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基本措施点差法合用类型出现弦中点和斜率的关系已知椭圆22过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，为弦的中G X+3J=3b\b148N4点，求直线3,（为坐标原点）的斜率从V解设（），设（否）），将其带入椭圆得:N x0,y Aj,BQ,%靖=必
①,2+33〃
②1/2+3%2=3
①减
②，并整顿，得（%十%）（%一）（必+为）（%-为）%2=-3深入整顿=—,匚以=---=配%3y-%33题型求轨迹方程类型弦中点型22曲线过点（）的弦的中点的轨迹方程E—+^-=1,Q2,1E2516解设直线与椭圆交与（，）（，）两点，中点为（（），%）G FX,H X2%S x,一.、,一r、S仆一,一以（）Y16x+x16%9n由点差法可得弦的斜率左=义一2=——口——竺=----------------为一％（）225x+%25%由（，）（）两点可得弦的斜率为％=生二S Xo%,Q2,11,%-2因此=上』=一竺且，k玉）—225%化简可得中点的轨迹方程为216x+25/—32x—25y=
0.练习:解法一（一般措施）直线的斜率不存在时，此时;工|PQ|=|AB|,1=当直线/的斜率存在时，设直线，方程为与双曲线方程联立y=kx-2,得1—2223x-4k x+4k+3=0,设，、PF XQx,y,22左2_3W0A
0.4/〉，•,%+/=^7^0公+八43后_3〉…2=0解得/
3.・••直线x=_L是双曲线的右准线，由双曲线定义得2\\=^\\\PA\=-\PF\=hpF\QB QFe2222929公|工、~々-.1\PQ\Jl+2-X1I Jl+I X1I Jl+%21f々—玉.•~2\AB\~2|%—yl~2k12\k\~2\12，•:k3,0-I-A-A—,解法二（仅合用于双曲线情形，由于双曲线可以以渐近线判断交点个数）设直线的倾P斜角为，Z,■■2k32£V3综上，Ae5W双曲线的渐近加=砌=28『」石线为=±氐jr27r由于直线与双曲线右支有二个交点，，土＜＜二，PQ77过作垂足为则＞CLP4,C,/PQC=|——6|,2r.】\PQ\\PQ\11-------------------------------------------------------..z====曰弘「百由一—,倚—，故丸£一,—,71Q27r4G.A/111sin W1,33223类型巧用△求取值范围椭圆过点（）的直线与椭圆交于相异两点、且C2/+V=1,p o,m1c A B,AP=2PB,0A+20B求力的取值范围.=40P,解\~=~,~^=C（）~=~+~,AP XPB OPOA AOB i+A OPOA XOB.A+l=4,4=3设,与椭圆交点为力（小，3）,夕（及，）y,2y=kx+m,一◊・0Q—2km ni—1得4+2x+2Azz/x+/n—1=02/+/=l好一Q2km—44,+2zzf—1=42/+20
①-2kmXl+X2=小+上2=—2x2，消去得AP=3PB，，一X2,3X1+X2“+4X1X2=O,X|=3X2,不及=一第3（）丁+整顿得一序+）A33+22+42=0,422—2—2=
0./=+时，上式不成立；，），）
1.2—2/n/万W彳时,=，
②k~r~2744/27—1将
②代入
①，得左警於解，得222,im l4/77-14或；（水］./.—1ZZ7—~类型转化为基本不等式22已知椭圆上+二为椭圆的左焦点，、是椭圆上纵坐标不为零的两点，若=1,F43（）AF=AFB AR且,求线段的垂直平分线在轴上的截距的取值范围.E AbW AB y9解法一（联立方程）设，必,B，中点为AQi X22A5M X0,.・・％夕是椭圆上纵坐标不为零的点，溟=2反且|淳罔技|,、〃三点共线，且直线的斜率存在且不为.A.F AB
0.22又（）则可记方程为（）代入并整顿得F—1,0,AB y=Z x+l,L+=l,（左）3+42%2+8%2%+4k2-12=
