2025年高等量子力学核心考点深度解析

、黑体辐射任何物体总在吸取投射在它身上的辐射物体吸取的辐射能量与投射到物体上的辐射1能之比称为该物体的吸取系数假如一种物体能吸取投射到它表面上的所有辐射，即吸取系数为时，则称这个物体为黑体光子可以被物质发射和吸取黑体向辐射场发射或吸取能量hv的过程就是发射或吸

1、光电效应条件取光子的过程2当光子照射到金属的表面上时，能量为的光子被电子吸取hv-mv2=hv—WQ1临界频率满足Vo%=w°/h存在临界频率V0,当入射光的频率时，无论光的强度多大，都无光电子逸出只有在时，虽然光的强度较弱，但只要光照到金属表面上，几乎在的极短时间内，就1/1/09能观测到光电子；10-s出射的光电子的能量只与入射光的频率有关，而与入射光的强度无关；入射光的强度只影响光电流的强弱，即只影响在单位时间内由单位面积上逸出的光电2v子的数目

3、由于光子以光速运动，根据狭义相对论的质能关系式有£2=TTIQC4+p2c23是光速，是光子的静质量，为零，因此得到光子的能量和动量的关系是£=CpC mo、康普顿效应的推导4P7康普顿效应还证明:仍在微观的单个碰撞事件中，能量守恒定律和动量守恒定律然成立h2蹲=V2p+Up2mdt、薛定谓方程、概率流守恒定律5dw6定+~二°概率流密度—ih

7、一维无限深势阱、束缚态粒子只能P3束1缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态一维无限深势阱给出的波函数所有是束缚态波函数8从式还可证明，当分别是奇数和偶数时，满足p-x=px为奇数

2.

4.6nn n、%-%=-%%为偶数n即是奇数时，波函数是的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当是偶数时，n波函数是的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称n xn、谐振子xh2d29P351\、在量子力学中，常把一种能级对应多种互相独立的能量本征函数，或者说，多种互相独立的能量本征函数具有相似能量本征值的现象称为简并，而把对应的本征函数的个数称10为简并度但对一维非奇性势的薛定谭方程，可以证明一种能量本征值对应一种束缚态，无简并、半壁无限高例、玻尔磁子11P51212诙=-=人,22mcX10—24m e、算符

9.274AB HBA13对易子[,]=-A BAB BALxL=ihL厄米共轨算符O+=厄米算符若则称算符为自厄米共轲算符，简称厄米算符性质两厄米8+算=3符,之和仍为厄米算符1当且仅当两厄米算符彳和月对易时，它们之积才为厄米算符，由于2B+A+=BA4B+=只在用时，BA=AB,才有协+=/月，即/月仍为厄米算符[4无论=0厄米算符/,否与否对易，算符工/月+月/及工/月—百/必为厄1223米算符、力学量有确定值的条件1〈4△1的充要条件是伊—伊〉叩=即Fp=Fp92=00,当且仅当8是力学量声的本征态时，在户的本征态中测得户才有确定值，并且这个确定值就是户在这个态的平均值0不一样力学量同步有确定值得条件2（FG-）（GF p=0必须是户和的共同本征函数、不确定性原理0G、运动积分15P109若算符月对时间的全微商为零16dF—=0则称算符户所示的力学量为运动积分运动积分在任一态中的平均值都不随时间而变化，是守恒量dt、幺正算符PT=尸+

17、对称性和守恒量例如，时间平移不变性，对应能量守恒，意味着时间的原点不可观测；空间平移不变18性，对应动量守恒，意味着空间的绝对位置不可观测；空间旋转不变性，对应角动量守恒，意味着空间的绝对方向不可观测，等等、习题

193.2F A

3.2若算符J满足/=1+工+人+…十二十…，直接通过对易关系证明:2!〃！「°「.一（H—L,L.L i31L LL证明:考察尊符由S=/‘讪立3是辅助参昂.£5所满足的微分方程为号三=LesLae-sL-e3iae^L=[公⑸]d2aS=乙槃^⑸]]dS2由上可知,必必等于将筌符£与算符4S相维对易n次的结果.dSn把算符%O=61写成泰勒级数的形式31=30十罕aS1d2a0H-----------:-2!JS1分别将S=0点处对S的导数用算符L与d0=a及其相聚而易式来表示，即习题

3.4证

3.4明2Zxr+r x£=2ihr\Lx/+pxL=2ihp；Z XTC=访[无£-Zx»]Z力-p1=访证明Lxf+f xL\-L^z-Ly+yL-zLy=Z“z卜也,y•••L Lq,”R=%由诜Xy AZ4X-Fr x4A Whi・同理可得Zxr+rxZ,=Lxr+r xL=2ihzt r即有£x,+,x£=2/后AC，A44AA AA「八A T「A A-1，LxR八L|=«—LJ+4「弘=[4R卜居多]•••£]=38・・・，x方+方x£r=访2+/力A=2i陀同理£x方+方x£,=访+汾=2防A AA■■LxP+PxL.=访2+访巨=2访万A—A■A即£x PxL^hiA,I「A,八,八今1「，1AA「ATrA-1AA「A卜⑷+小—士也,小口,小巴小二lx-xl}=f,x+4=访一zZ,,-ZyZ+y£+£y=访[以工-61小小Gp「pg=Rp、U P.乙[£丫乙+乙心〃,]=pJ4+,p]+[L,p J[]£研乙一访-p4P+PL+A pJ=MJ、在量子力学中，态和力学量的详细表述方式称为表象为表述态和算符,需要在希尔伯特空间中选定一组基底，这组基底应当是正交、归

