d物理（数一，二）功，引力，水压力，质心，

4..平均值中值定理5—1lf[^Z]=-——\fxcbc;Jab-arx p7⑺力_[ftdt_[f皿---------，/认为周期:/=加--------2/[O+s=limT•2+8x T第四讲:微分方程一.基本概念常识:通解,初值问题与特解（注:应用题中的隐含条件）

1.变换方程

2.⑴令⑺，”（如欧拉方程）x=x=y=⑵令=〃羽=—如伯努利方程u y=y=yx,u.建立方程应用题的能力3二.一阶方程.形式1ly=/x,y;2ydx+Nx,ydy=0;3ya=b=J7xdrnGy=x+C.变量分离型2y=fxgyOz⑵“偏”微分方程｝=于（）x,y;ox（）解1一阶线性重点

3.y+pxy=q{x}（）解法（积分因子法）（）1M x=e⑵变化〃x+yx=qy;推广:伯努利数一a3y+pxy=qxy.齐次方程:户

①心4xdu

①〃一〃⑴解法〃M==+w=C,X⑵特例包=公+「4+dx a x+b y+c222全微分方程数一且辿=/以

5.Mx,ydx+Nx,ydy=0dx dyx0=y=cax一阶差分方程数三匕+]—

6.a”=bx px y=x〃QMxdU=Mdx+NdynU=C三.二阶降阶方程

1.=-y=Fx+c x+c12:令半=

2.y”=/x,V V=px ny”=fx,p dx:令

3.y”=/y,V V=py=y=p=fy,p dy四.高阶线性方程axy^+bxy+cxy=fx,通解构造1齐次解%=工+工16%2%非齐次特解2yx=qyx+c y x+y^x

22.常系数方程u2ay+b/+cy=fx特性方程与特性根21aA+bA+c=02非齐次特解形式确定:待定系数；附/%=能⑪的算子法由已知解反求方程.3欧拉方程数一2H,令2v

3.ax y+bxy*+cy=fx x=d=^x y=DD-ly,xy=Dy五.应用注意初始条件几何应用斜率,弧长，曲率,面积，体积；

1.注切线和法线的截距积分等式变方程含变限积分；

2.可设X[fxdx=Fx1Fa=OJ a.导数定义立方程3含双变量条件的方程/X+y=变化率速度

4.「2dv dx

5.F-ma--=--dt dt,途径无关得方程数一丝6=2ox oy级数与方程

7.1幕级数求和；2方程的幕级数解法:y=%+]工+2%2+・・・，%=yO,q=y0弹性问题数三

8.第五讲:多元微分与二重积分二元微分学概念极限,持续,单变量持续,偏导,全微分,偏导持续必要条件与充足条件，

1.f lim⑵纣,lim f=limx△J⑴纣=△，△，，△fx0+%,%+“^f=fx+%,%=//%+x0Ax叁鉴别可微性4fgx+fgy df,lim—,VU2+2X AJ注点处的偏导数与全微分的极限定义:0,0人,=加o=iim/a,oT°01339yx-0%-y-0特例:

2.孙2厂+广点处可导不持续;0,0*0,0点处持续可导不可微;0,00,=0,0二0,0,0二.偏导数与全微分的计算:.显函数一，二阶偏导1z=y注:⑴/型；含变限积分2z;3r%，为.复合函数的一，二阶偏导重点2z=f[ux,y\vx,y]纯熟掌握记号•九£,；亢，,心的精确使用/,

一、Fx,y,z=0形式*/羽1y,z=0;存在定理Gx,y,z=

0.隐函数由方程或方程组确定3⑵微分法纯熟掌握一阶微分的形式不变性规定二阶导F dx+F dy+F dz=Ox y z注/,%与的及时代入3z0会变换方程.4三.二元极值定义；.二元极值显式或隐式1必要条件驻点；1充足条件鉴别2,条件极值拉格朗日乘数法注:应用2目的函数与约束条件:或多条件1z=/x,y㊉0x,y=0,求解环节:以工,求驻点即可.2£x,y,2=fx y+4y,9有界闭域上最值重点.

