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大学高等数学知识点整顿公式，使用方法合集极限与持续一.数列函数类型
1.数歹=于用〃1U n;*4=/Q/x xx0/X/・*分段函数:3*Fx=力xxx0a\=x0⑵初等函数:复合含/函数〃=夕%4y=/,u隐式方程厂5x,y=O⑹参式数一，二\』[y=yO变限积分函数7Fx=f fx,tdt J a8级数和函数数一，三:8Sx=xeQn=0特性几何
2.单调性与有界性鉴别;单调定号1/1n X/x0,%—%/©—/4奇偶性与周期性应用.2,反函数与直接函数3y=/xox=/-=y=f~\x二.极限性质.类型含含土〃一81*lim a;*lim fx x±oo;*lim/x x-/Xf8X—X~n0无穷小与无穷大注:无穷量
2..未定型—,—,31,00—00,
0.8,0°,00°
000.性质*有界性，呆号性，*归并性4三.常用结论111nan n〉屋n〃〃也一〉n—1,a a0-1,+h+c fmax c,a0-0n\（）厂=/（夕），户）（）30^[a,/3]:s=d8+r2e d物理（数一，二）功，引力，水压力，质心，
4..平均值中值定理5—1lf[^Z]=-——\fxcbc;Jab-arx f7-f_\ftdt ftdt如----------，/认为周期:/=---------------2/[O+s=lim7E XTXf+8第四讲:微分方程一.基本概念常识:通解,初值问题与特解（注:应用题中的隐含条件）
1.变换方程
2.⑴令⑺，”（如欧拉方程）x=x=y=⑵令〃如伯努利方程u=%y=y=yx,u=y.建立方程应用题的能力3二.一阶方程形式L ly=/x,y;2ydx+Nx,ydy=0;3ya=b=j7xdrnGy=Ax+C.变量分离型4y=fxgyOz⑵“偏”微分方程｝=于（）x,y;ox（）解1一阶线性重点
5.y+pxy=q{x}p（x）〃r1px=口加加工公+%]为Mx（）解法（积分因子法）（）1M x=e^⑵变化〃x+yx=qy;推广:伯努利数一a.齐次方程:二）3y+pxy=qxy446»=2=+⑴解法.=屯〃,X!〃一〃⑵特例包=公+「4+dx a x+b y+c222全微分方程数一且辿=包
5.Mx,ydx+Nx,ydy=0dx dydU=Mdx+Ndy^U=C0=匕=优一阶差分方程数三匕+]-匕=
6.x nxb p{x}y=x Qxbx三.二阶降阶方程n
1.y=/x y=FX+C1X+C2:令半=
2.y”=/x,V V=px ny”=fx,p dx:令，半=
3.y”=/y,V V=py=y=fy,p dy四.高阶线性方程axy^+bxy+cxy=fx,通解构造1⑴齐次解为工=必％+工2%非齐次特解⑴2y%=c y x+Q%1+V*x x.常系数方程u2ay+b/+cy=fx特性方程与特性根21aA+bA+c=02非齐次特解形式确定:待定系数；附/%=能⑪的算子法由已知解反求方程.3欧拉方程数一令工=}
3.axIy^+bxy+cy=,fx,d nFy=D{D-Vy,xy=Dy五.应用注意初始条件几何应用斜率,弧长，曲率,面积，体积；
1.注切线和法线的截距积分等式变方程含变限积分；
2.可设X[fxdx=Fx1Fa=OJ a.导数定义立方程3含双变量条件的方程/X+y=变化率速度
4.「2dv dx
5.F-ma--=--dt dt.途径无关得方程数一孚=6dx oy级数与方程
7.1幕级数求和；2方程的幕级数解法:y=%+]工+2%2+・・・，%=yO,q=y0弹性问题数三
8.第五讲:多元微分与二重积分二元微分学概念极限,持续,单变量持续,偏导,全微分,偏导持续必要条件与充足条件，
1.f lim⑵纣,lim f=limx△JAx^f-df鉴别可微性与4fgx+fgy df,lim△△/X2+»⑴纣=△，△，，△fx0+%,%+“^f=fx+%,%=//%+x0注点处的偏导数与全微分的极限定义:0,0幽上“OfmN,OL,40,0”Mx-0xy-0y孙w0,02⑴/羽y=0,0点处可导不持续;厂+y-特例:
2.*0,0点处持续可导不可微;0,00,=0,0二0,0,0二.偏导数与全微分的计算:.显函数一，二阶偏导1z=y注:⑴/,型；含变限积分2z;3r%，为.复合函数的一，二阶偏导重点2z=f[ux,y\vx,y]纯熟掌握记号•九£,工；,亢，的精确使用,隐函数由方程或方程组确定
3、[Fx,y,z=0…、形式；7存在定理1*bx,y,z=O[Gx,y,z=O微分法纯熟掌握一阶微分的形式不变性规定二阶导2F dx+F dy+F dz=Ox y z注/,%与的及时代入3z0会变换方程.4三.二元极值定义；.二元极值显式或隐式1必要条件驻点；1充足条件鉴别2,条件极值拉格朗日乘数法注:应用2⑴目的函数与约束条件或:多条件z=/x,y㊉0x,y=0,求解环节:〃羽羽求驻点即可.2y=/y+Xox,y,有界闭域上最值重点.