一、完备的厄米算符的本征函数系20具有正交、归

一、完备、封闭性、幺正矩阵21幺正变换不变化算符的本征值s+=L矩阵的阵迹在幺正变换下不变、算符我=/我称为粒子数算符；F称为产生算符22称为湮没算符6+、微扰（例）a、泡利矩阵（）23P

1801、塞曼效应24P234eB25E2七版印mh加上外磁场后，对的度简并被消除，本来的加能级分裂为条能级，相邻两个能级之间的间隔是期=八#-,期=#-称为拉摩频率m22+1E22+1光谱线在外磁场中的分裂的现象称为/塞1曼效应在强磁场下，不考虑自旋轨道耦合，原子光谱发生分裂的现象称为简朴塞献，这时原子光谱线的分裂现象，称为反常塞曼效应或般塞曼效应曼效应或正常塞曼效应在磁场较弱时，要考虑电子的自旋轨道耦合能的奉、在量子力学中，假如在散射过程中两粒子之间只有动能互换，粒子内部运动状态并无变化，则这种散射过程称为弹性散射假如在散射过程中粒子内部运动状态有所变化，例26如激发、电离等等，则称为非弹性散射入射粒子受的作用而偏离本来的运动方向，发生散射，角为散射粒子的方向与A入射粒子方向间的夹角，称为散射角（）、称质量、电荷、自旋、同位旋以及其他所有内禀固有属性完全相似的粒子为全同粒子P295例如所有的电子是全同粒子，所有质子是全同粒子，但质子和电子不是全同粒子27全同粒子在量子力学中是不可辨别的不能说哪个是第一种粒子，哪个是第二个粒子全同粒子的不可辨别性，在量子力学中称为全同性原理、由电子、质子、中子这些自旋为h/2的粒子以及其他自旋为h/2的奇数倍的粒子构成的全同粒子体系，它的波函数是反对称性的这些自旋为h/2的奇数倍的粒子称为费米子28在量子记录中，由费米子构成的体系服从费米一狄拉克记录由光子、介子等自旋为h的偶数倍的粒子构成的全同粒子体系，它的波函数是对称的这些自旋为h/2的偶数倍或h整数倍的粒子称为玻色子在量子记录中，由玻色子构成的体系服从玻色一爱因斯坦记录假如有两个或两个以上的粒子的状态相似，则由于行列式中有两行或两行以上相似，这个行列式必为零这表达不能有两个或两个以上的全同费米子处在同一种状态，这个成果称为泡利不相容原理、二次量子化用粒子数表象来讨论多体问题的措施，就是二次量子化措施29将力学量，如动量、角动量等用算符表达，进行量子化，也就是一般所说的一次量子化目前，又将波函数、动力学方程的解量子化，这些动力学方程的解一般都描写场，将波函数量子化实质上就是将场量子化，从而有也许发展为量子场论对比于力学量的量子化，波函数的量子化也称为二次量子化、物质在温度低于某一临界温度几时，电阻忽然消失的现象称为超导电性、年，卡比查等人发现，假如让液流过一种直30径约为至的毛细管，在流速不不小于某一种临界速度乙时，在流动过程311938Hell中不出现粘滞性，粘滞系数近似为零，这种现象称为超流动性此外，试验还发现，处在lTcm10“cm Hell超流态下的液它热传导系数差不多等于无限大，具有超热导性、克莱因一戈尔登方程Hell,32d2cp\m2c2吸―-----p=o1\c乙dtz Jhz、狄拉克方程由于33dpih—=HpdtE=Jc2P2+7712c4形式上写成・价式中G,£均与坐标、动量无关，于是dpccr p+no,ih—=Hp=[—ihca・V+Rmc]p dt这里的d是两个算符，不也许是常数、电子存在负能态，为了克服跃迁到负能态的困难，狄拉克提出“空穴”理论假定在真空状态下，所有负能态都已被电子填满，根据泡利不相容原理，在真空中运动的能量为34正的电子不也许跃迁到负能态中去，这种被填满的负能态称为费米海在负能态中的电子，它的能量和动量是不能观测的，只有从费米海中移去一种或多种电子时才会产生克观测的效应例如，假如由于某种外来作用，把负能态中的一种电子激发到正能态，从而使得负能态中出现一种空穴类似于某种具有正能量的东西，这是由于，本来在负能态中的电子，能量为-Ep0,质量为电荷为当它激发到正能态后，负能态中便减少了上述能量、质量和电荷，出现了一种空穴，空穴的能量为+与质量为+m0,电荷为这种空穴狄0,+e0,-m0,-e0,拉克称为正电子。