0.・—8左4k2-12223+4k2x+x.-4k3k}-----------，，o=%x+1=x=0+止人33+4°2显然对于任意的恒有△》（）k,故直线的垂直平分线方程为（）AB y—%=--x-^.k0k令得〉=一xO,公3+4百，当且仅当||=@时取等号，V|4Zr+-|4k k2・・叵或+』•4k+--44Z2473,k k因此所求的取值范围是［-立）（走］,0U0,o1212解法二（点差法）设4玉，y1）,B（X2,为），A8中点为加（XO,X））.斜率为k因此巧—+~一=生—+%—=两式相减并整顿，得左=一％
①1,1,243434yo又「直线过点，故攵=」AB F玉）+1-4^23k解方程组
①②，得/=〃3+4%―3+4（剩余部分如上解法）类型转化为轨迹方程22X V\\已知点与椭圆过点，作直线/与轨迹交于石、两点，线段石A2,0C—+^-=1,K oJF尸的中点为求直线的斜率上的取值范围.解由点差法可得点的轨迹方程为十一工=M6—8V
30.设直线其中加=工,M4x=my+2kn6+8/+21^1^+18=0x=my+2226x+8j-3x=0故由加祖三即-A=212—726W2+820=|8,8,k解之得的取值范围是—，k-88几类考察方式题型单纯的计算问题类型垂直问题垂直问题已知双曲线^--
二二、是双曲线上不一样的两点，且LM N39求直线的方程，B M=AB N.B MMN222解・・・、、三点共线,•B2M=gN,M B2N当直线垂直轴时，显然不合题意MN x当直线不垂直轴时，由MN x0,3,B0,-3,2可设直线的方程为〉=女
①MN1—3,・•・直线AN的方程为y=--+
3.
②kX弘Gk2_4由
①，
②知一一代入双曲线方程得N,1^,《+H+11左击打十西/曰八36k292—12c74Z-72To整顿得左左一3x^——---——^=9,4—6+1=0,22^+1r+12解得公近，=3±2A Z:=±V2±1,故直线的方程为MN y=±V2±lx-3练习32双曲线二一.的左、右焦点分别为、为坐标原点，、分别是双曲=1Fl F,0Di D2239线的虚轴端点在轴正半轴上，过的直线/交双曲线、求直线/的方D2y D1M N,D\M1DN,程答案y—^~5x—=—y/~5x—3题型巧用几何性质简化计算过程已知直线/过椭圆2的右焦点/，且与相交于两点.若直线/的倾斜角为E:%+2/=2E P,，求一^+―的值.60\PF\\QF\解设椭圆另一种焦点为尸，在尸中』产用W/P//=120°=2,设|尸尸|二安,则五—加|PF|=2由余弦定理得（血一根）22=＞机=—22=2+m-2•2-m•cos120°3——2V2+1同理，在△设〃，则|尸|=四—加，QF/,|Q/q=2也由余弦定理得友一〃/・・〃〃2=22+/—22,COS60°==[3—于是111120+1272-1—____________________________—4-272o\PF\\QF\m n22V2-1题型三角形面积问题类型已知面积，求直线方程已知曲线过点的直纵与曲线位于两点设赤丽当C/=4y,P2,2A3=4△的面积为后时为坐标原点，求；的值A0B40I解当直线的斜率不存在时，它与曲线只有一种交点，不合题意,设直线的方程为m Cm即y—2=-X—2,y=kx+2—2k,代入2得--☆x=4y4kx+8%—1=0设交点的坐标分别为必,以，，A,B4[,2%则玉+工左2=4,X/2=8k-
1.・・22■|AB\=7%-%,4-y-^=1+12[22—42]=4jl+l22222々+々左一左+左点到直线的距离12-2I,0m d=Vi+F〃一+也_伏―S^=^\AB\-d=4\k-l\2-22=414+
12.B0・「S=4V2,「.4也-14+2-12=4V2,・尸+左一伏二或伏—舍去,..%—1I—2=0,112=-2=或攵=k
2.当上时，方程☆的解为五，=0±
