2025年高中解析几何核心要点与解题技巧深度解析

高中数学解析几何知识点答题总结第一部分直线:

一、直线的倾斜角与斜率倾斜角

1.Q（）定义直线/向上的方向与轴正向所成的角叫做直线的倾斜角1x范围3:00«180°.斜率直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.k=tana2a人倾斜角为的直线没有斜率90（）.每一条直线均有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于轴时，其2x斜率不存在），这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种状况,否则会产生漏解（）设通过（玉，）和B（,%）两点的直线的斜率为k.3A yX2则当为々时，；当玉=超时，a=9Q）;斜率不存在；%=tana=

二、直线的方程.点斜式已知直线上一点（必必）及直线的斜率k（倾斜角）求直线的方程用点斜式y-yo=k1P a（x-xo）注意当直线斜率不存在时，不能用点斜式表达，此时方程为；:x=x

0.斜截式若已知直线在轴上的截距（直线与轴焦点的纵坐标）为匕，斜率为则2y y2,直线方程y=kx+b；尤其地，斜率存在且通过坐标原点的直线方程为y=kx注意对的理解“截至”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别:.两点式若已知直线通过（为，必）和（工，为）两点，且（玉W工，必W丁则直线的方程3222为一必々一X注意

①不能表达与光轴和轴垂直的直线;y

②当两点式方程写成如下形式（々一%）一凹）一（%—））时，方程可以适应在于任何一条y Q—x=°直线截距式若已知直线在轴，轴上的截距分别是b（O/O）则直线方程:4x ya,QW Wa1^+b2B2\c1+2a1ACx+a1C2-bB2]=-2a2AC a2C2-b2B2%，十/=〃22222A2+/^^2=a A+b B联立消得1F xAx+By+C=Oa2A2+b2B2y2+2b2BCy+b2c2-a2A2=0-lb2BC2A2+%=前诉33+“22⑵弦中点问题斜率为k的直线I与椭圆L+=\m2,n0,m手交于两点n44%,%）、B（x,y）M（x（）,%）是AB的中点，则:22n2x0*为-一内尸=JX]22+H⑶弦长公式:2一玉々]=J1+/[X[+%42第四部分双曲线原则方程（焦点在轴）原则方程（焦点在轴）yX2222双曲线二一二=1（〃〉0/〉0）a b二—二=1（〃〉0/〉0）a~b第一定义平面内与两个定点，尸的距岗的差的绝对值是常数（不不小于耳瑞）的点的62轨迹叫双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距\M\MF\-\MF^=｝2a（〃\FF）

2.2yp y%定义F第二定义平面内与一种定点方和一条定直线/的距离的比是常数当时，动点的轨迹是e,el双曲线定点/叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数（）叫做双曲线的e el离心率i-F\F p//2Xp1范围Ka,yeR\a,xw R对称轴轴，轴；实轴长为虚轴长为x y2对称中心原点00,0耳-,,60,-c60,c060焦点坐标焦点在实轴上，c=a2+b；焦距我再=2c顶点坐标-，一a,a067,00,0,c离心率e=—ea1司的戈段）a-c MF（）焦半径（双曲线上的点与焦点之1Iiz2b2（）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）2aAB重要结论哆成的三角形）点（）焦点三角形（双曲线上的蓄一点与两焦3彳任1从e-e-bcottan—c c准线方程准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离辿C渐近线b y=±—x ah x=±-y Cl方程2222共渐近线的0^=k攵w0双曲线系方a2b2程（）判断措施:联立直线方程与双曲线方程消（或）得到有关的一元二次方程，根1y xx据鉴别式的符号判断位置关系A△有两个交点相交000△相切有一个交点=0=相离o没有交点A0of22联立/一乒消得1y[Ax+By+C=0a2A2-b2B2X2+2a2ACx+a2c2+b2B2=0-2a2AC a2C2+b2B2Xx+X2=a2A2-b2B2%1%2=a2A2-b2B2直线和双联立2一1消得曲线的位1XAx+By+C=0置a2A2-b2B2y2-2b2BCy-2222Z C-a A=02b2BC2222-Z C-^A%+%=/两2/J22⑷弦中点问题斜率为k的直线l与双曲线上--=1机0,〃0交干两点nty n及2%、B（x,y）M（玉），是的中点，贝k=^~m%A（X］，y）y（））AB U22AB弦长公式乐也一”=J1+Z l[X]+%2-4X]%2]补充知识点等轴双曲线的重要性质有（）半实轴长二半虚轴长;1（）其原则方程为丁=其中；2CW（）离心率=也；36（）渐近线:两条渐近线互相垂直;4y=±x（）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项;5（）等轴双曲线上任意一点处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被所平分;6P P）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形面积恒为常数/7第五部分抛物线知识点总结/=2pyp0—=-2pyp0y1〃〃=-2pxpQ=2x oy2图象O平面内与一种定点尸和一条定直线/的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点尸叫做抛物线的焦定义点，直线/叫做抛物线的准线｛利“月二点到直线/的距离｝M范围x0,yeR x0,y^R x^R,y0对称性有关轴对称x有关轴对称（苧y I-（-匕）勺）隹占_________________2