3.⑴z=/x,y㊉eO={x,y[^x,yWO}实例距离问题2四.二重积分计算.概念与性质“积”前工作:1lJJdb,D对称性纯熟掌握域轴对称；奇偶对称；*字母轮换对称；*重心坐标;2分块”积分*=；*于分片定义；奇偶3“A u3x,y*/x,y.计算化二次积分2直角坐标与极坐标选择转换以“”为主；1互换积分次序纯熟掌握.

2.极坐标使用转换:223fx+y22附22；:二十二；D:x-af+y-b R41a b~双纽线特例:V+D X+y

14.y22=[2x2—y2（）单变量（）或（）1/x/y（）运用重心求积分:规定:题型，且已知的面积与与重心（）2{k,x+k y}dxdy,y2D无界域上的反常二重积分（数三）

5.五:一类积分的应用（（）n）J fM dbD;Q;L;T;L.“尺寸”（；（）曲面面积（除柱体侧面）；1Dj/dboS2D.质量,重心（形心）,转动惯量；2为三重积分,格林公式，曲面投影作准备.

3.第六讲:无穷级数（数一，三）一.级数概念8n定义:⑴伍〃},（）〃・・・（）〃（如£二——）

1.2S=4+%++%;3limS注:⑴）〃（或£，）;⑶“伸缩”级数:（）收敛o{%}收敛.Q£q£4+]-4ms J a.性质（）收敛的必耍条件〃〃〃一821lim=0;（）加括号后发散,则原级数必发散（交错级数的讨论）；2（），~，）；3~s,4^2«+1~s-s二.正项级数正项级数:（）定义:（）特性（）收敛（有界）L10;2S”/;3OSJM.原则级数⑴⑵⑶工木3Z5审敛措施注:2]nb]na

4.lab a+b\a=b」「（k P\n

（2）比值与根值*limS（应用嘉级数收敛半径计算）〃-8U⑴比较法（原理）估计），如,工就q~A三.交错级数（含一般项）（）〃+%〃（%）z—

1.审”前考察⑴〃⑵〃〃⑶绝对（条件）收敛10-0;注若则发散〃limNau pi,2%-8J.原则级数⑴（）〃+」；⑵（严；（）（向;l72Z TZ TL3Z—D n n In n莱布尼兹审敛法（收敛）

3.

（1）前提Z㈤发散；⑵条件q-0；

（3）结论Z（—l严为条件收敛・补充措施

4.（）加括号后发散,则原级数必发散；（）12s2n T s,f0=$2/1+1Ts=s fs.n.注意事项对比»〃；（）〃；£同；之间的敛散关系四.累级数5E T

4.常见形式1⑴⑵%儿⑶^卬仆一方产.阿贝尔定理2（）结论％=父敛=尺/一%;%散12=H M/（）注当工=条件收敛时21”=R=x-x.收敛半径，区间，收敛域（求和前的准备）3注⑴»犷，与同收敛半径Z%⑵〃与，（%））筋之间的转换Z«x—暴级数展开法

4.前提:熟记公式双向，标明敛域

111.9e—1+x H—x H—x+•••,Q=R2!3!24i^+^=l+—^+—x+...,0=/22!4!,1135-----24・・・，；cos x—\%H—%+O=R------・・，sin x—x x H—x—•Q=R2!4!一一e八=x3!H—H—5!/+・..Q=尺23!5!・・，；一••・，1+X++•X£—1,1—1—X+JC X£—1,1=—/—/一...,*£―lnl+x X1,1]2^

311.9—芳—lnl—x=—x—x[1,1231111T35rarctanx—x—xH—x—・・・，x£[—I,I]352分解:/x=gx+/zx注:中心移动尤其:—」-------------------,=玉ac+bx+c考察导函数全厂=「3gx x n/x gxta+/O J0考察原函数，4gx=f fxdxn fx=g xJ

