2025年高中解析几何核心要点与解题技巧全面梳理

高中数学解析几何知识点大总结第一部分直线:

一、直线的倾斜角与斜率.倾斜角1⑴定义直线/向上的方向与轴正向所成的角叫做直线的倾斜角X00«180°范围3:.斜率直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.k=tana2a（）.倾斜角为的直线没有斜率190（）.每一条直线均有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于轴时，2x其斜率不存在），这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种状况,否则会产生漏解（）设通过（玉，）和（,为）两点的直线的斜率为k,3A yB X2则当王了时，；当玉时，生三丝；斜率不存在；2%=tana=

二、直线的方程.点斜式已知直线上一点（）及直线的斜率k（倾斜角）求直线的方程用点斜式1P xo,yo ay-地二任包）x-注意当直线斜率不存在时，不能用点斜式表达，此时方程为；:x=x

0.斜截式若已知直线在轴上的截距（直线与轴焦点的纵坐标）为〃，斜率为左，则2y y直线方程y=kx+b；尤其地，斜率存在且通过坐标原点的直线方程为y=kx注意对的理解“截题”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别:.两点式若已知直线通过（王，%）和（）两点，且（耳W々，必W丁则直线的方342»22x产丁一弘一一%不王:一%一切々一玉注意

①不能表达与轴和轴垂直的直线;x y

②当两点式方程写成如下形式（入一百）一）一（%—）—％）时，方程可以适应在23X X1=°于任何一条直线截距式若已知直线在轴，轴上的截距分别是b（）则直线方程:4x ya,awO/wO注意）,截距式方程表不能表达通过原点的直线，也不能表达垂直于坐标轴的直线1）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为横截距与纵截距互为相反数的直线2x+y=a;a2A2+b2B2y2+2b2BCy+b2C2-a2A2=0-2b2BC b2C2-a2A2⑵弦中点问题斜率为k的直线I与椭圆L、\（m2,〃0,m手方交于两点m nr+=2A（M，M）、5（工2»2）〃（玉），为）是AB的中点，则:加2%0一%⑶弦长公式|的二三三三二（女）（玉+）2一=J1+2[X24%1%2]第四部分双曲线原则方程（焦点在轴）原则方程（焦点在轴）X y双曲线2222=-二二（〃〉/〉）10二-三=（〉）10/0/b22b2第一定义平面内与两个定点片，尸的距离的差的绝对值是常数（不不小于月工）的点的2轨迹叫双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距2a\\M^MF\-\MF^=（2a田鸟|）定义第二定义平面内与一种定点厂和一条定直线/的距离的比是常数当时，动点的轨迹e,el是双曲线定点/叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数（）叫做双曲线e el的离心率范围x a,y sR ya,xe R对称轴x轴，y轴；实轴长为2〃，虚轴长为2对称中心原点00,0居（,）0K0,—c60,c焦点坐标焦点在实轴上，c=y）a1+b2；焦距=2c顶点坐标（一，）（，）-a,a000,0,c八离心率ze=—ea1司的戈段）a-c MF\（）焦半径（双曲线上的点与焦点之「12必_2（）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）2aAB重要结论登一点与两焦点够成的三角形）（）焦点三角形（双曲线上的3任J«b2,e2S»MF\F2==h-cote2tan—2c c准线方程准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离网iCb y=±—x渐近线bax=土一ay方程2222共渐近线的=k々/“左（壮）w00双曲线系方/b2程（）判断措施:联立直线方程与双曲线方程消（或）得到有关的一兀一次方程，根据1y x x鉴别式的符号判断位置关系A△有两个交点o相交0△相切有一个交点=0=直线和双曲相离o没有交点A0=线的位置f22二上一1联立a2b2消得；1y[Ax+By+C=O（a2A2-b2B2）x2+2a2ACx+a2（C2+b2B2）=0-2a2AC a2（C2+b2B2）12a2A2-b2B212a2A2-b2B222土-匕7联立/一乒消得:xAx+By+C=Oa2A2-b2B2y2-2b2BCy-b2C2-a2A2=02b2BC-Z2C2-6Z2A222⑷弦中点问题斜率为k的直线l与双曲线上二〃〉交干两点=1m0,0rrm9J必、M%,%是的中点,则:弦长公式a…了4%,Bx,yAB22左玉+々A—玉々]=J1+2[4补充知识点等轴双曲线的重要性质有半实轴长二半虚轴长;1其原则方程为其中；2V—y2=c cwo离心率；3e=渐近线:两条渐近线互相垂直;4y=±x等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项;5等轴双曲线上任意一点处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被所平分;6P P等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形面积恒为常数/7第五部分抛物线知识点总结图象y2=2pxpy2=-2px{p2py{x1=-2py{p00x=2p00平面内与一种定点F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线/叫做抛物线的准线｛闾四月二点到直线/的距离｝Mx0,yeR x0,yeR R,y0x^R.y0范围XE对称性有关轴对称有关轴对称x y隹卢吁）（，）

