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自主招生辅导讲义
（二）排列组合专题
1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几种元素捆绑成一种组，当作一种大元素参与排列.例
1.A民C2E五人并排站成一排，假如必须相邻且B在4的右边，则不一样的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种
2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置规定的几种元素全排列，再把规定的相离的几种元素插入上述几种元素的空位和两端.例
2.七人并排站成一行，假如甲乙两个必须不相邻，那么不一样的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种例
3.已知集合A={l,2,3,・・・,19,20},集合吕二伍”%,%,%}，且3uA,若
14.一〃,|w1（i,）=l,2,3,4）,则满足条件的集合8有多少个？
3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几种元素必须保持一定的次序，可用缩小倍数的措施.例
4.
（1）A,B,C,D,E五人并排站成一排，假如3必须站在A的右边（A,8可以不相邻）那么不一样的排法有（）A、24种B、60种C、90种D、120种
（2）由数字0,1,2,3,4,5构成没有反复数字的六位数，其中个位数字不不小于十位数字的共有（）A、210种B、300种C、464种D、600种
4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一种元素，如此继续下去，依次即可完毕.例5,将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一种数，则每个方格的标号与所填数字均不相似的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种
5.有序分派问题逐分法:有序分派问题指把元素提成若干组，可用逐渐下量分组法.例
6.
（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不一样的选法种数是（）A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种
（2）12名同学分别到三个不一样的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不一样的分派方案有（）邛A、叱种B、3c种C、蜀种D、0种
46.全员分派问题分组法例
7.
（1）4名优秀学生所有保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不一样的保送方案有多少种
（2）5本不一样的书，所有分给4个学生，每个学生至少一本，不一样的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种
7.名额分派问题隔板法例810个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一种名额，有多少种不一样分派方案例
9.马路上有编号为1,2,3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
8.限制条件的分派问题分类法例
10.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参与上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参与.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不一样安排方案的种数是A.152B.126C.90D.
549.多元问题分类法元素多，取出的状况也多种，可按成果规定提成不相容的几类状况分别计数再相加例111从1,2,3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法不计次序共有多少种？2从1,2,3,..・，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法不计次序有多少种？例
12.电子表10点20分08秒时，显示的数字是10:20:08,那么，从8点到10点内，电子表6个数码均不相似的状况有多少种？
10.交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式nA uB=A+〃B-〃A cB例
13.从6名运动员中选出4人参与4x100米接力赛，假如甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不一样的参赛方案？n.定位问题优先法某个或几种元素要排在指定位置，可先排这个或几种元素；再排其他的元素例
14.现1名老师和4名获奖同学排成一排摄影留念，若老师不站两端则有不一样的排法有多少种？
12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理例
15.16个不一样的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不一样的排法种数是A、36种B、120种C、720种D、1440种28个不一样的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不一样排法？
13.，，至少，，，，至多，，问题用间接排除法或分类法例
16.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不一样的取法共有A、140种B、80种C、70种D、35种
14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几种元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例
17.1四个不一样球放入编号为1,2,3,4的四个盒中，则恰有一种空盒的放法有多少种？29名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，目前要从中选4人进行混合双打训练，有多少种不一样的选法？
15.几何问题例