八、、

八、、焦点在对称轴上顶点（）0,0离心率二e1x=-E x-E准线22方程准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等顶点到准线p_的距离2焦点到准线的距离焦半径AF=AF=y+—-x+—AF=-y.+—）4%,y112212焦点弦长一%pAB+x2+（X+%）+，一y+%+〃%+%+〃焦点弦AB的几条性质,）A M0（工，）52%N（以，%%焦点在轴X正半轴为例）认为AB直径的圆必与准线1相切，以为直径的圆与相切与点即MF±FNMN ABF,\AF\=+=忸尸|=羽+=21-cos«-21+cos若AB的倾斜角为a，则|=%+/+〃=々一（通径）a2p sin-2P2马=乂%=P64S—p211厂一—c.AFBF p2sma忆驾蜘参数方程直线与抛物线的位置关系

1.[y=kx+b直线=,抛物线C:y2=2px22px,消得V=f y化脑一.）彳+（+26=0（）当时，直线/与抛物线的对称轴平行，有一种交点；（）当时，1k=o2kWO△直线/与抛物线相交，两个不一样交点；0,直线/与抛物线相切，一种切点；A=0,△直线/与抛物线相离，无公共点0,（）若直线与抛物线只有一种公共点，则直线与抛物线必相切吗？（不一定）3有关直线与抛物线的位置关系问题常用处理措施

2.直线八y=kx+b抛物线C/二2/，（〃下0）y-kx+by2=k2x2+2kb-px+b2=0=2px

①联立方程法:设交点坐标为（尤）B（x,y）,则有△（）以及七十々，玉々，还可深入求出A1,y,3,22+y=kx+b+kx+b=%》+x+2b2}22y y=（k%+b）（k%2+b）=k2xx+枢$+x）+b2x2}22在波及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，例如相交弦的弦长a.AB|A B|E，（+々）--一阿J=J1+Xj——Jl+1J X]2-—Jl+2-^―j—或同一%|=（）必%=+廿午j+,J y+y22-4民中点加（%0，%）,%（）=为/,%=y%乙乙

②点差法设交点坐标为（，）（々,乂），代入抛物线方程，得A MM,322=2px\y=2pxY22将两式相减，可得2Pa.X+%（）（必+%）（）M—%=2P%—4在波及中点轨迹问题时，设线段的中点为（%,/）b.A3%一%=2P=2p=P玉一々必+%2yo%在波及斜率问题时,同理，对于抛物线（）若直线/与抛物线相交于、两点，点/（公,%）x2=2py pw0,A B是弦的中点，则有=注=工2P2p pAB8=^（注意能用这个公式的条件）直线与抛物线有两个不一样的交点，）直线的斜率存在，且不等于零）12注意）,截距式方程表不能表达通过原点的直线，也不能表达垂直于坐标轴的直线12）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a,・横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y-a一般式任何一条直线方程均可写成一般式Ax+By+C=O；（不一样步为5A,8零）；反之，任何一种二元一次方程都表达一条直线注意

①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数民与否为才能确定4C（B）-A

②指出此时直线的方向向量（氏—A）,（—氏A）,；______（单位9-------------------------［，屁+4yA1+B）向量）；直线的法向量（）；（与直线垂直的向量）45\x=x.+at（（选修）参数式（（/参数）其中方向向量为64-4［y=y+bt--------Qa bb|HI4—2I点舄对应的参数为4,4,

72./a2+b2x=+tcosax0（/为参数）其中方向向量为（cos%sina）,/的几何意义为IPg I；斜y+tsma=y单位向量匕；口初=万；17—77率为；倾斜角为二（乃）tana0a

三、两条直线的位置关系/]:A“++G=0位置关系:y=kx+b l:y=kx+b,2:+B2y+c*2=0x]222AB、c.平行O k、=k，旦b]w b----=-------W-----AIB2-A2BI=0A2B C重叠O k、—k9且b、—b~~A BC222相交O k、w kAJi AB22垂直=k、,k——144+3/2=0设两直线的方程分别为足记之或2就；然二%2”0；当L吟或出时它们相交，交点坐标为方程组｛:黑或［解城黑口42A解；注意

①对于平行和重叠，即它们的方向向量（法向量）平行；如（，与）（）4=442,32对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如（4心）・（4,当）=

②若两直线的斜率都不存在，则两直线平行；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为「，则两直线垂直

③对于月=来说,无论直线的斜率存在与否，该式都成立因此，此公式使用44+4起来更以便.

