2025年几何证明技巧全面解析与高效解题策略汇总

做几何证明题措施归纳知识归纳:

1.几何证明是平面几何中的一种重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用几何证明有两种基本类型一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系这两类问题常常可以互相转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题

2.掌握分析、证明几何问题的常用措施

（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐渐向前推进，直到问题的处理；

（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具有的条件，然后再把所需的条件当作要证的结论继续推敲，如此逐渐往上逆求，直到已知事实为止；

（3）两头凑法将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思索，综合法易于体现，因此，在实际思索问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离,最终到达证明目的

3.掌握构造基本图形的措施复杂的图形都是由基本图形构成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往往需要添加辅助线,以到达集中条件、转化问题的目的一.证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系诸多其他问题最终都可化归为此类问题来证证明两条线段或两角相等最常用的措施是运用全等三角形的性质，其他如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的鉴定与性质等也常常用到例L已知如图1所示，AA3C中，ZC=90°,AC=BC,AD=DB,AE=CF°求证DE=DFC FB图1分析由AA5C是等腰直角三角形可知，NA=4=45，由D是AB中点，可考虑连结CD,易得CD=AD,/DCF=45从而不难发现ADCF3AzME证明连结CDD图

112.已知如图12所示，在AA5C中，NA=2NB,CD是NC的平分线求证BC=AC+AD

3.已知如图13所示，过A45C的顶点A,在NA内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ设M为BC的中点求证MP=MQACP图

4.AABC中，ABAC=90°,ADLBC于D,求证AD+AC+BC【试题答案】

1.证明取CD的中点F,连结AF・・・AC=AD・・・AF1CD・・.ZAFC=/CDE=90°又Nl+N4=90，Nl+N3=90・•・Z4=Z3・・・AC=CE:.AACF=^EDASA・.CF=EDDE=-CD

22.分析本题从已知和图形上看好象比较简朴，但一时又不知怎样下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们常常采用“截长补短”的手法“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段E证明延长CA至E,使CE=CB,连结ED在AC8Z）和ACED中，CB=CE・・・/BCD=ZECDCD=CD・・.\CBD二ACED・・.ZB=ZE・・・ABAC=2AB・・.ABAC=2ZE又/BAC=ZADE+/E・・・/ADE=ZE,.・.AD=AE・・.BC=CE=AC+AE=AC+AD

3.证明延长PM交CQ于R・・・CQ1AP,BP1AP・・.BP//CQ.・./PBM=ZRCM又BM=CM,ZBMP=ACMR ABPM=ACRM.・.PM=RM・・・QM是RtAQPR斜边上的中线.\MP=MQ

4.取BC中点E,连结AE・・・ABAC=90°2AE=BC・・・AD1BC,・・.AD AEBC=2AE2AD・.・AB+ACBC.\2BCAB+AC+BC:AAD AB+AC+BCAD^AB+AC+BC・・・AC=BCZA=ZB・/ZACB=90°,AD=DB:.CD=BD=AD,ZDCB=ZB=ZA・/AE=CF./A=/DCB,AD=CD・・.AADE=ACDFDE=DF阐明在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线显然，在等腰直角三角形中，更应当连结CD,由于CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线本题亦可延长ED到G,使DG=DE,连结BG,证AEFG是等腰直角三角形有爱好的同学不妨一试例

2.已知如图2所示，AB=CD,AD=BC,AE=CF求证ZE=ZFE图2证明连结AC在AA3c和ACD4中，v AB=CD,BC=AD,AC=CA・•.AABC=ACDA SSS・・.NB=NDv AB=CD.AE=CF・・.BE=DF在ABCE和AIM尸中，BE=DFvZB=ZDBC=DA・・・^BCE ADAFSASZE=ZF阐明运用三角形全等证明线段求角相等常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注思1制造的全等三角形应分别包括求证中一量；2添辅助线可以直接得到的两个全等三角形二.证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明证两条直线垂直，可转化为证一种角等于90°,或运用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证例