3.⑴“={@,切双工,、z=/x,y㊉60}实例:距离问题2四.二重积分计算.概念与性质“积”前工作:1lJjdb,D对称性纯熟掌握域轴对称；奇偶对称；*字母轮换对称；*重心坐标；2分块”积分*=；*于分片定义；奇偶3“A u3x,y*/x,y.计算化二次积分2直角坐标与极坐标选择转换以“”为主；1互换积分次序纯熟掌握.
2.极坐标使用转换:223fx+y22附222；:二十二；D:x-a+y-b RW1a b~双纽线/+〃一特例:y22=2X2y2D X+y
14.（）单变量（）或（）1/x/y（）运用重心求积分:规定:题型，且已知的面积与重心（,亍）2{k,x+k y}dxdy S2D无界域上的反常二重积分（数三）
5.五:一类积分的应用（（）n）J fM dbD;Q;L;T;E.“尺寸”（；（）曲面面积（除柱体侧面）；1Dj/dboS2D.质量,重心（形心）,转动惯量；2为三重积分,格林公式，曲面投影作准备.
3.第六讲:无穷级数（数一，三）一.级数概念8n定义（）（）〃・・・怎；）L1{4},2S=q+%++——注:⑵（或）；⑶“伸缩级数:一%）收敛o々收敛Z4±4J.性质（）收敛的必耍条件〃21lima=0;〃一8（）加括号后发散,则原级数必发散（交错级数的讨论）；2⑶与〃-；s,-0n s2Hl fs nss二.正项级数正项级数:（）定义:（）特性（）收敛（有界）L10;2S”/;3OS”.原则级数⑴⑵（巨焉3Z53审敛措施注:2]nb]na
4.lab a+b\a=b⑴比较法（原理）:%=（估计），如工£〜4
（2）比值与根值*limS（应用嘉级数收敛半径计算）8U（）Yll J2/1三.交错级数（含一般项）（）〃+%〃（%）z—
1.审”前考察⑴%⑵〃〃（）绝对（条件）收敛10—0;32%注若则发散〃limNau pi,-8J.原则级数⑴（）〃+」；⑵（严；（）（向;l72Z TZ TL3Z—D n n In n莱布尼兹审敛法（收敛）
3.Z
（1）前提㈤发散；⑵条件q-0；
（3）结论Z（—l严为条件收敛・补充措施
4.（）加括号后发散，则原级数必发散；（）〃12s—s,Cl f0=$2+l fS=s Ts.2n n n.注意事项对比»〃；（）〃；£同；之间的敛散关系四.累级数5£T
4.常见形式1⑴，⑵⑶^”，，（九一%）Z4%—
02.阿贝尔定理2（）注当条件收敛时=*2x=x”H=x-x（）结论=父敛/一%;%=■散+1x=R29=H x-x
0.收敛半径，区间，收敛域（求和前的准备）3注⑴»犷,与同收敛半径Z%⑵与—）〃之间的转换Z4X2暴级数展开法
4.前提:熟记公式双向，标明敛域
111.9e—1+x H—x H—x+•••,Q=R2!3!24i^+^=l+—^+—x+...,0=/22!4!,1315-----24・・・，；cos x—\%H—%+O=R------・・，sin x—x x H—x—•Q=R2!4!一一e八3=!x H—H5!—/+・..Q=尺23!5!・・，；一••・，1+X++•X£—1,1—1—X+JC X£—1,1=—/—/一...,*£―lnl+x X1,1]2^
311.9—芳—lnl—x=—x—x[1,1231315r11Tarctanx—x—xH—x—・・・，x£[—I,I]352分解:/x=gx+/zx注:中心移动尤其:—」-------------------,=玉ac+bx+c考察导函数全厂=「3gx x n/x gxta+/O J0考察原函数，4gx=f fxdxn fx=g xJ
0.幕级数求和法注:*先求收敛域，*变量替代5，is%=Z+Z2Sx=・・・,注意首项变化，3S%=Z的微分方程4Sx=Sx”应用〃〃犬〃=〃⑴5£a=Sx=£a W.方程的幕级数解法
