《优控制的计算方法》课件

优化控制的计算方法了解优化控制中常用的计算技术如微分方程、动态规划和最优化算法等掌握,这些方法对于设计高效稳定的反馈控制系统至关重要课程目标掌握优控制理论学习优控制的基本概念、特点及其数学表述方法学习求解方法掌握变分法、动态规划法和最大值原理等优控制问题的求解算法了解应用领域探讨优控制在航天工程、机器人控制和电力系统中的应用案例优控制概述优控制的定义优控制的特点优控制的应用领域优控制是指在某些约束条件下，找到使得性•追求最优化目标优控制广泛应用于航天、电力、化工、机器能指标达到最优的控制规律它通过数学方人等各个工程领域，在提高系统性能、降低•考虑系统动态和约束条件法和技术手段寻求最佳控制方案能耗和成本等方面发挥重要作用•需要系统建模和性能指标建立线性二次型最优控制线性系统二次型性能指标解析解离散时间情况线性二次型最优控制针对的是性能指标通常采用二次型函数对于线性系统和二次型性能指实际应用中控制系统通常是,线性系统即系统动态方程为的形式包括状态变量和控制标可以推导出最优控制问题离散时间的此时可以利用离,,,线性方程这种情况下问题变量这种设计可以平衡系统的解析解通过方程求散方程来求解最优控,,Riccati Riccati的复杂度相对较低且能够通性能和控制成本解这种方法计算效率高易制问题得到数字控制律,,,过分析得到解析解于实现优控制的特点动态优化实时性优控制考虑系统的动态特性在整优控制需要快速做出反应以应对,,个时间区间内寻找最佳路径而不瞬息万变的系统状态实现实时优,,是单一时刻的最优解化控制系统性前瞻性优控制从整体出发同时考虑系统优控制通过预测未来状态提前做,,的各种状态和约束条件得到全局出控制决策优化整个系统的性,,最优的控制策略能优控制的应用领域航天工程机器人控制优控制在航天器的轨道控制、姿优控制可用于机器人的路径规态控制和燃料优化等方面发挥重划、关节控制和动作优化等要作用电力系统生化过程优控制在电力系统的经济调度、优控制在生物反应器、化学工艺电网频率稳定控制和电压优化等和制药工业等领域发挥重要作方面有广泛应用用最优控制问题的描述最优控制问题的数学描述是理解和求解最优控制问题的基础该部分介绍最优控制问题的状态方程、性能指标以及边界条件的定义通过对最优控制问题的数学描述为后续的求解方法奠定基础,状态方程定义形式作用状态方程描述了动态系统随时状态方程通常采用以下形式状态方程为最优控制问题的描间的变化情况它用一组微分述和求解提供了基础它能完dxt/dt=fxt,ut,方程或差分方程来表示系统的，其中是状态变量向整地刻画系统的动态特性，是t xt内部状态随时间变化的规律量，是控制变量向量，分析和设计最优控制系统的关ut f是状态方程的函数键性能指标目标函数多目标优化12性能指标通常以目标函数的形在实际应用中往往需要同时考,式表示对系统的期望行为进行虑多个性能指标进行多目标优,,数学描述化权重设置约束条件34不同性能指标的相对重要性需性能指标的优化需要满足系统要通过合理设置权重进行权状态方程和其他约束条件衡边界条件初始状态约束终端状态约束路径约束最优控制问题的初始状态通常作为边界条件最优控制问题通常还要求在某个终端时刻满在某些问题中系统在某些变量或者状态上,之一例如规定某些变量必须在给定的初始足特定的状态条件这也作为一个边界条还需要满足特定的路径约束条件,,值处开始件最优控制问题的数学描述状态方程使用微分方程模型描述系统的动态行为包括状态变量和控制变量,性能指标定义一个评价系统性能的目标函数如最小化能耗、最大化效率等,边界条件包括初始条件和终端条件限定了系统状态变量的范围,最优控制问题的求解方法在最优控制问题的求解中有多种常用方法包括变分法、