八、、

八、、一”焦点在对称轴上顶点00,0离心率e-1x=-R-JLX2y=-2y=2准线方程2准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等顶点到准线的距离£2焦点到准线的P距离AF=x+—AF=-x+—AF=y+—焦半径x}1AF=Vi+—1212212焦点弦长AB-%+x2+p X+%+〃一y+%+〃%+%+P1yJ1M\0X也N/认为AB直径的圆必与准线1相切，以MN为直径的圆与AB相切与点F,即MF±FN焦点弦的几条性质,必）（）3%,%AF（以焦点在X2l-cosa21+cosa轴正半轴为例）若AB的倾斜角为a，则|=玉+%+P=士一2P（通径）sin a2P2%%=4X%=P1,1p2AF\BF p^0B2sin〃

1.直线与抛物线的位置关系\y^kx+b直线？=匕+力，抛物线C j=2px,»=2,消丫得Y+2-px+/=0上当时，直线/与抛物线的对称轴平行，有一种交点；当时,1k=o2kWO△直线/与抛物线相交，两个不一样交点；0,直线/与抛物线相切，一种切点；A=0,直线/与抛物线相离，无公共点A0,若直线与抛物线只有一种公共点,则直线与抛物线必相切吗？不一定

32.有关直线与抛物线的位置关系问题常用处理措施直线/y=kx+b抛物线=〉p0y-kx+by2^k2x2+2kb-px+b2=Q=2px

①联立方程法:设交点坐标为工，则有△8，以及玉，还可深入求出AX],y,32v2,+x,x x212%+为=kx+b+kx+h=+x+2by y=k%+bkx2+b=k2xx+枢与+x+b2[22}2]22在波及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，例如a.相交弦AB的弦长E Xy—k2|AjB|=Jl+—Jl+12JX]+42——Jl+或AB=白必一%|=为二尸音l lJi++922_47J1+中点〃%,%,再b.%0=%2,

②点差法设交点坐标为，，々,为，代入抛物线方程，得4%%822y=2p%y=2p%2将两式相减，可得（M）（%+%）=2Mx—x）一%Hi=2PX+%%—々在波及斜率问题时，k=^—a.ARX+%b.在波及中点轨迹问题时，设线段A3的中点为必一乂二2P_2J J玉一々必+%2yo%则有旦=注=且2p2p p8=是弦AB的中点,同理，对于抛物线/=2py（pw），若直线/与抛物线相交于A、B两点,（注意能用这个公式的条件1）直线与抛物线有两个不一样的交点，2）在，且直线的斜率存不等于零）方程可设为x-y=a一般式任何一条直线方程均可写成一般式Ax+By+C=O；不一样步为5零）；反之，任何一种二元一次方程都表达一条直线注意

①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数氏与否为才能确定A（B-A}

②指出此时直线的方向向量（民―）（）（单位A,-RA,,..向量）；直线的法向量（）；（与直线垂直的向量）A5x=x+ata（选修）参数式（参数）其中方向向量为（）64-41♦/,ba bk=-\P^\=;a单位向量；胃1KF/I%-%2点鸟对应的参数为6,412,yla2+b2x=+tcosa（/为参数）其中方向向量为（cos%sin「）,方的几何意义为I尸巴I；斜y=y+tsinaQy=y（+bt-------）率为；倾斜角为（））tana a0a两条直线的位置关系l:Ax+By+C=0位置关系x x x xkx+b l-y=kx+b，X:y=2:-A2+52y+=0x}222B CA平行k、=k，2,日.by wb}}O-------------W------AIB2-A2BI=0B0C,9重叠k、—k，2，且b、=—Z2BC2相交k、w k=/竺AB22垂直k[,k=A+BB=0O—1AJ2}2设两直线的方程分别为片;二箧段或上篇:第当或…AB wAB时它们相交，交点坐标为方程组;黑黠}221解;注意

①对于平行和重叠，即它们的方向向量（法向量）平行；如（）（）A B,=A ABI9292对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如（，直）（，生）=A♦40

②若两直线的斜率都不存在，则两直线平行；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为工，则两直线垂直

③对于耳=来说,无论直线的斜率存在与否，该式都成立因此，此公式使用44+4起来更以便.