6.经济应用数三
7.复利〃现值:〃〃I Al+p;2Ai+r=++£〃〃SL=]I.傅氏级数（三角级数）:n cos nx+b nsin nx五.傅里叶级数（数一）（）7=2»泊充足条件（收敛定理）:
2.Hz/e/⑴由（）（）（和函数）/x nSx25x=1[fx-+/%+]/x cos nxdx〃・・・,=1,2,3,.题型注/xsin nxdx4/x=Sx/£I「江.系数公式％=—[3fxdx,71Jr
（1）T=2乃且/（x）=・・・，九£（—办》］（分段表达）⑵一肛或x ex£[0,27r]⑶正弦或余弦x e[0,7r]尢£[〃*40,»]7=*
5.T=2l
00.附产品:与6/xnSx=+V a cosnx+b sin nxn t1n nn=\00=SXo=+a cos+£n m°+sin nx07Z=1第七讲向量，偏导应用与方向导（数一）;平行=石=
1.k}a+k2b2a一.向量基本运算一△1;（单位向量（方向余弦）
2.a尸,a=cos a,cos cos/——一投影CL•h a,b;———.——.-a.b砾=一
3.;垂直:〃夹角:石二一一a_L5=-8=0;4Q,）
4.；（法向〃〃；面积:axb=axZ_L,h S°=QX二.平面与直线.平面1n⑴特性（基本量））〃=（）z㊉A B.C方程点法式一％+=27i:Ax-x+By Cz-z0=0=Ax+By+Cz+00（）其他:*截距式/+）+之=*三点式31;a bc,直线2L⑴特性（基本量）（）（（），（））=M x%,z㊉（凡）m,p（）方程（点向式）心三匕四=三二包22=m npf AX+B,V+CZ+JD.=0（）一般方程（交面式）:「二:_3）I+B y+2z+E2=0X=q+%—其他*二点式；*参数式;附:线段的参数表达:{丁〃”，/4AB=4+4—£[0,1]Z=C]+C—C”.实用措施3平面束方程1n:AjX+Bjj+CjZ+Dj+AA2X+B2y+C2z+D2=0Ax102距离公式如点M x,%到平面的距离d=+一延2V A2+B2+C200对称问题；3投影问题.4三.曲面与空间曲线准备曲面
1.⑴形式或；注:柱面2:Fx,y,z=02=fx,y fx,y=0法向孔=工,工或〃=一2F,,n cosa,coscos7-zj曲线
2.⑺X-X尸x,X z=⑴形式「＜⑺，或y=y zGx,y,z=0=zQ切向⑺⑺⑺或2s={x,y,z}s=4x%.应用3交线,投影柱面与投影曲线；1旋转面计算参式曲线绕坐标轴旋转；2锥面计算.3四,常用二次曲面圆柱面
1.Y+y2=R2球面
222.x++z=R2变形2222次―x+y=R-z,z=f+y2,2222+y+z=2az,X—X+y—%2+z—z=R-o0锥面:
223.z=yjx+y变形22222x+y=z,z=a-ylx+y.抛物面224z=x+y.变形2222x+y=z,z=a-x+J双曲面/+丁
5.2=2±iz.马鞍面226z=x-y,^z=xy五,偏导几何应用曲面
1.⑴法向尸（）〃（，）注=/（%,、）==（£,力一）x,y,z=O==0K£,z1（）切平面与法线2曲线
2.⑴切向:=必,，；x y=yt\z=z0==V,y z.综合3r切线与法平面2六.方向导与梯度重点r\x%方向导方向斜率
1.7⑴定义条件:7==cosa,cos/7,cos/计算充足条件:可微—=2u coscr+u cos0+cos ydl-x x附于}==z=x,y,/°={cossin fcos0+f sin0x xdl2⑶附:于d f22=cos0+2f sin8cos6+f sin3dr xyyy梯度（获得最大斜率值的方向）