动态规划法和最大值原,,理这些方法各有特点适用于不同类型的最优控制问题下面将详细介绍这些,方法的原理和应用变分法灵活性强基于变分原理变分法是一种灵活的优控制问题变分法基于方程的极端值原理通,求解方法可以应用于各种形式的过构建适当的性能函数来求解最,问题无需对问题进行严格的数学优控制问题,描述推导复杂广泛应用变分法的推导和应用需要较强的变分法在航天、机器人、电力等数学功底需要运用微分方程、泛领域都有广泛应用是最优控制问,,函分析等高级数学知识题解决的重要工具之一动态规划法定义与原理算法步骤在最优控制中的应用动态规划是一种数学优化方法通过把复杂•定义状态变量和状态方程动态规划方法能够有效地求解线性和非线性,问题分解为更小的子问题来求解是最优控最优控制问题广泛应用于航天、电力、机,•根据性能指标建立最优化目标函数,制问题求解的常用方法之一器人等领域•采用自底向上的递归求解方法得到最优解最大值原理原理定义应用场景算法原理最大值原理是著名的最优控制理论之一它最大值原理广泛应用于各种最优控制问题该原理建立在函数最大化的基,Hamilton阐述了最优控制问题解的结构特点该原的求解中包括航天器轨道优化、机器人路础之上通过构建函数并求解其,,Hamilton理表明最优控制问题的解一定满足一定的径规划、电力系统调度等诸多领域最大值可得到最优控制律和最优轨迹,,必要条件线性二次型最优控制线性二次型最优控制是一种广泛应用的最优控制方法它通过线性系统和二次型,性能指标来求解最优控制问题具有数学分析简单、计算效率高等优点,线性系统线性化状态空间表示对于非线性系统可以通过线性化线性系统可以用状态方程和输出,的方法将其近似为线性系统进行方程来描述这种状态空间表示法,,分析和求解能够更好地分析和设计控制器特性分析线性系统具有稳定性、可控性、可观测性等重要特性可以通过分析这些特,性来设计最优控制器二次型性能指标定义二次型性能指标通常表示为一个状态变量和控制变量的二次形式的函数它可以反映系统稳定性、能量消耗等多方面性能优化目标最优控制问题的目标是寻找使得二次型性能指标达到最优的控制策略权衡分析二次型性能指标的设计需要平衡系统稳定性、能量消耗等因素寻求最优的综合性能,解析解封闭形式解方程Riccati12某些线性二次型最优控制问题解析解通常是通过求解Riccati可以得到封闭形式的解析解这微分方程得到的方程,,Riccati大大简化了计算过程是最优控制问题的核心易于理解应用场景34解析解具有直观的物理意义有线性二次型最优控制的解析解,助于加深对最优控制问题的理广泛应用于航空航天、机器人解控制等领域离散时间情况下的最优控制时间离散化动态规划方法12对于实际工程问题控制系统通常是以离散时间的形式实现通过将最优控制问题离散化可以采用动态规划法进行解决,,,的需要将连续时间问题离散化处理得到最优控制序列,方程数值计算Riccati34对于线性二次型最优控制问题可以利用方程求得状离散时间最优控制问题一般需要进行数值计算可采用梯度,Riccati,态反馈控制律法、遗传算法等方法非线性最优控制非线性系统的最优控制问题更加复杂需要应用更加高级的优化技术这涉及到,极小极大原理和方程的应用这些先进的控制理Hamilton-Jacobi-Bellman论为工程实践提供了强有力的数学依据和分析工具非线性系统复杂行为动力学分析非线性系统往往呈现出复杂多变研究非线性系统的动态特性需要的行为模式难以用简单线性模型运用诸如稳定性理,Lyapunov进行精确预测它们可能表现出论、奇异扰动理论等数学工具进混沌、等复杂现行深入分析bifurcation象控制策略针对非线性系统的控制需要采用诸如、feedback