2、历L L2—2若再=叵%2=-2V2JIJ2=——=3-272-2V2-1丫拒若屈丁,%后，则;2行.=-2=21==3+2-2V2-2当％=时，方程☆的解为五,24±2若修及，则-2-2*行一X=4+2/,=4-22==3+22-2V2若亚后,则—2+24行」M=4—2=4+24==3-22+2V2・・或点.2=3+24=3—2练习22过点的直线相交椭圆二+乙=于点、且满足E-2,0C1M N,62为坐标原点，求直线〃的方程OM ON=-y[6cot ZMON^O,023解故直线机的方程为或x±Gy+2=0x=—2练习22x y已知椭圆—+工=为椭圆在轴正半轴上的焦点，、两点在椭圆上运动,C LFx MN C62且而丽定点.当莉•丽的值为时，求=2X0,A—4,0xtan/MAN6G出直线的方程.MN答案丁一或%+丁一1—2=02=0类型求三角形面积最值问题设直线与椭圆22相交于两个不一样的点,l:y=kx+lk w03x+y=a\a048与轴相交于点记为坐标原点.若优求区的面积获得最大值时的椭圆方程.x3AC=2C AQ4证设，，，・4%1%5%2%弋入=消去工得▲y—If312+22k由得y=Zx+1x=—2
①T+ly2--y+3—a=
0.k k.2+la3,2k由直线与椭圆相交于两个不一样的点得得—整顿得1A=4±+13—40,公23k口口--------
②BPtz+公3而点一％,—，得;AC=2CB,C—1,0,/.―1y=2x+1,%y=—2%2—6k代入上式,23+k139\k\9\k\=3/3于是△勿的面积8S=二|OC|・|y—为1=71%1=一2向女|一223+k其中，上式取等号的条件是左即左2=3,=±
6.由必=言^■•可得先将左，及左=—，这两组值分别代入
①，=±g,=e%=—G6%=#均可解出2=
15.经检查与左可以满足
②/=152=3•••△以的面积获得最大值的椭圆方程是63/+y2=
15.类型特殊三角形的鉴定问题曲线的准线线交工轴于过的直线交曲线于两点又的C V=4%N,N CA5,A5中垂线交工轴于点试判断能否为正三角形.若能，求出直线的斜率；若不能,请阐明理由AB解假设石是正三角形则有:AAB可设VN—1,0y=kx+l,由卜-4x得女22/+2%2^2x+k=0[y=kx+l由△〉得左且左
②0210设AX],y,BO2,乃，「・x\+xi=221,x/2=1k.AB=Vl+P4=%为X+%+X2+2=-k212—A2,,,I、12-k~2A AB的中垂线为y——=——x———,2的中点为——k kkA ABk~k2令，得y=X=TT+1
④・••点£到直线AB的距离为:J1+J2将
③④代入
①，计算得土立,满足
②k=2题型与圆结合的计算性问题抛物线的焦点为从圆是以为圆心，同步与直线和小丁二―相切的圆，问V=2px N/V=x x与否存在一条直线/同步满足下列条件
①/分别与直线和交于尔夕两点，且”中点为石；
②/被圆截得的弦444,1/V长为
2.解法一假设存在直线/满足两个条件，显然/斜率存在，设/的方程为y-i=kx-4,4w±1以为圆心，同步与直线和相切的圆的半径为后,N2,0,/V4y=x/2y=—X N\2k-\由于/被圆截得的弦长为因此圆心到直线的距离等于即于=1解N2,1,=1,左J1+2得女或4=0一.3当攵时、显然不合中点为的条件，矛盾.=04754,144x-3v-13=0,,,当Z=］时，/的方程为4%—3y—13=0,由’,解得点A坐标为y=x13,13,4x—3y—13=
01313、，显然夕中点不是矛盾.4£4,1,，解得点夕坐标为--二y rI7因此不存在满足条件的直线/.解法二由解得点力坐标为二丑[yT=a-4,zl],[y=x vk-\k-\攵—[y-l=kx-44Z—141----------由〈，解得点8坐标为----------，9[y=-x11+Z\+k4“-14^-1由于4中点为石4,1,因此-----------------+——=8,解得左=4,因此/的方程为k-i k+14x-y-15=0,圆心到直线/的距离也「，/V17由于/被圆截得的弦长为因此圆心到直线的距离等于矛盾.N2,1,因此不存在满足条件的直线I.解法三假设点的坐标为,，由于中点为因此夕点的坐标为A AB£4,1,，8—a2—a又点夕在直线上，因此因此点的坐标为y=—x a=5,4直线/的斜率为5,5,4,7V1717因此/的方程圆心到直线/的距离4x—y—15=0,N由于/被圆截得的弦长为因此圆心到直线的距离等于矛盾.因此不存在满足条件的直N2,1,线/.已知直线/过椭圆的右焦点尸，且与相交于两点,设E:/+2/=2E P,Q为原点，求点的轨迹方程OR=-OP+OQ H答案2X+2/-X=0类型动点型在直角坐标系中，已知一种圆心在坐标原点，半径为的圆，从这个圆上任意一点向2P y轴作垂线段分，为垂足.求线段分,中点的轨迹的方程P’解设欣则x,y,P xi,yi,P0,y则有|2，即4代入得轨迹的方程为一+4/+9=4t=