2.G:工£x—0f oo,lim x x Llim—=0,更^=lim0,x=1,人x-+oo e〃xlimxln x=0,e f+ooXfo+四.必备公式:等价无穷小当〃（）时,
1.x-012sin ux〜;tan ux〜〃x;--------1-coswx u%;2*—1〜〃⑴；1+“%一1~aux；〃〃arcsinwx~x;arctan ux~x泰勒公式
2.2；2lnl+x=x-JC+6X le=l+xH—x~+ox-;2!13sinx=—x+6x;、,114/S-------；4COS X—\X HX+QX2!4!，Ia+兀+“卜!51+x=1/+of.五.常规措施前提:⑴精确判断二（其他如・）（）变量代换（如:=）9,18HM8-8,08,0°,8°;2/0oo%00抓大弃小
（一）,
1.
00.无穷小与有界量乘积（）（注）2crM sin—-00X处理（其他如）
3.I0°,oo°左右极限（包括）
4.x-±oo:11⑴一（无一＞）（）（）；）（）分段函数:（）0;2e”xf oo0;3x,[x],max f xx无穷小等价替代（因式中的无穷小）（注非零因子）
5.洛必达法则
6.0rIn XrIn Y⑴先“处理“，后法则（最终措施）;（注意对比与）Y lim--lim-—-一011X51-X⑴计算az=/x,y n4=gradz=f,f;x ybu=fx,y,z=G=gradu=u.u,u_x y⑵结论⑷生.巴di=4S取为最大变化率方向；7=G为最大方向导数值.c GM0第八讲:三重积分与线面积分数一一.三重积分域的特性不波及复杂空间域
1.对称性重点含:有关坐标面；有关变量；有关重心1投影法:2222%={X,yx+y R}®z x,yz z x,y}2截面法{羽3Dz=y+y2R2z}㊉4zb其他长方体，四面体，椭球4/的特性
2.单变量⑶1/Z,2//+y2,/V+V+z,4f=ca+by+cz+d选择最适合措施
3.积”前*运用对称性重点加力细腰或中1“*jjj dv;空，22fz,fx+y截面法旋转2⑶投影法直柱体:1公办匚］:=n fdz%e万严.2R9球坐标球或锥体4I=」・・・重心法/==Jo desin°d0Jo//rdp,5or+by+cz+d:I=ax+by+cz+dV^应用问题
4.同第一类积分质量，质心，转动惯量，引力1公式2GaussL.“积”前准备1⑴⑵对称性；⑶代入体现式Jds=L;L；；；；[，切=!於=⑺⑺_/e J/%«,+y2%计算公式:
2.补充阐明
3.⑴重心法j ax+by+cds=ax+hy+cL L与第二类互换2•rds=^A-dr应用范围
4.第一类积分1柱体侧面积2三.第一类面积分JJS z.“积”前工作重点:1⑴代入羽JJdS=£;E:b y,z=0对称性如字母轮换,重心2分片3计算公式
2.孙；；1z=zx,y,x,y eD=/=Jj fx,y,zx,+z+z dxdy%2与第二类互换j]x・淡S=j]X・d«四第二类曲线积分⑴公+力其中有向Jpx,y Qx,y LL\x-.直接计算〈1-^t^I=\~[Px\t+Qy\t]dt2\y=yt L常见⑴水平线与垂直线；2/+y2=l公式
2.Green⑴；§Pdx+Qdy=jj-Wdxdy段噌=换途径;喘噌=围途径⑵]L4f8L力-（）（但内有奇点）（变形）3g Qx=G（道路变形原理）⑴办=〃（微分方程）=RZr+d|=u.推广（途径无关性）二又32dy dy（）（羽+（乂）与途径无关（/待定）微分方程.2J Py}dx ydyL应用
4.功（环流量）:/=，尸・dr（「有向c,b=（P,R）,d厂=rds=（dx心,dz））r五.第二类曲面积分定义办或仅力（其中£含侧）
1.JJ/Vydz+Qdz^k+H y,计算