④斜率相等时，两直线平行（或重叠）；但两直线平行（或重叠）时，斜率不一定相等，由于斜率有也许不存在

四、两直线的交角（）到的角把直线依逆时针方向旋转到与重叠时所转的角；它是有向角，其范1注意

①人到人的角与角到人的角是不一样样的；

②旋转的方向是逆时针方向；

③绕“定点”是指两直线的交点（）直线人与的夹角是指由乙与，相交所成的四个角的最小角（或不不小于直角的22JI角），它的取值范围是或乙::y=Z/+4A/+y+C=0（）设两直线方程分别为:3l-y=kx+h2l:+By+C=A X0222222

①若为/即的角，二餐!或兼幡;2tan tan”

②若为和的夹角，贝但通二段或曙髓

③当+匕攵或层时，＜；44tan”1=0A4+5=09=90°2注意

①上述与女有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，并且两直线互不垂直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理JI JI

②直线到乙的角夕与和的夹角a=e（ef或a=7i—e（e＞小

五、点到直线的距离公式

44.点（%）到直线l:Ax+By+C=0的距离为d=[□1P x°,V2A+2B0GYI72AB

2.两平行线=，=的距离为:

六、+24:Ar+By+G4Ax+By+Q直线系设直线1:Ax+By+C通过乙的交点14:A/+gy+G=0,=0,42222的直线方程为4丁+4丁+£+4%+32¥+2=除去4；如

①左即也就是过与％=的交点除去的直线方程y=+lny—1—x=0,y—1=000,1x=0

②直线/:m-lx+2m-ly恒过一种定点=42—5注意推广到过曲线与，了=的交点的方程为/鱼+/%=；/x,y=0720与/:平行的直线为；2Ax+3y+C=0Ax+By+£=0与/:垂直的直线为母—；3Ax+3y+C=0AV+G=°

七、对称问题中心对称1

①点有关点的对称该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点有关的对称Ad Cc,d点2c-a,2d-b

②直线有关点的对称、在已知直线上取两点，运用中点公式求出它们有关已知点对称的两点的坐标，再由两点I式求出直线方程；、求出一种对称点，在运用/〃〃由点斜式得出直线方程；II

2、运用点到直线的距离相等求出直线方程III如求与已知直线=有关点对称的直线乙的方程4:2x+3y—6Pl,—1轴对称2

①点有关直线对称、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数I、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在运用中点坐标公式求II解如求点有关直线/:对称的坐标A—3,53x—4y+4=0

②直线有关直线对称设有关/对称Q,、若力相交，则到/的角等于匕至的角；若〃〃/,则〃〃/,且〃力与/的距离相等I I、求出上两个点有关/的对称点，在由两点式求出直线的方程II、设为所求直线直线上的任意一点，则尸有关/的对称点的坐标适合m Px,y P的方程a如求直线有关对称的直线的方程2x+y—4=0/:3x+4y—1=0b

八、简朴的线性规划设点和直线/:1Ar+By+C=0,

①若点在直线/上，则加为+=；

②若点在直线/的上方，则P0+0PJB AXQ+5yo+C0；

③若点在直线/的下方，则为；P5Ar0+o+CO二元一次不等式表达平面区域2对于任意的二元一次不等式Ax+By+C00,

①当〉时，则By+C表达直线/:By+C上方的区域;30Ax+0Ax+=0By+C表达直线/:By+C=下方的区域;Ax+0Ax+0

②当时，则By+C表达直线/:By+C下方的区域;5v0Ax+0Ax+=0By+C表达直线/:By+C上方的区域;Ax+0Ax+=0注意一般状况下将原点代入直线中，根据〉或来表达二元一次0,0Ax+5y+C不等式表达平面区域线性规划3求线性目的函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解羽叫做可行解，由所有可行解构成的集合叫做可行域y生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题注意

①当时，将直线向上平移，则的值越来越大;B0Ax+5y=0z=Ax+直线向下平移，则的值越来越小;Ax+By=0z=

②当时，将直线向上平移，贝!的值越来越小;50Ax+By=0lz=Ax+By直线向下平移，则的值越来越大;Ax+5y=02=Ax+By如在如图所示的坐标平面的可行域内阴影部分且包括周界，目的函数z=x+获得最小值的最优解有无数个，则为；ay第二部分圆与方程2」圆的原则方程x—〃2+y—份2=非圆心c〃/,半径一222特例圆心在坐标原点，半径为厂的圆的方程是x+y=r.

2.2点与圆的位置关系设点到圆心的距离为圆半径为L d,r⑴点在圆上一；点在圆外；点在圆内〈d=r20dr30d r..给定点及圆—加2Mx0,yo C:a/+y—2K

2.