1.、，必+以〔4y=yy二---------2设耳，鸟分别是椭圆的C的左右焦点，是椭圆上的动点，求线段、K CKF中点的轨迹方程B练习2解工+尸+弓句34练习已知点在轴上，点在工的正半轴上，点在直线上，且Q—3,0,R yM RQ―————3—.当在轴上移动时，求〃点轨迹PR RM=0,RM=——R yC答案V=4x类型动线交点型设向量=过定点以〃+方向向量的直线与通过点0,2,/=1,0,A0,—2,以向量匕―为方向向量的直线相交于点其中；求点的轨迹的方程30,2,24P,IER,P C解设Px,y•••£=0,2,=1,0,・・•a+Ab=0,2+21,0=42,b-24a=1,0—220,2=1,-42,过定点以，方向向量的直线方程为A0,—2,4+2x—Xy+2=0,过定点以〃—方向向量的直线方程为P0,2,2/U42x+y-2=0f联立消去；得2I8%+/=4••・求点P的轨迹C的方程为8/+V=
4.在中是椭圆土+匕在轴上方的顶点，/是双曲线4ABC AC=2j5,B=1x54位于轴下方的准线，当在直线/上运动时，求外接圆的圆心的V-:/=_2x ACaABC P轨迹的方程E解易知点直线/方程是30,2,y=—l且在直线上运动可设:.AC=26,AC IAm-—1,Cm+G,—1,则的垂直平分线方程为
①AC x=m的垂直平分线方程为丐竺
②ABy—g=3%_J是的外接圆圆心，.,•点的坐标满足方程
①和
②P4ABC P x,y2x9・由
①和
②联立消去加得y=—，故圆心P的轨迹E的方程为x2=6y题型动态定值问题类型存在性问题双曲线的左右焦点分别为月、乙，直线/过点尸且与双曲线交于、两点C1=12P设点/（私0）,问与否存在实数相，使得直线/绕点尸2无论怎样转动，均有〃尸・〃=成立？若存在，求出实数加的值；若不存在，请阐明理由.解当直线/的斜率不存在时，易知（）（）计算得（）；P2,3,Q2,—3,—1,0当直线/的斜率存在时，设直线/方程为）与双曲线方程联立消y=2,y得（上）左元+女2-3%2—4242+3=0,设（）、（工，），P X212%左42%+%=———12k2-3左42+3/.MP-MQ=x—mx—m+y,ji22=尤］-2西-mx-m+k2^2—22々+加+之=Z2+I%%—2k~+771Xj+4k左228+142+34k2k+mP-3根+公3-45z+m.2k-3假设存在实数加，使得・故得（—机）（加机—）恒成立,MP MQ=0,312+222—45=021—m=
0.，一m4m-5=0解得加=—
1.，当时，m=—1MP MQ=
0.,综上，存在加二—使得・1,MP A/Q=O.练习抛物线2焦点产，过点作两条互相垂直的曲线的弦、设、E y=4xx0,F EAB CD,A3的中点分别为问直线与否过某一定点？若通过，求出该定点;不通过，请阐明理由CD N.MN解73,
0.类型恒成立问题设圆〃过且圆心〃在曲线上，是圆在轴上截得的A0,2,C/=4EG Mx弦，试探究当〃运动时，弦长与否为定值？为何EG解设圆的圆心为:圆过圆的方程为Ma,b,M A0,2,〃〃%_2+y_b2=2+s_
22.令得以+〃设圆与轴的两交点分别为％，不妨y=024—4=
0.x,0,Z,设％x2»分口八/日l122a+d4a-16:+16右-_216h+16由求根公式得演=----------------------------------------一22X]-x=16H162又•点,力在抛物线上，.二〃，即但A/f=4y4=4J%]—/=Ji%=4,G|=
4.•••当〃运动时,弦长为定值|EG|
4.练习x V如图，已知椭圆——+工=点平行于的直线在1,M2,1,0M182轴上的截距为交椭圆于、两个不一样点求证直线、y mm^O,1A BMA与轴一直围成一种等腰三角形.MB x解设直线、的斜率分别为，只需证明即可.MA MBk1k,k1+k2=02・・・/的方程为y=—x+m.