0.幕级数求和法注:*先求收敛域，*变量替代5，is%=Z+Z2Sx=・・・,注意首项变化，3S%=Z的微分方程4Sx=Sx”应用⑴5Z4==S3=V.方程的幕级数解法

6.经济应用数三

7.复利〃现值:nI Al+p;2Al+pY=++£〃〃SL=]I.傅氏级数（三角级数）:n cos nx+b nsin nx五.傅里叶级数（数一）（〃）7=2泊充足条件（收敛定理）:

2.Hz/e/⑴由（）（）（和函数）/x nSx25x=1[fx-+/%+]I1an=—/x cos nxdx

3.系数公式4=TT J一乃:，〃=bn=l,2,3,…I C7T.—/x sin nxdx.题型注4/x=Sx,X£兀兀J—（I）T=2乃且/（x）=・・・，九£（—办》］（分段表达）⑵一肛或x ex£[0,27r]⑶正弦或余弦x e[0,7r]尢£[〃*40,»]7=*

5.T=2l

00.附产品:与6/xnSx=+V a cosnx+b sin nxn t1n nn=\00=SXo=+a cos+£n m°+sinnx07Z=1第七讲向量，偏导应用与方向导（数一）一.向量基本运算a-b a-b

3.a-b\投影:%=垂直:2_1_5=£-5=0；夹角4（肩万）=;（平行o办=）

1.k a+k b2a}

24.axb;（法向〃=〃XZ_LQ,〃；面积:S°=axb）;（单位向量（方向余弦）尸,

2.a cos a,cos cos7二.平面与直线平面口

1.（）特性（基本量））〃=（）1z°㊉AB,C方程点法式271:Ax-x+By-%+Cz-z=0=Ax+By+Cz+D=000（）其他:*截距式/+）+之=*三点式31;a bc,直线2L⑴特性（基本量）（）（（），，）（凡）M x%z°㊉s=m,p（）方程（点向式）入三殳=匕21==1⑶一般方程交面式[+二—Ax+B y+C z+D.=0yo}}X=q+%—其他*二点式；*参数式;附:线段的参数表达:{丁〃”，/4AB=4+4—£[0,1]Z=C]+C—C”.实用措施31平面束方程n:AjX+B^+CjZ+D,+Z24X+B^+C Z+D=02222++Ax1距离公式如点为到平面的距离2M x,d=00V A2+B2+C2对称问题；3投影问题.4三.曲面与空间曲线准备曲面

1.⑴形式或；注:柱面2:Fx,y,z=02=fx,y fx,y=0法向〃=月=或〃=一2q,g,,cos a,cos3,cos/-zj曲线

2.⑺X-XFx,yz=0⑴形式「＜⑺，或y=y zGx,y,z=0=zQ切向⑺⑺⑺或2s={x,y,z}s=4x%.应用3交线,投影柱面与投影曲线；1旋转面计算参式曲线绕坐标轴旋转；2锥面计算.3四,常用二次曲面圆柱面

221.x+y=R球面

222.x++z=R2变形2222口x+y=R-z,z=72—x+y2,2222+y+z=2az,X—X+y—%2+z—z=R-o0锥面:

223.z=yjx+y变形22222x+y=z,z-a-yjx+y.抛物面224z=x+y9变形2222x+y=z,z=a-x+y双曲面

2225.x+y=z±

1.马鞍面226z=x-y,^z=xy五.偏导几何应用曲面

1.⑴法向〃，注九,〃1%,y,z=0n=%4H,z=/y==£/,-1切平面与法线2曲线

2.切向1x=xQ,y=yQ,z=zZ=R=xyz切线与法平面2一一一[F=0综合

3.r:,s=rt x%G=Q/六.方向导与梯度重点方向导方向斜率L7⑴定义条件:7=m,n,p=cos a,cos cos/计算充足条件:可微2—=u cosa+u cos3+u_cos ydl“x x附=/%,〉，}」={z/°={cosasin ncos8+/sinevf合2附:=几23cosz8+2f sin9cos8+f sin6xy yyXnlim—=0,更^=lim0,—0f oo,x limx”=1,xx-+x eJQ10+〃Alimxln x=0,e f+ooXfo+四.必备公式:等价无穷小当〃（）时,