18.1以正方体的顶点为顶点的四面体共有A、70种B、64种C、58种D、52种2四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不一样的取法共有A、150种B、147种C、144种D、141种3记正方体的各条棱的中点构成的集合为M,则过且仅过集合M的三个点的平面有多少个？4正方体8个顶点可连成多少对异面直线
16.圆排问题单排法:把〃个不一样元素放在圆周〃个无编号位置上的排列，次序例如按顺时钟不一样的排法才算不一样的排列，而次序相似即旋转一下就可以重叠的排法认为是相似的，它与一般排列的区别在于只计次序而无首位、末位之分，下列〃个一般排列4，2，〃33，%；2，%，4，・・,，4，・・,；〃，4，・・,，41在圆排列中只算一种，由于旋转后可以重叠，故认为相似，n个元素的圆排列数有史种.因此可将某个元素固定展成单排，其他的1元素全排列.n例19,有5对姐妹站成一圈，规定每对姐妹相邻，有多少种不一样站法？
17.可反复的排列求塞法:容许反复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不一样元素排在m个不一样位置的排列数有种措施.例
20.把6名实习生分派到7个车间实习共有多少种不一样措施？
19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法例
21.某电脑顾客计划使用不超过500元的资金购置单价分别60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不一样的选购措施有A.5种B.6种C.7种D.8种例
22.从1到100的一百个自然数中，每次取出两个数，使其和不小于100,这样的取法共有多少种？
20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法例
23.130030能被多少个不一样偶数整除？2设q,%,…,凡是由L2,・・・,〃的一种排列，把排在火的左边且比％小的数的个数称为生的次序数=1,2,・・・,〃如在排列6,4,5,3,2,1中，5的次序数为1,3的次序数为
0.则在由L2,・・・,8这八个数字构成的全排列中，同步满足8的次序数为
2、7的次序数为
3、5的次序数为3的不一样排列的种数为多少？
21.运用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题措施，它可以将复杂的问题转化为简朴问题处理.例
24.1圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？I II-2某都市的街区有12个全等的矩形构成，其中实线表达马路，从A到B的最短途径有多少种？
22.全错位排列问题公式法:全错位排列问题贺卡问题，信封问题记住公式即可瑞士数学家欧拉按一般状况给出了一种递推公式用A、B、C……表达写着n位友人名字的信封，a、b、c.・・・..表达n份对应的写好的信纸把错装的总数为记作fn假设把a错装进B里了，包括着这个错误的一切错装法分两类1b装入A里，这时每种错装的其他部分都与A、B、a、b无关，应有fn-2种错装法2b装入A、B之外的一种信封，这时的装信工作实际是把除a之外的n—1个信纸b、c.…・・装入除B以外的n—1个信封A、C……，显然这时装错的措施有fn-l种总之在a装入B的错误之下，共有错装法fn-2+fn-l种a装入C,装入D……的n—2种错误之下，同样均有fn-2+fn-l种错装法，因此得到一种递推公式fn=n-l-[fn-l+fn-2],分别带入n=
2、
3、4等可推得成果也可用迭代法推导出一般公式fz:=H!-[l--+—--+…・・・+-lf—]1!2!3!n\例25,设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒子规定每个盒子放一种球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相似，问有多少种不一样的措施？例
26、5位同学本来坐成一排，现让他们重新坐，则至多有两位同学坐在其本来的位置的不一样的坐法是
23.多人传球问题构造递推关系例
27、%,%,・・・,4〃23〃个人传球，第一次由/开始传球，可传给其他任何一种人，第二次由拿球者再传给其他任何一种人，如此继续・・・，则第左次球仍回到q的手中的传球措施种数是多少？
24.上台阶问题例
28、10级台阶，某人可一步跨一级，也可跨两级，也可跨三级1他6步就可上完台阶的措施数是多少？2他上完台阶的措施总数是多少？
25.方程的正整数解的个数问题隔板法例
29.方程为+々+…+乙=女匕〃£N*,22〃的正整数解有多少个？有多少非负整数解个？例
30.将20个完全相似的球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子中1若规定每个盒子至少放一种球，则一共有多少种放法？2若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？3若规定每个盒子放的球的个数不不不小于其编号数，则一共有多少种放法？
26.配对配凑问题例
31.5双相异的鞋共10只，现随机地取出6只，恰好能配成2双鞋的取法是多少？例
32.50名选手参与乒乓球淘汰赛比赛，需要打多少场才能产生冠军？淘汰赛比赛规则是:要淘汰1名选手必须进行1场比赛;反之,每进行1场比赛则淘汰1名选手例
33.有11名翻译人员，其中5名是英语翻译人员，4名是日语翻译人员，另2人英、日语均精通现从中选出8人构成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，则有多少种不一样的选派方式？
27.染色问题例
34.把圆提成10个不相等的扇形，并且用红、黄、蓝三种颜色给扇形染色，但不容许相邻的扇形有相似的颜色，问共有多少种染色法？例
35.在如图所示的六个空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，一一一一一一规定相邻空格不一尸样色，请问一共有多少种涂法？12|415|6例
36.某都市在中心广场建造一种花圃，花圃分为6个部分如图，现要栽种4利不一样颜色的花，每部分栽种一种旦相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不一样的栽种措施有多少种？变式若要栽种5种颜色的花？排列组合问题经典题型答案L解析把A3视为一人，且8固定在A的右边，则本题相称于4人的全排列，A=24种，答案D.