linearizationsliding等先进的控制方法来达到预期目标mode control极小极大原理确定最优目标通过极小极大原理确定系统的最优状态和最优控制策略平衡矛盾因素在限制条件下权衡各种因素找到最佳的平衡点,迭代优化算法采用数值优化算法逐步迭代寻找最优解,方程Hamilton-Jacobi-Bellman方程起源方程形式求解方法应用场景方程是一个偏微分方程方程的解析解很难得到方程广泛应用于工程实践Hamilton-Jacobi-HJB,HJB,HJB方程源于优化它包含了状态方程、性能指标通常需要采用数值方法求解中的最优控制问题如航天器BellmanHJB,,控制理论是描述非线性最优以及边界条件用于求解最优如微分动态规划、伪光谱法轨道控制、电力系统优化、机,,控制问题的关键方程它由控制问题方程形式复杂需等这些方法能够有效应对系器人运动规划等它为复杂非,于要先确定具体的系统模型和优统非线性和复杂边界条件线性系统的最优控制提供了有Richard Bellman1957年提出是基于化目标力的数学工具,Hamilton-方程和动态规划原理发Jacobi展而来最优控制的数值算法为了解决复杂的最优控制问题研究人员开发了一系列先进的数值算法这些算,法可以有效地处理非线性系统并在求解过程中充分利用计算机的强大运算能,力正交多项式法基于正交多项式的数值优化广泛应用于工程实践多项式逼近的数学基础正交多项式法利用正交多项式基函数对控制正交多项式法广泛应用于航空航天、化学过正交多项式方法的理论基础是函数逼近理输入和状态变量进行逼近表示从而将无穷程控制、电力系统等领域的最优控制问题求论通过合理选择正交多项式基函数可以有,,,维最优控制问题转化为有限维问题这种方解是一种高效的数值优化方法效地逼近最优控制问题中的函数,法具有良好的收敛性和计算效率共轭梯度法高效迭代数值稳定性12共轭梯度法是一种用于求解大相比其他方法共轭梯度法具有,规模线性系统的高效迭代方法良好的数值稳定性对条件数较,,通过构造共轭方向来加速收大的问题也能保持高效求解敛广泛应用3共轭梯度法广泛应用于最优化、偏微分方程求解等领域是一种重要的数,值计算工具遗传算法模拟生物进化遗传算法通过选择、交叉和突变等操作模拟自然进化过程寻找最优解,,优化复杂问题遗传算法擅长处理多目标、非线性、离散的复杂优化问题广泛应用于工程设计、决策,分析等领域编码与染色体遗传算法通过编码将问题解表示为染色体利用遗传操作进化寻找最优解,最优控制在实际中的应用优控制技术已广泛应用于各个领域给人类生活带来了重大影响让我们深入了,解几个代表性的应用场景航天工程中的最优控制发射轨道优化航天器轨道控制再入过程优化最优控制用于确定火箭在发射过程中的航天器在运行过程中需要实时调整姿态航天器在返回地球时需要进行精确控最佳姿态和推力输出以达到最大效率和轨道利用最优控制可以确保最小能制以确保安全可靠的再入最优控制在,,,,和最小燃料消耗耗这一过程中发挥关键作用机器人控制工厂中的应用医疗领域的应用家庭服务应用机器人控制在工厂自动化中广泛应用可以在医疗领域机器人可以进行精细的手术操未来家庭服务型机器人将成为普通家庭必,,,完成精密、重复、危险的作业提高生产效作提高诊疗效果减轻医生工作强度备执行清洁、照顾等任务提高生活质量,,,,,率和安全性电力系统中的最优控制调度优化电网稳定性电压电流控制能源整合renewable最优控制在电力系统中可用于通过最优控制技术可以实时最优控制有助于精确调节电压结合最优控制理论可以更好,,优化电厂发电调度实现电网监控和调节电力系统的各项参电流实现电能的高效传输和地整合风电、太阳能等可再生,,负荷的最优分配降低整体运数保证电网安全稳定运行配送能源提高电网的整体效率,,,营成本。