1.x-012sin ux〜;tan ux〜ux;1-coswx—u%;2*—1〜〃⑴；lnl+〃％~ux;arcsin wx〜“x;arctan wx〜ux泰勒公式

2.2；2lnl+x=x-JC+6x le=l+xH—x~+ox-;2!13sinx=—x+6x;、,114/S-------；4COS X—\X HX+QX2!4!，Ia+兀+“卜!51+x=1/+of.五.常规措施前提:⑴精确判断二（其他如・）（）变量代换（如:=）9,18HM8-8,08,0°,8°;2%0oo%00抓大弃小

（一）,

1.

00.无穷小与有界量乘积（）（注2crM sin—）-00X亡处理（其他如（），）

3.00左右极限（包括）

4.x-±oo:11⑴一（）（）（）；）（）分段函数:（）x-0;2/x-80;3x,[x],max f xx无穷小等价替代（因式中的无穷小）（注非零因子）

5.洛必达法则

6.0YIn xvln x⑴先“处理“，后法则（—最终措施）;（注意对比与）lim——lim——0—l-x i°l—x梯度获得最大斜率值的方向

2.G-.⑴计算:存=az=fx,y=gradz=f,f;xy于、,bu=x,y,z nG=gradu=uu,u z结论2⑷生常Edi3取二存为最大变化率方向；7为最大方向导数值.c,M0|第八讲:三重积分与线面积分数一一.三重积分冏Jjj V域的特性不波及复杂空间域

1.对称性重点含:有关坐标面；有关变量；有关重心1投影法2222D={x,y x+y R}©z,x,yzz x,yxy2截面法2223Dz={x,yx+yR z}®a zb其他长方体，四面体，椭球4的特性

2.f⑴单变量⑵⑶寸+/Z,/Y+y2,//+z2,4f=ax+by+cz+d选择最适合措施

3.积”前*运用对称性重点1“*jjj dv;Qrb细腰或中空，22截面法旋转体jj ady/z,/x+y2/=[dz J aDz投影法直柱体:时:3/=Jf dfdz「万个2pa cR球坐标球或锥体/=£于…4de]sinpdp^p2dp.重心法/=5ax+0y+cz+d:I=ax+by+cz+dV^应用问题

4.同第一类积分质量，质心，转动惯量，引力1公式2Gauss二.第一类线积分您JL.“积”前准备1⑴］杰=⑵对称性；⑶代入体现式L;t G[a,/]=[fds=1y⑺小/⑺+歹⑺山计算公式:

22.Ja.补充阐明:V=i3重心法1j ax+by+cds=ax+by+cL;L与第二类互换2jA-rdv A-6/r LL应用范围

4.第一类积分1柱体侧面积2Jzx,yds LJJ三,第一类面积分冏S z“积”前工作重点:L⑴代入JJdS=2;S:Fx,y,z=0对称性如:字母轮换,重心2分片3计算公式

2.=/=J]羽/羽％；1z=z y,x,y eD zx,yJl+z+zjdxdyxyDxy・Jj j]W d«与第二类互换不•就2S=四第二类曲线积分公+其中有向1:Jpx,y Qx,yWy LL,[X=xt rt

2.直接计算〈1\t:t-^t^I=\~[Px\t+Qy\t]dt}⑺y=y-J常见⑴水平线与垂直线；2/+y2=i公式

2.Green⑴j=Jj-^-冬；Pdx+Qdy dxdyLI8dP dQ..*—=—=换途径；*J2dy dyL4f8⑶!（Qx=P但内有奇点）（变形）vLL*=〃|（道路变形原理）⑴办=〃微分方程oRZx+Q d推广（途径无关性）:更=又