2.解析除甲乙外，其他5个排列数为6种，再用甲乙去插6个空位有种，不一样的排法种数是耳耳=3600种，选民
3.易知Qi，%，/，%互不相等且不相邻，则有黑=
23804.解析13在A的右边与3在A的左边排法数相似，因此题设的排法只是5个元素全排列数的二分之一，即36=60种，选B.2按题意，个位数字只也许是0,1,2,3,4共5种状况，分别有个，个，合并总计300个，选B反—6=300种
5.解析先把1填入方格中，符合条件的有3种措施，第二步把被填入方格的对应数字填入其他三个方格,又有三种措施；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3x3xl=9种填法，选B.
6.解析1先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩余的8人中选1人承担乙项任务，第三步从此外的7人中选1人承担丙项任务，不一样的选法共有CKGG=2520种，选2答案A.
7.1Cl Al=362Cl Ai=240,答案:B.
8.解析10个名额分到7个班级，就是把10个名额当作10个相似的小球提成7堆，每堆至少一种，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分派方案，故共有不一样的分派方案为C=84种.
9.解析把此问题当作一种排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种措施，因此满足条件的关灯方案有10种.阐明某些不易理解的排列组合题，假如能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题轻易处理.
10.【解析】分类讨论若有2人从事司机工作，则方案有x=13；若有1人从事司机工作，则方案有；乂乂封=108种，所以共有13-105=126种，故B正确u解析1解析被取的两个数中至少有一种能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数构成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A={7/4,21,・・・98}共有14个元素，不能被7整除的数构成的集合记做A={1,2,3,4,・・・,100}共有86个元素；由此可知，从A中任取2个元素的取法有G；，从A中任取一种，又从印中任取一种共有两种情形共符合规定的取法有1十4或6=1295种.2解析将/={1,2,3・・・,100}提成四个不相交的子集，能被4整除的数集A={4,8/2,・.・100}；能被4除余1的数集B={1,5,9,・・.97},能被4除余2的数集C={2,6,・・・,98},能被4除余3的数集={3,7,11,…99}，易见这四个集合中每一种有25个元素；从A中任取两个数符合要；从优中各取一种数也符合规定；从C中任取两个数也符合规定；此外其他取法都不符合规定；因此符合规定的取法共有%+4-1225种.
12.解⑴08a bc d，其中a、c位可填1,2,3,4,5；b、d位可填1,2,3,4,5,6,79209a bc d，其中a、c位可填1,2,3,4,5；b、d位可填1,2,345,6,7,
8.先填a、c,再填b、d,共2用4=
120013.解析设全集={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛措施共有H/-/2A—〃B+〃A cB二4一£一6+/=252种.
14.解析老师在中间三个位置上选一种有A；种，4名同学在其他4个位置上有A种措施；因此共有4蜀=72种.
15.解析1前后两排可当作一排的两段，因此本题可当作6个不一样的元素排成一排，共点=720种,选U2解析当作一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有段种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一种有A；种，其他5个元素任排5个位置上有种，故共有A A6=5760种排法.
16.解析1逆向思索，至少各一台的背面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不一样的取法共有C；——C；=70种，选.C解析2至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种状况甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不一样的取法有ClC\+C；C；=70台，选C.
17.解析1先取四个球中二个为一组，另二组各一种球的措施有C；种，再排在四个盒中每次排3个有种，故共有C A=144种.2先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混和双打练习有中排法，故共有方=120种.
18.解析
（1）正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成C；四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，因此四面体实际共有C；-12=58个.
（2）解析10个点中任取4个点共有种，其中四点共面的有三种状况
①在四面体的四个面上,每面内四点共面的状况为C,四个面共有4C；个；
②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；
③过棱上三点与对棱中点的三角形共个.因此四点不共面的状况的种数是qt-4C-3-6=141种.6
（3）56个8+1x4x6+2x2x6=56o
①一种面内取GH两点，另一种点取F时，即8个角；
②一种面内取GH两点，另一种点取K时，2x2x6=24个；
③一种面内取HI两点，那另一种点只能取A或C,2x2x6=24个
（4）由于四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不一样的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有12=58个，因此8个顶点可连成的异面直线有3x58=174对.
19.解析首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不一样的安排方式24x25=768种不一样站法.阐明从〃个不一样元素中取；出m个元素作圆形排列共有，A种不一样排法.m
20.解析完毕此事共分6步，第一步；将第一名实习生分派到车间有7种不一样方案，第二步将第二名实习生分派到车间也有7种不一样方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不一样方案.x3,y
221.解析C设购置软件x片、磁盘y盒，则｛60x+70y500,因此x=3,y=2,3,4；x=4,y=2,3,4；x.yeNx=5,y=2故共7种
22.解析2（1+2+…+49）+50=2500（包括两个数不一样和相似的情形！）
23.解析
（1）先把30030分解成质因数的形式30030=2x3x5x7x11x13；依题意偶因数2必取，3,5,7,11,13这5个因数中任取若干个构成成积，所有的偶因数为C；+C+C；+C；+C；+C；=32个（或1・25=32）.
