2025年几何核心概念深度解析与应试技巧攻略

几何中心三角形的中心几何学中，维空间中一种对象的几何中心或中心、重心、形心是将乃提成矩相等的两部分Xn的所有超平面的交点非正式地说，它是中所有点的平均J假如一种对象具有一致的密度，或者其形状和密度具有某种对称性足以确定几何中心，那么它的几何中心和质量中心重叠该条件是充足但不是必要的有限个点总存在几何中心，可以通过计算这些点的每个坐标分量的算术平均值得到这个中心是空间中一点到这有限个点距离的平方和的惟一最小值点点集的几何中心在仿射变换下保持不变一种凸对象的几何中心总在其内部一种非凸对象的几何中心也许在外部，例如一种环或碗的几何中心不在内部地理学中，地球表面一种区域的几何中心也称为地理中心三角形的中心形心是三角形的黑何中心，一般也称为重心，三角形的三修中线（了同黠和封谖的中黠的速痴交黠，此黠即卷重心⑴三修中^共黠瞪明用西瓦定理逆定理可以直接瞪出BE CFAD_111ECTA^B=i li因此三^共罢占中心分每条中线比为这就是说距一边的距离是该边相对顶点距该边的£212:1,如右图所不假如三角形是由均匀材料做成的薄片，那么几何中心也就是质量中心它的l/3o笛卡尔坐标是三个顶点的坐标算术平均值也就是说，假如三顶点位于和xa,ya,xb,yb,xc,yc,那么几何中心位于gd+g+/，/%+%+%=^OG.OF.OH=\:2:3和垂心四点共线,这个定理最早由欧拉证明,H O三角形的中心一般用字母表达在任何一种三角形中，处心、中心、九点圆圆心G0M F故称为欧拉定理,这条线称为欧拉线类似的有，内心、中心和奈格尔点三点共I GN且丁G TN=13线，O三角形中心的等角共用点称为类似重心O中心分中线为的证明2:1设三角形的中线和交于三角形的中心延长至点使得ABC AD,BE CFG,AD0AG=GO.那么三角形和相似公共角因此平行于不过是AGE A0C A,A0=2AG,AC=2AE,0C GEoGE的延长，因此平行于同样的，平行于BG0C BG0B CG从而图形是一种平行四边形由于平行四边形对角线互相平分，对角线和的交GBOC GOBG点使得这样GD=DO,GO=GD+DO=2GD.rnt,AC=GO=2G GD=2:1,，或』这对任何中线都成立G:性^三角形的重心典三丁更黠速幺泉，所形成的六值三角形面稹相等I2丁姿占到重心的距离隹是中^的黑重心、处心、垂心、九黠心四黠共iaia F3i重心、内心、奈格豳黠、类直似重心四黠共留泉三角形的重心同畤也是中罢占三角形的重心在直角座檄系中,若1期占的座摆分别卷（xl,yl）、（x2,y2）、（x3,y3）,即中黠的座檄卷（+a；2+132/1+Z/2+2/3\）\33三女泉坐襟中、重心的座檄卷be\ca\ab=—\\=esc A:esc B:esc Cone四面体的中心类似三角形的中心的结论对四面体也成立,四面体的几何中心是所有顶点和相对平面中心的连线的交点这些线段被中心提成这个结论能自然推广到任何.维单形假如单形的顶点集3:lo n是将这些顶点当作向量,几何中心位于vO,…,vn,n fa.i=O多边形的中心一种由N个顶点（xi,yi）确定的不自交闭多边形的中心能如下计算:14]记号（xN,yN）与顶点（湘似多边形的面积为xO,yO[N7』=5£（修z/i+i—xi+i%）/i=O多边形的中心由下式给出]NTC=—£（g+羽）（勺色y+1/i+i—+ixD—i=o[NT南£仍仍（）（）Cy=2/i++i g+i—g+i%）2=0有限点集的中心给定有限点集Zl，l2,・・・属于RT它们的中心定义C为+致+,••+/N1面积中心面积中心和质量中心非常类似,面积中心只取决于图形的几何形状假如物体是均匀的,质量中心将位于面积中心［51对于两部分构成的图形，将有如下等式y是特定部分的面积中心到所选参照系的距离是特定部分的面积A当一种复杂几何图形可以提成某些已知的简朴几何图形时，先计算各部分的面积中心，然后通过下面一般的公式计算整个图形的面积中心E yi^j£3这里从轴到中心的距离是了，从.轴到中心的距离是歹，中心的坐标是其y-x9积分公式一种平面图形的中心的横坐标轴由积分x也C=/7/0工一//⑺心给出这里是对象位于在横坐标点轴上的长度，是在图形的测度这个公式能由区域有关fx xy xy-轴的第一矩得出en:First momentof area这个过程等价于取加权平均假设轴表达频率，轴表达欲求平均值的变量，那么沿着轴y-x-x-的中心即T,从而中心可以想象成表达特定形状的许多无限小元的加权平均对任意维数由相似的公式得出中一种对象的中心第一种坐标，假设是对象在坐标的n,R”fx x截面也就是说，对象中第一种坐标为的所有点的集合的维测度x n-1-注意到分母恰是对象的维测度尤其的，在为正规时，即分母为中心也称为的平均n-f1,f当对象的测度为或者积分发散，这个公式无效圆锥和棱锥的中心圆锥或棱锥的中心位于连接顶点和底的中心的线段上，分比为3:lo对称中心假如中心确定了，那么中心是所有它对称群的不动点从而对称能所有或部分确定中心,取决于对称的种类此外可以懂得，假如一种对象具有传递对称性，那么它的中心是不确定的或不在内部，由于一种传递变换群没有不动点。