3.dy dy公+羽力与途径无关/待定微分方程.2j Px,yL应用

4.功环流量:有向I=F drF cI=P,Q,R,dr=Ms=dx.dy.dz r五.第二类曲面积分jj jj定义,或其中含侧

1.Pdydz+Qdzdx+Rdxdy R{x,y.zdxdy E计算

2.jj⑴定向投影（单项）（）办其中（羽）（尤其:水平面）;R x,y,z Uy,E:z=z y注垂直侧面,双层分隔合一投影多项，单层』2MjZ c—Z ynJJ=JJ[Pdydz+Qdzdx+Rdxdy P-z]+Q-z+R\dxdyy化第一类不投影3E n=cosa.coscos/=jjPdydz+Qdzdx+Rdxdy=jjPcos a+Qcos3+RcosydS公式及其应用:

3.Gazs在乙

①丁・二SQ dR散度计算——+上+——1divA=dx dydz⑵公式封闭外侧，内无奇点Gww2=田@Pdydz+Qdzdx+Rdxdy divAdvJJ+JJ;（）注*补充“盖”平面:*封闭曲面变形斑（含奇点）3Z%E通量与积分

4.有向九，O=jj A-dS EA=RQ,R,dS=ndS=dydz,dzdx,dxdy E六第二类曲线积分2:j Px,y,zd^+Qx,y,z4y+Rx,y,zdzr参数式曲线「直接计算代入

1.注当时，可任选途径；功环流量:1rotA=02I=^F drr公式规定「为交面式有向，所张曲面含侧

2.Stokes Z一_e dd⑴旋度计算7=VxA=———xP,a/ox dyozF=0一交面式一般含平面封闭曲线\=同侧法向〃=｛冗,工,｝或｛；22G,G,GJV）（）（）公式（选择j）A:-d~r=^yxA-klS rZ3StokesG=005〃化为++人化为尺工,丁衣弘由；化为口以上都是某些必备公式觉得学好微积分这些公式应当都要理解和使用（）幕指型处理:（严=心）…（如_姓=x（x+｝x））2“%6e e-l（）含变限积分;3（）不能用与不便用4•泰勒公式（皮亚诺余项）处理和式中的无穷小

7.极限函数/（幻=五（乂〃）（一分段函数）8111/〃一8六.非常手段.收敛准则:1⑴〃=/5n lim/%X-+X双边夹〃工〃〃〃Q*b a4g,“b,c f a单边挤:*尸%3a=fay0n+[n.导数定义洛必达包=/%2lim△△D%，111积分和

3.lim——+/-+-••+/-]=[f^dx,nnnn中值定理

4.lim[fx+a-/x]=a lim/J x-X—+co-级数和数一三

5.〃〃钙£2I收敛=如+外+…+〃=,limo”=0,lim——2limq〃一8〃foo HI8右n=\n=\8◎）｛%｝与〃一%）同敛散272=1七.常见应用无穷小比较（等价，阶）*/）~日〃,-）

1.0・・尸o/〃二1/0=/0=♦=i0=0J50=X==£+ax~xn\n\渐近线含斜

2.fx\⑴Q=lim-——-,b-lim[/x一ax]=/x-ax+b+ax—00%x—00------32f x—ox+/7+=,0x.持续性（）间断点鉴别（个数）；（）分段函数持续性（附:极限函数，/（）持续性）312x八.［凡切上持续函数性质连通性（［力］）=［］（注平均”值:（）+（））（））

1./m,M X/04v1,“4/1-4/S=/%介值定理:（附:达布定理）

2.⑴零点存在定理（））（）=（根的个数）；,fa/S0=//⑵/（尤）=（［于（））0=x dx=

0.第二讲:导数及应用（一元）（含中值定理）一・基本概念差商与导数（）/（%+△%）_/（%）；尸（/）=/（*）一〃%）

1./%=lim iim△X-04X x-x X-X o⑴尸（）i（X）i

（0）（注:（持续）=（）（））0=lim~lim3=A f/O=0J0=Ax-0%xx-0（）左右导（）£（%）；2Z x,0（）可导与持续；（在处，持续不可导；可导）.微分与导数△于=（△）3x=0x xx2f x+%:+-/（x）=/\x）AA o（^df=f\x）dx⑴可微O可导；（）比较，与的大小比较（图示）；2V4二.求导准备.基本初等函数求导公式；（注（（））f）1|/x|z/y|,法则（）四则运算；（）复合法则；（）反函数丁=2123一1dy y三.各类求导（措施环节）:•定义导⑴/（）与尸（刈；（）分段函数左右导；（）123lim］x=ahrOF x%w x注/%=,°,求:⑴及尸的持续性1%J xa x=xQ初等导（公式加法则）:

