2025年三维空间解析与立体几何核心技巧攻略

立体几何空间向量知识点总结

一、共面向量、定义1平行于同一平面的向量叫做共面向量・共面向量定理2共面的充要条件是、若两个向量不共线，则向量,与向量、b存在实L数对、使得了=刈+鲂X y,空间平面的体现式

3、空间一点位于平面P MAB一定点，有使MP=xMA+yMB或对空间任•xOA+yOB+zOM其中屈=砺+砺=砺+砺庇或0P=+y这几种式子是四点共面的充要x+y+z=l M,A,B,P条件•

二、空间向量基本定理、定理1不共面，那么对空间任历来量万，存在42假如三个向量、—♦—*^xa+yb+zc唯一的有序实数组、、使X yz,、2底.由于可视为2向量共面，因此，三个向量不共面，一种基底是指一种向量组，3种向量，两者是有关联的不一样概念.由空间向量的基本定理知，若三个向量％、、不共面那么所有B空间向量所构成的集合就是伊万二石+防，，这个集合可看+z%y zcH},做是由向量£、石、工生成的，因此我们把佝反可称为空间的一种基底屋坂、工叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一种基底.

三、直线方向向量与平面法向量、若两直线1\、的方向向量分别是、记,则有1J/]_2〃12O%“2,乙O

12.、若两平面、的法向量分别是正、则有〃〃2a BE,a BoE E,a_LBo7j_E.若直线/的方向向量是平面的法向量是则有〃，/a1—♦―—〃〃v,J_L ao u

四、平面法向量的求法若规定出一种平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般环节如下、设出平面的法向量为1i（x，y，z）.、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标2）石=（%也,4=（4，2）\n-a=

0、根据法向量的定义建立有关的方程组=°3x,y,z、解方程组，取其中一种解，即得法向量4

五、用向量措施证明空间中的平行关系和垂直关系-用向量措施证明空间中的平行关系空间中的平行关系重要是指线线平行、线面平行、面面平行.、线线平行1设直线1\、的方向向量分别是、%,则要证明U/只需证明即41Z//B,2keR=、线面平行2设直线1的方向向量是平面的法向量是人则要证明〃只1/a,需证明屋即Z_L73=

0.根据线面平行的鉴定定理“假如直线平面外与平面内的一条2直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一种平面平行，也可以在平面内找一种向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.根据共面向量定理可知，假如一种向量和两个不共线的向量3是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必然平行，因此要证明一条直线和一种平面平行，只要证明这条直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量线性表达即可.、面面平行3由面面平行的鉴定定理，要证明面面平行，只要转化为对1应的线面平行、线线平行即可.若能求出平面、的法向量、则要证明〃2a B1v,8,只需证明「〃v二用向量措施证明空间中的垂直关系空间中的垂直关系重要是指线线垂直、线面垂直、面面垂直.、线线垂直1设直线乙、心的方向向量分别是很，则要证明/k,只需证明即I_L7B=O寺垂直设直线/的方向向量是平面的法向量是则要证/只需证1a J_a,明公〃u根据线面垂直的鉴定定理，转化为直线与平面内的两条相交直2线垂直.、面面垂直3根据面面垂直的鉴定定理转化为证对应的线面垂直、线线垂直.1证明两个平面的法向量互相垂直.2

六、用向量措施求空间的角一两条异面直线所成的角、定义设、是两条异面直线，过空间任一点作直线1a b0d a，bUb,则/与〃所夹的锐角或直角叫做与所成的角.a b7100-

2、范围两异面直线所成角的取值范围是

2、向量求法设直线、的方向向量为口其夹角为，则3a bL0cp|=cos=|cos、注意两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角4来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角.

（二）直线与平面所成的角、定义直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所1成的角.00—、范围直线和平面所成角的取值范围是一一

292、向量求法设直线1的方向向量为人平面的法向量为直线与平面31,0cp|=sin=|cos二或cos=sin所成的角为，与工的夹角为，则有3

（三）二面角、二面角的取值范围［，刈

10、二面角的向量求法2（）若、分别是二面角一/一尸的两个面内与棱1垂直的异面1AB CD直线，则二面角的大小就是向量丽与丽的夹角（如图（）所a示）.（）设“、”是二面角二一/一的两个角、的法向量，则向量或与24a B区的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（）所示）.b

七、用向量的措施求空间的距离

（一）点面距离的求法如图（）所示，平面,垂足为则点到平面的距a B0,a0,B a离就是线段的长度.若是平面的任一条斜线段，则在B0AB aRtA中，卜°卜网/BO二BOA COSA丽，叫・cos/A5OBO假如令平面的法向量为百，考虑到法向量的方\\o aABnBO=--------向，可以得到点到平面的距离为〃B aa因此规定一种点到平面的距离，可以分如下几步完毕:、求出该平面的一种法向量.

1、找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量.

2、求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的3模，即可求出点到平面的距离.由于〃可以视为平面的单位法向量，因此点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝对值，即T而.此外，等积法也是点到面距离的常用求法.

（二）线面距、面面距均可转化为点面距离用求点面距的措施进行求解

（三）两异面直线距离的求法如图（）所示，设L、乙是两条异面直线，［是11与心的公垂线段b的方向向量，又、分别是，、心上的任意两点，则，与AB CD的距离是4CAb【经典例题】例

1.设a、b分别是直线

6、L的方向向量，根据下列条件判断6与/2的位置关系1a=2,3,-1,b二-6,—9,3；T f2a=5,o,2,b=0,4,0；—-例

2.设u、v分别是平面a B的法向量，根据下列条件判断、B的位置关系:3a=一2,1,4,b=6,3,31-—----------------，20,3,0V=0,-5,0；1U=1,-1,2,v=3,2,2；-»—v=4,-2,13u=2,-3,4o例

3.已知点A3,0,0,B0,4,0,C0,0,5,求平面ABC的一种单位法向量。