2.1y=—x+m2二・{22「・+2mX+2根2-4=0,二+二=182设,必,々,%，则仁=比二1AX]5#2=X]_2X-2且玉+2=-2m,x x=2m-4}2仆为一1%-1_M-1%-2+1%—2%—2%2_2X|—2%2—2+加-七一Xy+77-1%2—2+%212%i-2%-2x x+m+21]+x-4m-1}22%1-2X2-22m2-4+m-2—2m-4m-1Xj-2X2-2222m-4-2m+4m-4m+
4.=-----------------------------------------=%-2%-2・故直线与轴一直围成一种等腰三角形..•k+k=O,MA.MB x}2过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点反V—3/=3P A,求证为定值解2类型可以转化为直线垂直的特殊几何问题（矩形问题）过点（）作直线/与曲线工,交于两点，设是0—2,0G2+”=148N44—*—•—•过点（——）且认为=（）方向向量的直线上一动点，满足（为坐,0,0,1ON=QA+OB17标原点），问与否存在这样的直线使得四边形如仍为矩形？若存在，求出直线/的方程;1,若不存在，阐明理由.解当直线/的斜率不存在时，与椭圆无交点，不符合题意.因此设直线/的方程为〃（户）与椭圆交于/（石，如、夕（如%）两点，y=2,4点所在直线方程为x+—=
0.17[v22由｛一得（）左44+k2/+421+4Z2—4=
0.（）y-Z x+2一（表4%24）2—1由△=（女）（攵）公即—乎孚.16k4—44+242-40,w g.k・・・即四边形3八方为平行四边形ON=OA+OB,AN=OB,.假设存在矩形以用，则百•无二，即玉+%为=，12即（）（）~+1X|%2+2%2X|+%2+4k2=0,人之八后„.16—471于是有------厂=，得k=+—.4+12——―—►4k24检查设（，）由得=七+%=--------言=—一，即点在N Xoy°,N=Q4+QB x04+%17直线工二一一上.
417.•.存在直线使四边形物凹为矩形，直线的方程为（）11y=±1x+
2.（三点共圆问题）设直线与双曲线±―±=.交于不一样的两点、/:y=Z:x+l1A B,412与否存在实数使得以线段为A,AB直径的圆通过点（）若存在，求出的值，若不存在，阐明理由.D0,-2A解设、点的坐标分别为（尤，）、（）AB1%x,y,22y=kx+\由得（而一J,223_k2»2_213=0,——1=114122k13----------，工与=--------/.X+X=7121212333・•・AB与双曲线交于两点，・・•△〉（），即4%2一4（3—左2）（_13）＞0,解得—姮＜攵＜恒,・・,若以AB为直径的圆过D（0,-2）,则ADJ_BD,A k-k=-1,即AD BD力+2x2，）（）＞（）（息）+2%+2+x x=0=Axj+32+3+x x=0,[212132k------------・・（）玉/女（七+々）（左）（-）+•1+1+3+9=0n2+13k+9=
0.7（分）123-k3-解得22=1,.・.攵=±巫£（_恒,恒），故满足题意的〃值存在，且4值为土恒.84224题型动态最值问题类型转化为函数关系，并通过交点情形找出限定范围设过石（）的直线/与曲线+产=交于两个不一样点小求・的取1,0C8/4N,EM£N值范围解当直线/的斜率不存在时，/与曲线无交点，不合题意，•••可设直线/的方程为（）/与曲线交于（不必）、），则y=k x—1,C MNG2,%EM=y\EN=x-l,y l22由2222^8+k x-2k x+k-4=0228x+y=442左=4k-48+k2—40n-272k
272.2k2-------・；•M+Xo=12攵2+8人2—4-----；xx=—912I k2+822—42k2左之％々+—X^2—X]—%2+]+4—X]—+1=%2左2+8F+8・・一一%一%EM EN=0-T,yj X21,%=+1+X%公+41+/._288-r+82V0t8,--19・・・的取值范围是[—二.EM-EN24练习曲线的准线线交轴于过的直线交曲线于两点又的中垂线交工轴V=4%X N,N CAB,于点求石横坐标取值范围E,解横坐标取值范围E3,+00曲线片是双曲线/一］_=的右支，焦点为尸,直线/过点且与双曲线交于、12F P臼两点过、作直线=，的垂线、垂足分别为、记J7Ml+10Px248,A8,42\AB\求的取值范围.4。
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