2.jj⑴定向投影（单项）（）其中（）（尤其:水平面）;R x,yz dxdy,E:z=zx,y9注:垂直侧面,双层分隔合一投影多项，单层〃=一人22,—z/Jn jj=JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy[P-z^+Q-z+R\dxdyy（）化第一类（不投影）（氏）3E n=cosa,cos cosynJj Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=Pcos a+Qcos3+R cosydS以位工番工dP dQdR故度计算1divA=—+—+—dx dydz⑵依公式封闭外侧，内无奇点Ga sE=jjj妤Pdydz+Qdzdx+Rdxdy divAdvzJJ+JJ⑶注*补充“盖”平面:52通量与积分
4.£有向〃，,,O=jj A-dS1=7,6/5=ndS=dydz,dzdx,dxdy z六:第二类曲线积分（）（））（）2:j Px,zdx+Q{x,y,z dy+R x,y,z dzr参数式曲线「直接计算（代入）
1.注⑴当时,可任选途径；（）功（环流量）:rotA=02I=JF-dr公式（规定「为交面式（有向），所张曲面含侧）
2.Stokes Z一一d dd⑴旋度计算=「,＜百）（）R=VxA xP,Q,A ox oy dzF=Q-
（2）交面式（一般含平面）封闭曲线:n同侧法向〃=｛凡,4,£｝或｛G「Gy,GJ；VJ—u公式选择・3Stokes0A,dr=JJV xA ndS（〃）化为，力必+必办:+；（/）化为（）如力；（）化为口2k^JJR X,y,25（）幕指型处理:（严=⑺一⑺（如―钎=x（x+｝x））2“%e e-l（）含变限积分;3（）不能用与不便用4•泰勒公式（皮亚诺余项）处理和式中的无穷小
7.极限函数/（%）=/■〃）（=＞分段函数）8lim〃一＞8六.非常手段.收敛准则:1〃la=/5n lim/%x-+x双边夹〃工〃〃〃Q*b a4g,“b,c Ta单边挤*/3a=fa*%M0n+}n.导数定义洛必达包=/%2lim△△D%，111积分和
3.lim——+/-+-••+/-]=[f^dx,nnnn中值定理
4.lim[fx+a-/%]=a lim/C x-X—-K»-级数和数一三
5.〃〃钙g2I〃收敛=如+外+…+〃=,1£limo”=0,lim——2limq〃一8〃一8J78〃=1n=\8◎）｛%｝与同敛散72=1七.常见应用
1.无穷小比较（等价，阶）*/（X）〜kxn,（X-0）・・・尸―尸〃o/〃二1/0=/0==0=0,0=x==£+ax〜xn\n\渐近线含斜
2.fx\一1Q=lim-——-,b-lim[/x ax]=/x-ax+b+ax—00%x—002/x=zr+/7+«,——0x.持续性（）间断点鉴别（个数）；（）分段函数持续性（附:极限函数，/（）持续性）312x八.切上持续函数性质连通性勿）［（注:「平均”值:⑷（）（）（））
1./Q,=%VO vv19+1-2/Z=/x0介值定理:（附:达布定理）
2.⑴零点存在定理（））（）=（根的个数）；,f a/S0=//⑵/（尤）=（［于（））0=x dx=
0.第二讲:导数及应用（一元）（含中值定理）一・基本概念差商与导数/（%）=/（%+△%）_/（%）；/，（与）=/（*）一〃%）
1.lim iim△x-04X x-x X-Xo⑴尸（）i（X）i
