2025年高数核心考点梳理与精华总结

高等数学上重要知识点归纳粗体带下划线是重中之重，必须掌握第一章函数的极限与持续

一、极限的定义与性质、定义理解

1、性质2其中为％.与时的无穷小llim/x=4o/x=A+ax,ax唯一性若则2lim/%=A,lim/x=B,A=3殉x—x—x0无穷小乘以有界函数仍为无穷小3

二、求极限的重要措施与工具、两个重要极限公式1llim^=l2liml+3=eA△一0—co o、两个准则理解即可夹逼准则单调有界准则

212、等价无穷小替代法32tan A-Alsin△4arctan△3arcsin△6/-1~A5lnl+A-A8V1+A-1--n71-cosA〜—A22常用替代当△-时、分子或分母有理化法、分解因式法、用定积分定义456

三、无穷小阶的比较高阶、同阶、等价第五章定积分应用、几何应用、面积1A直角坐标系中,,1光有-左A=J xdy；_则「|参数函数at A=y⑺，⑺\dt2C:、体积2旋转体体积匕=万=可或可1Jy2dx vjcdy V,=2dx截面面积为的立体体积为2A=Ax V=\hAxdx Ja

四、持续与间断点的分类、持续的定义函数在某点持续的证明1/%在点持续Q=lira Ay=0o lim/x=fa o=fa~=fa可去型J（极限存在）［跳跃（左右极限存在但不相、间断点的分类‘型无穷型等）2第二类震荡型（极限为无穷大）其他Ax—0

五、闭区间持续函数性质、最大值与最小值定理

1、介值定理和零点定理2第二章导数与微分

一、导数的概念、导数的定义1二=）=包匕=丝=于（+海-/⑷=/（＞―/⑷y f\a limlim dx011mx~a—“Ax Axx—a、左右导数2左导数£（）=lim=limx）一了⑷一Ax f厂x—aA—右导数包=lim/⑴—/⑷-+Ax i+x—a、导数的几何意义3y|.『等于曲线/（%）在点（，/⑷）处的切线斜率左、导数的物理意义4若运动方程⑺则））（速度））（=〃（S=S S«=V«,5〃0=1/（力口速度）、可导与持续的关系:可导-连续，反之不然5

二、导数的运算

1、四则运算（〃土y），=M±M（uv）f=uv+uv（—）A=uv uvVV、复合函数求导（链式法则）2设股/皿创，一定条件下手=孚孚=刈dx dudx、反函数求导3设/（%）和犬=尸（,）互为反函数，一定条件下乂=二y=./、求导基本公式要熟记见4P60-

61、隐函数求导措施:在/羽丁=两端同步对求导，其中要注意50x到是中间变量，然后再解出y y、对数求导法则重要用于:

①幕指函数求导数

②多种函数连乘除或6开方求导数措施先对函数式两边取对数，再用隐函数求导法得到V可以不记公式，理解做、参数方程确定函数的求导设/黑，一定条件下

7、常用的高阶导数公式81sin⑺x=sinx+—7i\n=0,1,2…题2cos,x=cosx+—»,〃=0,1,

2...

三、微分的概念与运算、微分定义1若则=/%可微，记==Ay=AAx+oAx,、公式2dy=xAx=fxdx、可微与可导的关系两者等价

3、近似计算当|较小时,比4Ay dy,/x»/x+Ar+/\xAr第三章微分中值定理和导数的应用

一、微分中值定理、拉格朗日中值定理1道£力,使得/©=⑷o于Q b—fa=fWb-a b-a当加上条件/“=则演变成/

8、罗尔定理基£〃力,使得:广©=20

二、罗比达法则记住法则仅能对二型直接用，对于,8,转98,8—00,18,0000化后用.化指函数恒等式双=产/

三、单调性鉴别、1yo=^T,、单调区间分界点驻点和不可导点.2

四、极值求法、极值点来自驻点或不可导点可疑点.

1、求出可疑点后再加以鉴别.

2、第一鉴别法左右导数要异号，由正变负为极大，由负3变正为极小.、第二鉴别法一阶导等于二阶导不为时，是极值40,0点.正为极小，负为极大.

五、闭区间最值求法找出区间内所有驻点、不可导点、区间端点，比较大小.

六、凹凸性与拐点、1y〃Onyc、拐点曲线上凹凸分界点值，乂）.2横坐标/不外乎/〃（）=或（不）不存在，找到后再加以鉴别o,r X附近的二阶导数与否变号.第四章）不定积分（

1、不定积分的概念若在区间/上，广亦加（X）=/（X）,（X）=f{x}dx,则称/（）的原函数OW x称全体原函数（）为（）的不定积分，记为F x+c fx

二、微分与积分的互逆关系、1[J fxdx]r=/x odj f{x}dx=f{x}dx2\f\xdx=/x+c oJ dfx=/x、第一类换元法（凑微分法）1

三、积分法+c、第二类换元法（去根号）

①三角代换

②根式代换

2、分部积分法（反对塞三指，确定〃）3judv=uv-\vdu、常用的基本积分公式（要熟记）.见4P143第四章定积分2

一、定积分的定义f fx}dx=tovZ=1

二、可积的充足条件持续或只有有限个第一类间断点.

三、几何意义定积分等于面积的代数和.

四、重要性质、线性性质±七『1±k gdx=fdx gdx2Ja Ja Ja、可加性『寸+『

2、比较在［］上，有八则『那%小公3a,b g,JaJa、估值在［］上，4a,b mb-a£fxdx Mb-d、积分中值定理5当在［］上持续时［］fx a,b ffxdx=/fZ-tz,e a,b Jd

六、变上限积分函数、若/在［〃向连续，贝炉%=［⑺力可导，且［［⑺因=1X/%、若在［］连续，夕%,可导，则=『；/，力可2/x a,〃0Fx导，且/［夕%］⑶一/［〃%］〃%Fx=0

七、牛顿-莱布尼茨公式苟•%在［勿连续，则［［］尸⑷a,/xd%=j fxdxf=Fb-

八、定积分的积分法、换元法牢记换元同步要换限

1、分部积分法£、特殊积分2udv=uv I-Jvdu3二°”⑶为奇函数时,一当为偶函数时17/xdx,/x当为周期为的周期函数时:2fx Ta+nTfxdx=n\2fxdx,〃£Z*T也叫，〃是正奇数时t71713f2sin,l xdx=\2cosn xdx=\n\理工，〃是正偶数时00gI nil2。