3.如图3所示，设BP、CQ是的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线求证KH〃BCAB MN C图3分析由已知，BH平分NABC,又BH_LAH,延长AH交BC于N,则BA=BN,AH=HN同理，延长AK交BC于M,贝l」CA=CM,AK=KM从而由三角形的中位线定理,知KH〃BC证明延长AH交BC于N,延长AK交BC于MTBH平分NABC・・・/ABH=ZNBH又BHJ_AH・・.ZAHB=ZNHB=90°BH=BH・・.AABH=NNBH ASABA=BN,AH=HN同理，CA=CM,AK=KM・•.K”是A/VWN的中位线:.KH//MN即KH//BC阐明当一种三角形中出现角平分线、中线或高线重叠时，则此三角形必为等腰三角形我们也可以理解成把一种直角三角形沿一条直角边翻折轴对称而成一种等腰三角形例

4.已知如图4所示，AB=AC,NA=90，AE=BF,BD=DC求证FD1EDA图4证明一连结ADv AB=AC,BD=DC・•.N1+N2=90，ZDAE=ZDABv ZBAC=90%BD=DC.・.BD=ADZB=/DAB=ZDAE在和MO尸中，・・•AE=BF,/B=/DAE,AD=BD・・・AAD£=ABDF.・.Z3=Z

1.・・/3+/2=90・・・FDA.ED阐明有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线证明二如图5所示，延长ED到M,使DM=ED,连结FE,FM,BMA图5・・・BD=DC/BDM=/CDE,DM=DE.・.ABDM=ACDE..CE=BM,ZC=ZCBMBM//AC・・・/A=90°・・・/ABM=90=ZA・・・AB=AC,BF=AEAF=CE=BMAAEF=ABFMFE=FM・・・DM=DEFD1ED阐明证明两直线垂直的措施如下1首先分析条件，观测能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证2找到待证三直线所构成的三角形，证明其中两个锐角互余3证明二直线的夹角等于90三.证明一线段和的问题-在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其他部分等于另一较短线段截长法例

5.已知如图6所示在ZVIBC中，ZB=60°,NBAC、NBCA的角平分线AD、CE相交于0求证AC=AE+CDB分析在AC上截取AF=AE易知AA石O2AAFO,.・.N1=N2由NB=60°,知N5+N6=60，Z1=60°,N2+N3=

120.・.N1=N2=N3=N4=60°,得\FOC=ADOC,・・.FC=DC证明在AC上截取AF=AE・・・NB4D=/C4O,AO=AOAAEO=AAFO SAS・・・Z4=Z2又々=

60.・.Z5+Z6=60°・・.Z1=60°.・.Z2+Z3=120°.・./I=/2=/3=/4=60°・・・^FOC=ADOC AAS・・.FC=DC即AC=AE+CO二延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段补短法例

6.已知如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，ZEAF=45°o求证EF=BE+DF分析此题若仿照例1,将会碰到困难，不易运用正方形这一条件不妨延长CB至G,使BG=DF证明延长CB至G,使BG=DF在正方形ABCD中，ZABG=ZD=90°,AB=ADAABG=AADF SASAG=AF,/1=/3又NE4F=

45.・・Z2+Z3=45°.・.N2+/I=45°即NGAE=NFAE・・.GE=EF:.EF=BE+DF中考题如图8所示，已知八钻为等边三角形，延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=BD,连结CE、DEo求证EC=EDE证明作DF〃AC交BE于F・・・AABC是正三角形・・・ABED是正三角形又AE=BD・・.AE=FD=BFBA=AF=EF即EF=AC・・・AC//FD/EAC=/EFD・・.AEAC=ADFE SAS・・.EC=ED题型展示证明几何不等式例题已知如图9所示，N1=N2,ABACO求证BDDC图9证明一延长AC到E,使AE=AB,连结DE在AAZ）石和A4Z汨中，v AE=AB Z2=Z1,AD=AD9・・.AADE=AADB..BD=DE,/E=/B・・・/DCE ZB.・.NDCEZEDEDC,/.BDDC证明二如图10所示，在AB上截取AF=AC,连结DF图10则易证AAD/二AADC..23=/4,DF=DC・BFD43,Z4ZB.・./BFDZBBDDF.BDDC阐明在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线实战模拟

1.已知如图11所示，AABC中，ZC=90°,D是AB上一点，DE_LCD于D,交BC于E,且有AC=AZ=CE求证DE=-CD2。