（0）（注:（持续）=（）（））0=lim~lim3=A f/0=0J0=A x-0%x-0x（）左右导（）£（%）；2Z x,0（）可导与持续；（在处，持续不可导；可导）.微分与导数△于-于（△）3x=0x xx2x+%（））（）于（乂）-f x=f\x AX+o zjr=df=dx⑴可微O可导；（）比较，与的大小比较（图示）；2V4二.求导准备.基本初等函数求导公式；（注（（））f）1|/x|z/y|,法则（）四则运算；（）复合法则；（）反函数丁=一12123dy y三.各类求导（措施环节）:•定义导⑴/（）与尸（刈；（）分段函数左右导；（）1Q23limx=a hrOFx xw x注/x=,°,求:1%Jx及尸x的持续性［a x=x（）初等导（公式加法则）
2.〃求:〃%图形题;1=/[gX],⑵产（）可/⑺力，求:尸（）（注（］（］/（羽力），（］/⑺力））x XJa Ja JaJa（X）,一⑶、，、，求力（/），九（/）及尸（%）（待定系数）y=［力（）x X*隐式（（））导:孚,3/%»=02ax dx1（）存在定理；1（）微分法（一阶微分的形式不变性）.2（）对数求导法.
3.参式导（数-，二）:「二期求李白4[y-X0dx dx严二1b7!（*严=优*n+[高阶导〃）（）公式a-bx a-hx
5.f x办〃=nn11办+—sin asinox H——xn;cos ax=acosxn22次〃=〃⑺〃，u+C/TJ+C,d2/+…注/（“）（）与泰勒展式（）-----------------------------------------------n/x=+axd Fax22n〃d—=a=“Yl\四.各类应用,斜率与切线（法线）；（区别（）上点和过点的切线）1y=/x AlAl.物理:（相对）变化率—速度；
23.曲率（数一二）夕=—JLgL一（曲率半径，曲率中心，曲率圆）（7i+/,2（x））3边际与弹性（数三）（附:需求,收益,成本,利润）
4.五.单调性与极值（必求导）.鉴别（驻点/（））1%=0:⑴（）＞＞（）；（）＜（）；/*%0=/%//,xo^/x\（）分段函数的单调性2（））＞＞零点唯一;n（）＞＞驻点唯一（必为极值，最值）.3f\x0=/x0=极值点
2.⑴表格（（）变号）;（由汇区牛»汇学＞的特点）7x lim w0Jim0,limw0=x=0殉工fqX—X x4f\x\X⑵二阶导（尸（%）=）0注（）/与尸,尸’的匹配（/图形中包括的信息、）;1实例由确定点的特点.2f\x+Ax/x=gx x=xJ闭域上最值应用例与定积分几何应用相结合,求最优3不等式证明/
3.20区别*单变量与双变量？万］与［1X£a,+8,x e-oo,+oo类型；2VO,/6ZO*/,^0,/00⑷；〃*/*0,/,0*%O,/x=0,/^0o0注意单调性端点值极值凹凸性.如,糯3㊉㊉㊉xx=M,函数的零点个数:单调介值4㊉六,凹凸与拐点必求导!表格;〃%
1.0=0,应用泰勒估计；单调；凹凸.212,3七.罗尔定理与辅助函数注:最值点必为驻点结论n尸
1.Fb=Fa C=/C=
0.辅助函数构造实例2⑴［x/Cn Fx=ftdtJ a⑵/CgC+f@g©=o nFx=fxgx=33/©g©-/©g©=FX=44gx尸⑴=/%;4/C+/IC/C=o n/幻有〃+个零点%有个零点
3./0=0102特例:证明⑺的常规措施:令尸⑺=匕⑺有个零点月%待定
4./4=a f%-+
1.注:含配么时,分家!柯西定理5附达布定理在［］可导,［尸⑷,尸阴,遮£口向,使:/记=
6./X a,b Vce c八.拉格朗日中值定理结论:〃〃；⑷-毛，州©L/»—/=/03—九.泰勒公式（连接了,尸,’之间的桥梁）r结论（）（）（）（）（）（）2）3；