④斜率相等时，两直线平行（或重叠）；但两直线平行（或重叠）时，斜率不一定相等，由于斜率有也许不存在

四、两直线的交角（）乙到的角把直线人依逆时针方向旋转到与重叠时所转的角；它是有向角，其范1注意

①人到今的角与里到人的角是不一样样的；

②旋转的方向是逆时针方向；

③绕“定点”是指两直线的交点（）直线与的夹角是指由与相交所成的四个角的最小角（或不不小于直角的2/14471角），它的取值范围是＜不；0«°

（3）设两直线方程分别为夕:或上4；--J

①若为/同的角，或64tan_7^tan”1I rv2rit IXJL|

②若为和的夹角，则仁卜京款|；44tan*|tan|

③当1+匕左2=0或44+g层=0时，6＞=90°；注意

①上述与女有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，并且两直线互不垂直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理7171

②直线到，2的角与乙和4的夹角a=（＜不）或=万一（夕＞不）；

五、点到直线的距离公式［坐+州）+Q.点尸（%，儿）到直线l:Ax+By+C=Q的距离为d=221VA+B

2.两平行线4:Ax+5y+G=0,，2-+为+2=0的距离为:IG-cj72+B2，A

六、直线系:1设直线:A]X+gy+C]=0,1:A X+By+C=0,通过乙儿的交点2222的直线方程为用+除去乙；4%+4+0+24^+2=如

①丁=y-1-kx=0即也就是过＞一与的交点除去的直线方程Zx+ln1=0x=00,1x=09

②直线/:加一恒过一种定点m-lx+2m-l^=5注意推广到过曲线力与，丁=的交点的方程为＜+%=°；x,y=0/2与/:平行的直线为；2Ax+3y+C=0Ax+8y+G=0与/:垂直的直线为以―；3Ax+3y+C=0Ay+£=0

七、对称问题中心对称1

①点有关点的对称该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点力有关的对称4c,d点Qc-a,2d-b

②直线有关点的对称、在已知直线上取两点，运用中点公式求出它们有关已知点对称的两点的坐标，再由两点I式求出直线方程；、求出一种对称点，在运用由点斜式得出直线方程；II/J//2运用点到直线的距离相等求出直线方程IIL如求与已知直线有关点对称的直线乙的方程4:2x+3y—6=0Pl,—1轴对称2

①点有关直线对称、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数I、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在运用中点坐标公式求II解如求点有关直线/:对称的坐标A—3,53x—4y+4=0

②直线有关直线对称设〃力有关/对称、若力相交，则々到/的角等于人至的角；若〃〃/,则以//,且与/的I I距离相等、求出〃上两个点有关/的对称点，在由两点式求出直线的方程n山、设为所求直线直线上的任意一点，则尸有关/的对称点的坐标适合P%,y P的方程♦如求直线〃丁—有关/:丁—对称的直线匕的方程2%+4=03%+41=0

八、简朴的线性规划设点，和直线/:1POo yoAx+5y+C=0,

①若点尸在直线/上，则，=；

②若点尸在直线/的上方，则-0+80+By；BAx++C0

③若点在直线/的下方，则；P WAxo+Byo+OvO二元一次不等式表达平面区域2对于任意的二元一次不等式By+CAx+00,

①当时，则By+C表达直线/:By+C=上方的区域;80Ar+0Ax+0By+C表达直线/:By+C下方的区域;Ax+0Ax+=0

②当时，则By+C表达直线/:By+C=下方的区域;3Vo Ax+0Ax+0By+C表达直线/:By+C上方的区域;Ax+0Ax+=0注意一般状况下将原点,代入直线中，根据〉或来表达二元一次不等式表达平0Ax+By+C0面区域线性规划3求线性目的函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解构成的集合叫做可行域x»生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题注意

①当时，将直线向上平移，则的值越来越大;50Ax+3y=0z=直线向下平移，则的值越来越小;Ax+By=0z=Ax+By

②当时，将直线向上平移，则的值越来越小;3Vo Ax+By=0z=直线向下平移，则的值越来越大;Ax+By=02=Ax+3y如在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目的函数z=x〃获得最小值的最优解有无数个，则々为；+y第二部分圆与方程