①例在圆内

②在圆上乂-加户C ox0-2+2=

③在同外=/一丁M C2+0-2/

2.3圆的一般方程x2+y2^-Dx+Ey+F=

0.当加+£〉时，方程表达一种圆，其中圆心半径〃=但±星竺.；2_4/0I222当+石=时，方程表达一种点—色.22_4/；I22当炉_尸时，方程无图形称虚圆.2+4注方程+必+或+尸=表达圆的充要条件是且=且1Ar+Bxy+G23=0240D2+E2-4AF

0.圆的直径系方程已知是圆的直径ABAx,y Bx,y=x-xx-x+y-y y-^=

0112212122.4直线与圆的位置关系直线Ax+By+C=0与圆x—a+y—勿2=户的位置关系有三种，是圆心到直线的距离，」』d dA+£屋+炉/A⑴2r=相离040；2二-0相切04=0；3相交o△0d ro2・5两圆的位置关系设两圆圆心分别为半径分别为S二〃01,02,0|02|八+弓o外离条公切线；=八+与外切=条公切线；1do423,-々|八+乃o相交条公切线；3vd vu24d=4-G|O内切o1条公切线;圆的切线方程

2.6直线与圆相切（）圆心到直线距离等于半径；（）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为

1.1r2负倒数）,圆x2+y2=r2的斜率为的切线方程是土〃过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上一点2Z y=Zx（）的切线方程为x^x+y^y+DP x,y00般方程若点（））在圆上，则（）（（））（）（（））2M Jo%-a x-a+y-b y-b=

7.尤其地，过圆x2+y2=r2上一点尸（，（））的切线方程为2Xo y xx+y y=ro oy-y=k（x-x）l0l0若点（）不在圆上，圆心为（）则卜-力-%（〃-）联立求出左n切线方程.xo,yo a,b1|,27/+i圆的弦长问题.半弦人、半径、弦心距构成直角三角形，满足勾股定理:

2.71r d22=R2-d2—々+必一乂

22.弦长公式（设而不求）2-J]+%-[%+X2-第三部分:椭圆二椭圆及其原则方程

1.椭圆的定义平面内与两定点F HF2距离的和等于常数2a（|大乙|）的点的轨迹叫做椭圆，即点集；M={P||PF/+|PF2|=2a,2a|FR|=2c}这里两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距R,F22c（々闾时为线段与，月闾=无轨迹）2a=|=2c F22a|2c原则方程c2=a2-b

22.x2二=1

①焦点在轴上+x TC/Lb222X

②焦点在y轴上T+T a b；焦点7=1ab0F0,±c注意

①在两种原则方程中，总有〃，并且椭圆的焦点总在长轴上;ab0,/=2+22X y

②一般形式表达一+—或者nvc2+ny2m wri mn=1=lm0,n0,二.椭圆的简朴几何性质:范围.122椭圆二十二=横坐标-，纵坐标-11ab0aWxWa bWxWb22椭圆二+二2=1ab0横坐标—纵坐标-bWxWb,aWxWaa2b2a2b22对称性.椭圆有关轴轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，x y椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3顶点.椭圆的顶点:1Ai-a,0,A a,0,Bi0,-b,B0,b22线段分别叫做椭圆的长轴长等于短轴长等于和分别叫做椭圆的长半轴2A1A2,BA2a,2b,a b长和短半轴长

4.离心率我们把椭圆的焦距与长轴长的比％,即反称为椭圆的离心率，2a a1力、22c1记作e=-2=一一•a aeOvel,越靠近于越小，椭圆就越靠近于圆；e0e越靠近于越大，椭圆越扁；e1e注意离心率的大小只与椭圆自身的形状有关，与其所处的位置无关椭圆的第二定义平面内与一种定点焦点和一定直线准线的距离的比为常数2PF\I的点的轨迹为椭圆e,0el——^=ed222

②焦点在轴上与+与准线方程y=±—er bcy=1abo小结一基本元素基本量、、、、共四个量，特性三角形1abc e2丫a22

①焦点在轴上二+二准线方程x=1ab0X=±——a2b2C基本点顶点、焦点、中心共七个点2基本线对称轴共两条线

3.椭圆的的内外部522丁[X22点%,%在椭圆二+二=〃〃的内部O二？+”

1101.cT b~Cl D2222工、X y1点在椭圆/+的外部=/+铲〉2R=lQb

01.几何性质

6.焦半径椭圆上的点与焦点之间的线段a-c\MF\a+c1通径过焦点旦垂直于长轴的弦AB=生2a

09、焦点三角形椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形〃・其中r3S MFF=tan—LXIVI1122ZFMF=0}2直线与椭圆的位置关系7⑴判断措施:联立直线方程与椭圆方程消或得到有关的一元二次方程，根据鉴别式yxx的符号判断位置关系A△有两个交点相交00相切o有一个交点A=0o△相离o没有交点0of22%y7联立+乒=消得171yAx+By+C=O+b2B2x2+2a2ACx+a2C2-b2B2=O-la1AC a2C2-b2B2X+X2^a2A2+b2B2中2=°2A2+62^2联立〈盛消得5XAx+By+C=O。