2.⑴〃切，求:〃图形题;=/[g x0⑵产（）可/⑺力，求:尸（）（注（］（］/（羽力），（］/⑺力））x XJa Ja JaJa（）X,一⑶、，、，求力（/），九（/）及尸（%）（待定系数）y=［力（）x X*隐式（（））导:学,卓3/%»=0ax dx1（）存在定理；1（）微分法（一阶微分的形式不变性）.2（）对数求导法.

3.参式导（数-，二）⑺求:孚名4:[/（[y=y0dx dx高阶导〃）（）公式

5.f x«）（〃）=n clx；（----）（〃）=....-ea（）n+a-hx a-hx（办）（〃）=n（）（）（n）n（办+—）sin asin oxH——xn;cos ax=acosxn22（次）（〃）=〃⑺u+C/〃T）J+C,d2）/，+…注/（“）（）与泰勒展式（）--------------------------------------n/x=a+ax+axH FaxQ]22n〃--------------------------------------------------------------d—=a=“Yl\四.各类应用,斜率与切线（法线）；（区别（）上点和过点的切线）1y=/x.物理:（相对）变化率—速度；

23.曲率（数一二）夕=—JLgL一（曲率半径，曲率中心，曲率圆）（7i+/,2（x））3边际与弹性（数三）（附:需求,收益,成本,利润）

4.五.单调性与极值（必求导）.鉴别（驻点/（））14=0:⑴（）＞＞（）；（）＜（）；/*%0=/%//x0n/x\（）分段函数的单调性2（））＞＞零点唯一;n（）＞＞驻点唯一（必为极值，最值）.3f\x0=/x0=极值点

2.⑴表格（（）变号）;（由汇区牛»汇学＞的特点）7x lim w0Jim0,limw0=x=0殉工fqX—X x4f\x\X⑵二阶导（尸（%）=）0注（）与尸，尸的匹配（图形中包括的信息、）;1//实例由确定点玉”的特点.2f\x+Ax/x=gx“x=闭域上最值应用例与定积分几何应用相结合,求最优3不等式证明/

3.20区别*单变量与双变量？万]与1X£[a,+8,X£-OO,+OO类型；2V0,ftz0^f0,fb0*/0Ja J310;*/UO,/,Uo=O,/X OO注意单调性端点值极值凹凸性.如注%〃3㊉㊉㊉WA/O£”©=,函数的零点个数:单调介值4㊉六,凹凸与拐点必求导!表格;〃%=

1.0,应用泰勒估计；单调；凹凸.212/3七.罗尔定理与辅助函数注:最值点必为驻点结论⑸

1.F=Fa=1©=/©=

0.辅助函数构造实例2J a⑵/CgC+f@g©=o n Fx=fxgx子33/©g©-/©g©=0nFx=gx⑹尸⑴=/%;4/C+//=o n/幻有〃+个零点%有个零点

3./0=0102特例:证明的常规措施:令有个零点尺%待定

4.fC=a Fx=/x-%4+

1.注:含半蜃时,分家!柯西定理5附达布定理:在口向可导,这可〃向,使:广©=

6.“X VcwS/®],c八.拉格朗日中值定理.结论〃；〃三1/S—/=/JS—Q0=43090•估计=2九.泰勒公式（连接了,尸,’之间的桥梁）r结论（）（）（）（）（）（）2）3；