2.1圆的原则方程（x—o）2+（y—）2=-2圆心

①/），半径厂222特例圆心在坐标原点，半径为〃的圆的方程是点与圆的位置关系

2.2设点到圆心的距离为圆半径为

1.d,r⑴点在圆上；（）点在圆外；（）点在圆内〈Ud=r2Udr3Ud r..给定点加（元（）,）及圆C:（x-a）2+（y-h）2=r

2.2P0

①在圆内（〃）（凡—〈尸

②加在圆上（通_〃）（如_勿产M C0%—2+3202+2=

③在圆外ox-a2+y-h2r2A/・圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=

0.23当时，方程表达一种圆，其中圆心半径「也咨士=.2J22当七时，方程表达一种点2+2_4/=0

（2）2当口寸，方程无图形（称虚圆）.2+£2y/注（）方程盯+以+尸=表达圆的充要条件是且且22142+54,2+4+3=04=CwO£+E-4AF

0.圆的直径系方程已知是圆的直径AB七,为）如，为）=一）—川+⑶一力）（丁一为）=

42112.4直线与圆的位置关系直线Ax+By+C=0与圆（x—a1+（y—尸=尸的位置关系有三种，是圆心到直线的距离，d/2+B2A A（）厂相离；（）〃相切；（）12004021=004=30dr=相交=△・两圆的位置关系25设两圆圆心分别为，，半径分别为门，［，0122IO1O2I=d（）o外离=条公切线；⑵八外切条公切线；1dq+G4d=+4u u3（）,一o相交条公切线；（）3hvd vq+4=24-弓|o内切条公切线;d=4o1圆的切线方程

2.6直线与圆相切（）圆心到直线距离等于半径；（）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为

1.1r2负倒数）,圆222的斜率为k的切线方程是y=kx±y/l+k2厂过圆22一点2x4-y=r x+y+Dx+Ey+F=O_h尸，、）的切线方程为％），丁+000%+0般方程若点项在圆上，则2,yo x-axo-a+y-byo-b=

7.尤其地，过圆x2+y2=r2上一点（）的切线方程为x^x+y^y2P x,y=r00力-（）（（））y=%%i—x若点（）不在圆上，圆心为（）则心-力-%（-肛）|,联立求出攵=切线方程.Xo,yo a,b，旌+1圆的弦长问题.半弦、半径、弦心距构成直角三角形，满足勾股定理

2.71r d2（7V-=R2-d2（MN=J（X]-42）2+y-%）

2.弦长公式（设而不求）2I I]（=J1++%）2—4Xj X2]第三部分:椭圆一.椭圆及其原则方程椭圆的定义平面内与两定点F距离的和等于常数2（|耳的点的轨迹叫L HF2Q做椭圆,即点集」+；M={P||PF|PF2|=2a,2a|FiF|=2c}2这里两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距R,F22c（忻闾时为线段耳，怩阊=无轨迹）2a==2c F22av2c原则方程c2=a2-b

12.22

①焦点在轴上入；焦点x_Q+2-]ab0F±c,0a b22y,x_1

②焦点在轴上-或+；焦点y72—1ab0F0,±ca b注意

①在两种原则方程中，总有，并且椭圆的焦点总在长轴上;ab0,/=2+/22X y

②一般形式表达一+—或者ny2=lm〃m wn mn=1771x2+0,0,二.椭圆的简朴几何性质:范围

1.2222椭圆二十二2=1ab0横坐标—纵坐标-bWxWb,aWxWaa2b2椭圆二十乙=横坐标-，纵坐标-a1b211ab0aWxWa bWxWb2对称性.椭圆有关轴轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，x y椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

3.顶点椭圆的顶点:A1Ai-a,0,a,0,Bi0,-b,B0,b2线段分别叫做椭圆的长轴长等于短轴长等于和分别叫做椭圆的长半轴长2AA,BA2a,2b,a b和短半轴长

4.离心率我们把椭圆的焦距与长轴长的比％,即反称为椭圆的离心率，2a a12c1力、2记作e=—=}--a aeOvel,9越靠近于越小，椭圆就越靠近于圆；e0e越靠近于越大，椭圆越扁；e1e注意离心率的大小只与椭圆自身的形状有关，与其所处的位置无关椭圆的第二定义平面内与一种定点焦点和一定直线准线的距离的比为常数2（）的点的轨迹为椭圆（归）de,0el d=e22

①焦点在轴上二（）准线方程工=±a2b2x+A=1ab022

②焦点在轴上准线方程y=+-a~b cy4+0=1ab0小结一基本元素（）基本量、、、、（共四个量），特性三角形1a bc e（）基本点顶点、焦点、中心（共七个点）2（）基本线对称轴（共两条线）3椭圆的的内外部

5.2222X X]X

（1）点P（后,%）在椭圆F+£=14〃0的内部0/+铲1CT2X的外部=/+炉（）点）在椭圆12a%,%一2_2几何性质

6.（）焦半径（椭圆上的点与焦点之间的线段）a-cMF a+c1（）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）AB=——2a

09、

（3）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）SMFF=〃.tan—其中LXIVI r]22AF MF=0X2直线与椭圆的位置关系7（）判断措施:联立直线方程与椭圆方程消（或）得到有关的一元二次方程，根据鉴别式1y xx△的符号判断位置关系△有两个交点相交00相切o有一个交点A=0o△相离o没有交点0o「22%y-联立〈消得/+5=1yAx+By+C=Q。