1./x=f x+/,X J£-A+—/JC X-X+—/--Xo O OOO o•D•,应用在已知/⑷或/S）值时进行积分估计2十.积分中值定理（附:广义）［注:有定积分（不含变限）条件时使用］第三讲:一元积分学一\基本概念.原函数/（）1X⑴尸x=/x;2fxdx=dFx;3j fxdx=Fx+c注⑴/（）「/⑺力（持续不一定可导）;x=J a（）「（「⑴出=（）（（）持续）2x ffx/xJ aJ a不定积分性质
2.DJ,f%/x dJ/x友=；公=.fxdx可j x=/x+二.不定积分常规措施.熟悉基本积分公式1基本措施:拆线性性
2.j^/x+A:g%6k=Z:,j/x6k+A:J gxdx22凑微法（基础）规定巧，简，活（元九）
3.l=sin2+COS2dx=—d{ax+b\xdx=dx,—=d\nx,-^=2d«a2x yJxX2,dx-d[\+x,1+Inxdx=dxlnx7Vl+x变量代换
4.常用三角代换，根式代换，倒代换1x=sint,Nax+b=t,—=t,Je+1=t x（）作用与引伸（化简）2Jd±1—x=t分部积分巧用:
5.含需求导的被积函数如⑴出;1In%,arctan xjfJ J反对幕三指tl axtl2“x edx,x Inxdx.⑶尤其，对‘⑴公*已知的原函数为尸*已知/=尸幻/xx;公；迅速法；sinx+4c°S Qf pxedx,fpxsin cucdx3j dxasinx+bcosx J.特例61JnJ Jxu三.定积分:概念性质:
1.积分和式可积的必要条件:有界,充足条件:持续1几何意义面积，对称性凋期性，积分中值2心八*£y/ax-x2dxa0=^a2;a+b x7--------------*%dx=OJ2附依3f{x}dx Mb-a,fxgxdx定积分与变限积分,反常积分的区别联络与侧重4变限积分
①⑺力的处理重点2:x=[/可积=
①持续，/持续=
①可导1/⑵⑺力，；「%=「;「£7=/%f3dt fxdt=x-afxJ aJ ciJ a由函数「/⑺力参与的求导,极限,极值,积分方程问题3Fx=J a公式:[/幻r公b=/—尸〃/在[夕上必须持续!
30.N—L Ja注:⑴分段积分,对称性奇偶,周期性有理式，三角式,根式2含⑺力的方程.3J变量代换/P
4.fxdx=\fututdt JaJa「a—J=J〃1fxdx fa-xdxx=-%,兀i⑵a a如:Mx\f{x}dx=f-xdxx=-t=+f-x]dxJ-a JO-a17T，〃sin xdx=-——0n717T24£/sin xdx=/cos xdx;£/sin xdx-
2./sin xdx,5£j/sinx6/¥=f sinxcbc,分部积分
5.准备时“凑常数”1已知或［时,求2f\x,fx=C fxdxJaJa.附:三角函数系的正交性6,2乃.•22sin nxdx=o万丁乃.cos nxdx=sinnxcos nvcdx=00Jo
24..°sin nxsinmxdx-cos nxcosnvcdxn m=
022.2广乃期2兀sin^nxdx-cosnxdx=Jo Jo四.反常积分公，[持续f/x1/xdx/x.类型:⑴1J—8JaJ-oo在处为无穷间断2j/xtZr:/xx=a,x=b,x=ca vcvZ敛散；
2.,计算积分法公式极限可换元与分部3㊉N—L㊉►+oo]ri
1.特例1下41dx;2—dx/J五.应用柱体侧面积除外面积，
1.rb2S=C；⑴；S=X-gx]dx3S=，j6»d9;4侧面积:S=f2〃/x JT7尸面dxa•体积2⑴匕=⑵匕=[广寸，公»J2X—g2x]dx;yf dy=2x⑶匕/与匕「0引长+办:
3.I ds=Jdx2尸ly=/x,x^[a,b]s=f J1+2xdxJ X=xZ⑴K+L。
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