1./x=f x+/,X J£-A+—/JC X-X+—/--Xo O OOO o•D•应用在已知/（〃）或/S）值时进行积分估计

2.十.积分中值定理（附:广义）［注:有定积分（不含变限）条件时使用］第三讲:一元积分学一\基本概念.原函数尸（）1X⑴尸x=/x;2f{x}dx=dFx;3j fxdx=Fx+c注⑴/（）「/⑺力（持续不一定可导）;x=J a（）「（「⑴出=（）（（）持续）2x ffx/xJ a J a不定积分性质

2.可j x=/x+⑴公=；公=于J,f%/x dJ/x xdx二.不定积分常规措施.熟悉基本积分公式1基本措施:拆线性性

2.=匕+履公j^/x+k gxdx J fxdxj gx2凑微法（基础）规定巧，简，活（元九）

3.l=sin2+COS2dx=—d{ax+b\xdx=-dx,—=d\nx,=a2xxX2,dx-d[\+x,1+Inxdx=dxlnx7Vl+x变量代换

4.常用三角代换，根式代换，倒代换1x=sint,Nax+b=t,—=t,Je+1=t x（）作用与引伸（化简）2Jd±1—x=t分部积分巧用:

5.含需求导的被积函数如⑴出;1In%,arctan xjfJ j反对幕三指n axn2“x edx,x Inxdx.⑶尤其，对‘⑴公*已知的原函数为/*已知/=尸幻/xx;sinx+4c°S公；Qf pxe八公，f pxsin axcbc迅速法;3j心dx asinx+bcosx.特例6:1J JJ U\X三.定积分:概念性质:

1.积分和式可积的必要条件:有界,充足条件:持续1几何意义面积，对称性凋期性，积分中值2心八*£y/ax-x2dxa0=^a2;a+b x7--------------*%dx=OJ2附依3f{x}dx Mb-a,fxgxdx定积分与变限积分,反常积分的区别联络与侧重4变限积分

①⑺力的处理重点2:x=[/可积=

①持续，/持续=

①可导1/⑵⑺力，；「%=「;「£7=/%f3dt fxdt=x-afxJ aJ ciJ a由函数「/⑺力参与的求导,极限,极值,积分方程问题3Fx=J arb公式:[/幻公=/—尸〃/在切上必须持续!

3.N—L xJa注:⑴分段积分,对称性奇偶,周期性有理式，三角式,根式2含⑺力的方程.3变量代换/P

4.fxdx=\fututdt JaJa「a—J=J〃1fxdx fa-xdxx=-%,兀i⑵a a如:Mx\f{x}dx=f-xdxx=-t=+f-x]dxJ-a-a JO2n-12flsin xdx=--0n717T24£/sin xdx=/cos xdx;£/sin xdx-

2./sin xdx,5£j/sinx6/¥=f sinxcbc,分部积分

5.⑴准备时“凑常数”已知尸或2x/x=f=[时,求以xdxJaJci.附:三角函数系的正交性:6,2乃.•2万丁2乃.sin nxdx=o cosnxdx=sinnxcos nvcdx=00Jo

24..°sin nxsinmxdx-cos nxcosnvcdxn m=0广2乃

2.2期2兀sin^nxdx-cosnxdx=Jo Jo四.反常积分「+持续fxdx.f{x}dx,J/xdx/x.类型:⑴1JaJ—8J-oo（）（）（（）在（）处为无穷间断）2j/x dx/X x=a,x=b,x=c”vc vZ敛散；

2.,计算积分法公式极限（可换元与分部）3㊉N—L㊉1J►4-30/•

1.特例（）41--dx;2|—~dxJC五.应用（柱体侧面积除外）面积，

1.rb2S=C；⑴（（）（）］；S=X-g xdx侧面积:〃尸痴4S=f2/x JTTdx（），（）3S=j6»d9;•体积2⑴匕=⑵匕=[广寸，公»J2X—g2x]dx;yf dy=2x引长+办

3.I ds=Jdx22尸ly=/x,xe[6,Z]s=f J1+2xdx⑵;:黑叱加⑺k+y。