2025年核心考点梳理与精华汇总攻略

第一讲圆的方程批注［T1］:宋体三号加粗nlM2批注［T2］:一级标题宋体四号加粗清批注［T3］:二级标题宋体小四加粗定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）批注［T4］:正文宋体五号原则x—a2+y—b2=产0圆心（a,b）,半径r方程圆心:（一景一穹，一般x2+y2+Dx+Ey+F=0U+E^—gO半径3/4+〃—方程、圆的原则方程与一般方程的互化1批注［T5］:三级标题宋体五号加粗（-）圆的定义及方程将圆的原则方程a2+22展开并整顿得x2+y2—2cix—2by+a2+b2—r1=1x—y—/=r取£=一〃，E=-2b,F=a2+b2~r得+工+小，+/=.0,2/+2fnE严—2+4222x+y+y+2=4

（2）将圆的一般方程始+）2+Dr+E），+E=0通过配方后得到的方程为:PF）1,

①当4+E2-4Q0时，该方程表达以（一5，一多为圆心，4+序一4F为半径的圆;

②当4+序一4尸=0时，方程只有实数解尸一9,y=一率即只表达一种点（一9，-Ef）;

③当4+E2—420时，方程没有实数解，因而它不表达任何图形.、圆的一般方程的特性是/和项的系数都为,没有的二次项.2F

1、圆的一般方程中有三个待定的系数、£、因此只规定出这三个系数，圆的方程就确定了.3F,

（二）点与圆的位置关系邑约kB而写氤X_〃）2+（y—8）2=’的位置关系

（1）若Mo，yo）在圆外,则（无0-a）2+（yo—份2产.

（2）若M（xo，泗）在圆上,则（沏-4）2+3）—6）2=产.批注［T6］本处标题级数错误,应为

1、

2、3三级标题

（3）若M（xo，yo）在圆内，则（M）—a）2+（光-Z）2r

2.三直线与圆的位置关系措施一措施二四圆与圆的位置关系外离1外切2相交3内切4内含5五圆的参数方程六温馨提醒、方程Ax22Dx+Ey-\-F=表达圆的条件是1+Bxy+Cy+013=0；2A=C声0；3£2+E2-4AF

0.、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算.2圆心在过切点且与切线垂直的直线上.1圆心在任一弦的中垂线上.2两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线.

3、中点坐标公式已知平面直角坐标系中的两点BX2，点是线段的中3,y,,A W,y A5点，则广上等，尸上功.二.典例归纳考点一有关圆的原则方程的求法批注［T7］宋体小四加粗【例1X+Q2+y+b~=m2m¥0的圆心是,半径是,批注［T8］注意例题符号使用【例2】点（1,1）在圆（工一〃）2+（），+〃）2=4内，则实数的取值范围是（）B.0,1C.—8,—1U1,+oo D.1,+oo【例3】圆心在y轴上，半径为1,且过点（1,2）的圆的方程为（）A.r+丁一22=1B./+,+22=1C.-12+，-32=1D.D+厂3尸1A.工一22+2=5B.炉+,—22=5C.x+22+,+22=5D.»，+22=5［例4］圆+2）2+产=5有关原点P（0,0）对称的圆的方程为（）则圆心坐标为x—lx—2+y—2y+4=0,【变式2】已知圆C与圆（x—iy+V=1有关直线y=—x对称，则圆C的方程为【变式】若圆的半径为圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆31,4x—3=0x的原则方程是（）A.B.十一22+，-1f=1D-G-222C.x-l+-3=l【变式4】已知AA5C的顶点坐标分别是A（—l,5）,3（5,5）,C（6,—2）,求AA5c外接圆的方程.【例1】若方程尢2+），2+4/内-2），+5〃=0表达圆，则加的取值范围是【例2】将圆＜+）2—21一4），+1=0平分的直线是（）x+y—A.1=0B.x+y+3=0C.x—,+l=0D.x-y+3=0【例3】圆x2-2x+y2・3=o的圆心到直线x+5），-3=0的距离为【变式】已知点尸是圆卬,—上任意一点，点有关直线1C:f+y2+4%+5=0P的对称点也在圆上，则实数a=2x+y-1=0C【变式2】已知一种圆通过点A（3/）、3（-1,3）,且圆心在3x-y-2=0上，求圆的方程.【变式3】平面直角坐标系中有人（0,1）,3（2,1）,（3,4）,（-1,2）四点,这四点能否在同一种圆上？为何？【变式4］假如三角形三个顶点分别是0,0,4015,仅一8,0,则它的内切圆方程为考点

三、与圆有关的轨迹问题【例动点P到点的距离是到点的距离的倍，则动点P的轨迹方程为1148,082,022222A.x+y=32B.x+y=16C.X-12+2=16D.R2+,—I2=］6【例】方程表达的曲线是2y=—,25—f一条射线一种圆两条射线半个圆A.B.C.D.［例3］在AANC中，若点氏C的坐标分别是・2,0和2,0,中线AO的长度是3,则点A的轨迹方程是22A.X+2=3B.%+2=4C.JC+/=9y00D.X2+/=9x^0［例4］已知一曲线是与两个定点0,0,A3,0距离的比为3的点的轨迹.求这个曲线的方程，并画出曲线.【变式】方程所示的曲线是1N—1=Jl—y—12一种圆两个圆一种半圆两个半圆A.B.C.D.【变式2］动点P到点A8,0的距离是到点仇2,0的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为x2+y2=\6B.无D.2+,-12=]622A.x+y=32【变式3】如右图，过点M—6,0作圆C/+72—6%-4，+9=0的C.x—12+2=16割线，交圆于、B两点，求线段的中点尸的轨迹.A A8【变式】如图，已知点与点是圆＜+》上的动点，连接并延长至，44—1,081,0,2=1BC使得求与的交点尸的轨迹方程.|CQ|=|3C|,AC措施总结求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不一样常采用如下措施直接法根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后1化简.定义法根据直线、圆等定义列方程.2几何法运用圆与圆的几何性质列方程.3⑷代入法找到规定点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.考点四与圆有关的最值问题【例已知圆x2+y2+2x-4y+a=0有关直线y=2x+b成轴对称，则a-b的取值范围是11【例】已知满足/+尸=则三的最小值为.X2x,y1,1【例3】已知点加是直线货+4厂2=0上的动点，点%为圆+12+，+12=1上的动点，则|MN|的最小值是A.1B.1C.,D.,【例4］已知实数x,y满足一22+°，+1户=1贝ij21一，的最大值为，最小值为【变式1】尸工，y在圆Cx—12+°，-1户=1上移动，则/+y2的最小值为.【变式】由直线上的点向圆引切线尸为切点，当2y=x+2P C%—42+y+22=l77最小时，点的坐标是IP71PA.-1,1B.0,2C.-2,0D.1,3【变式3】已知两点4—2,0,80,2,点C是圆上任意一点，则△A8C面积的最小值是.【变式4］已知圆M过两点Cl,-1,且圆心M在x+y—2=0上.求圆的方程；1M设P是直线上的动点，PA.PB是圆M的两条切线，B为切点，求四边23x+4y+8=0A,形面积的最小值.措施总结处理与圆有关的最值问题的常用措施形如〃==的最值问题，可转化为定点3,份与圆上的动点的斜率的最值问题XCI1x,y形如，=依+勿的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；23形如x—〃2+y—份2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题.

（4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值d土一（其中d为圆心到直线的距离）。