（2）分析知7必排在8之后，5必排在7之后.且8的前面只有2个数，
8、7之间只有一种不不小于7的数，6或在7之前，或在
7、5之间，或在5之后第一种状况6在7之前，形如##8#7#5#,；禺二72；第2种状况6在
7、5之间，形如##8#765#,A=24；第3种状况6在5之后，形如##8#75##,=48因此共144种
24.解析1由于圆的一种内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一种圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一种交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不一样的四边形，显然有个，因此圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有=210个.2解析可将图中矩形的一边叫一小段，从A到3最短路线必须走7小段，其中向东4段，向北3段；并且前一段的尾接后一段的首，因此只要确定向东走过4段的走法，便能确定途径，因此不一样走法有C；=35种.
25.解析从5个球中取出2个与盒子对号有种，还剩余3个球与3个盒子序号不能对应，运用枚举法分析，假如剩余3,4,5号球与3,4,5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时,4,5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4,5号球也只有1种装法，因此剩余三球只有2种装法,因此总共装法数为2C；=20种.
26.解错排问题，分类处理C；/5+C/4+C；/3=
10927.解析设第攵次球仍回到弓的手中的传球措施种数是%，则e=0,生=〃T，且q=〃一11一，人+―因此％—、八一1=-[a_---n-]/-]=4=.―11]..―1左eN*n nnk lx=2,3,4x+y+z=6x,解得I y=4,2,0,故
1028.解析1设跨1级、2级、3级的步数分别为x,y,z,则z=0,1,2+2y+3z=措施数为C；+C；C；+C=15+60+15=902设上完n级台阶的措施数为fn，则/⑴=1⑵=2⑶=4，且fn=fn-1+fn-2+于n-354,.•4=7J5=13J6=24,7=44,/8=81,/9=l49J10=
27429.解析峭;啖；
330.解析1=3876；2；3先在编号为1,2,3,4,5的五个盒子中依次放入0,1,2,3,4个球，再只要保证余下的10个球每个盒子至少放一种，则《二
12631.解析C；・C；♦22=
12032.解析
49.
33.解析++=35+120+30=
18534.解析前9个扇形依次染色并不难，但第10个扇形既与第九个相邻也与第1个相邻，这两个扇形颜色也许相似也也许不相似，因此直接用记数原理有困难，但建立递推关系并不难.设将圆提成n个不相等的扇形时，满足题设的染法有种.依次记n个扇形为”,...s〃・显然ai=
3.当n=2时,先对si染色，有3种措施；si染色后再对S2染色，有2种措施，故a2=
6.当nN3时，我们依次对s1用,…s〃染色.对S1染色，有3种措施，对SI染色后再对S2染色有2种措施，同样的对S3,S
4.・.,Sn分别有2种措施,由乘法原理共有3・2n/种染色措施.但这样做Sn与S1有也许同色.即在3・2种染色措施中包括了S与S1同色的n染色措施.对于Sn与S］同色的情形，拆去Sn与SI的边界使Sn与SI合并，便得到将圆分为n-1个扇形时同色不相邻的染色措施，这样的状况有a-i种.故an=3・2n
3.因此〃3=6,n3时，na=2n+2-—ln,Aaio=2io+2=1O
26.n
35.解由题意，红黄蓝三种颜色，每种颜色恰好涂了两次，分为两类第一类可按一下环节进行第1步涂第一格，有3种措施；第2步涂第二格，有2种措施；第3步用与第一格不一样的颜色涂第三格，有1种措施；第4步第四格可以涂与第三格颜色不一样的，有2种措施第5步用不一样的两色涂剩余的两格，有2种措施；因此有3*2*1*2*2=24种第二类可按一下环节进行第1步涂第一格，有3种措施；第2步涂第二格，有2种措施；第3步用与第一格相似的颜色涂第三格，有1种措施；第4步第四格只能用没有用过的颜色涂，有种措施第5步第五格只能用涂第二格的颜色，第六格只能用涂第四格的颜色，有1种措施；因此有3*2*因此1=6种因此，共有24+6=30种涂法
36.解析:注意4种颜色的花均有种上看1+1+1+2=120变式6[C；C；+3+2・2]=960。
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