2025年量子力学核心考点梳理与备考攻略

既然能级有展宽，艮崂=+凡人=瓦+卜九八，所以，当电子从以跃迁到£/一时,发出的谱线，就不止乙=（或°）-同％）/力一个频率，而是有一个顷率范围匕谱线的频率应该是=~+△匕其中，（或+△力这叫谱A=A/J/线的展宽△嘛为谱线宽度半经典理论

35.__________、\J♦/J I4/XV J*|uu ZJ JJCJ j-f14—、半经典理论申磁波J如果对光的吸收、受激辐射和自发辐射的理论处理采用这样的办法将光波看作电磁波（而不是看作光子群），用电动力学（而不是量子力学）来描述，对原子系统采用量子力学来描述，这样的理论习惯上被称为半经典理论半经典一光波用电动力学来描述；半量子f原子用量子力学来描述外------------h v吸取，受激辐射，自发辐射136

一、光的吸收与辐射现象⑴片——「光的吸收实验表明，在光的照射下，原子中的电子能吸收光子，从低能级跃迁hv到高能级，这叫光的吸收石------------在光的激发下，原子中的电子能光的受激辐射从高能级跃迁到低能级，并释放一个E------------光子，这叫光的受激辐射一—hv在没有外界因素的作用下，原子片——光的自中的电子能自动地从高能级跃迁到低发辐射能级，并释放一个光子，这叫光的自发辐射后记本复习资料整顿根据是往年的量子力学总结不过那个只给了考点范围，没有给概念解释，因此我PPT,PPT查阅了教材，百度，维基之后加上个人理解整顿而得，制作粗糙，请见谅PPT,google,本复习资料只能应付填空和问答题，我很确认计算题和证明题范围超过此资料，但详细范围不清晰祝大家考出

5.力学量的平均值满意的成绩附件的概微，那为粒子坐标的平均值，例本人不既然⑺『=|读姿爵方抄目前点如X|〃（尸）/3〃*（尸）〃（尸）x=f xJr=f x保留版d%J-CO J-8的平均值由概率论，有X,权，欢迎各位学霸对此资料进修d3r=clxdydz正又如，势能是尸的函数（）其平均值由概率论,V Vr,与p+oo*p+oo*可表达为V，

（7）丫（尸）〃

（7）/厂V=，i//⑺VG）“G）d3rJ-ooJ-co再如，动量的平均值为万=「〃*（再夕（再〃仔））M+8*3万以刃dp,由于完全确定期完全不确定，点处的动量没故意义X PX能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？-HX）可以，但需要表达为〃*（干）万〃）6=J CFd3r—co其中方为动画的算符P.算符6量子力学中的算符表达对波函数（量子态）的一种运算d如动量算符方三地—i人能量算符£二防二三Edt方2_”动能算符2动能平均值/Sis7=——v7=2/J-ooc+00人角动量算符=角动量平均值/r xp=j-co[一A i=iti薛定谤方程算符方=_左谖韵政防密顿算符，.定态72m数学中，形如加的承呈，称为本征方程其中方程[上力+⑺）=爵螃当扬珈=舐曷符本征函数本征值v]32m〃■再被称为能量本征函数，被称为能量本征值E.当为确定值，〃（了，方）二〃夕（了）（-,£方）拨函数所描述的状态称为定态，处在定E exph态下的粒子有如下特性粒子的空间概率密度不随时间变化，任何不显含的力学量的平均值不随时间变化，他们的测值概率分布也t不随时间变化.量子态叠加原理8但一般状况下，粒子并不只是完全处在其中的某一本征态，而是以某种概率处在其中的某一本征态换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即x=,n2表示在态〃中发现粒子处于态忆,5,具有能量绪的概率I*I x宇称

9.若势函数=V,若〃是能量本征方程对于能量本征值的解，则V x-x x E〃也是能量本征方程对于能量本征值的解-xE定义空间反演算符为〃P/Vx=-X如果〃Py/x=-X=X或=〃一一〃，Py/x x=x称〃%具有确定的偶宇称或奇宇称，如偶宇称f Pcosx=cos-x=cosx奇宇称f Psinx=sin-x=-sinx注意一般的函数没有确定的宇称设〃%是能量本征方程对应吊会量本征值E的解，如果若〃%无简并，则〃具有确定的宇称Vx=V-%,束缚态

10.一般把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态一维谐振子的能量本征值

11.〃力包・・・E=E=+1/2n—0,1,2,.n.隧穿效应12量子隧穿效应为一种量子特性，是如电子等微观粒子可以穿过比它们能量大的势垒的现象这是由于根据量子力学，微观粒子具有波的性质，而有不为零的概率穿过位势障壁又称隧穿效应，势垒贯穿按照经典理论，总能量低于势率是不能实现反应的但依量子力学观点，无论粒子能量与否高于势垒，都不能肯定粒子与否能越过势垒，只能说出粒子越过势垒概率的大小它取决于势垒高度、宽度及粒子自身的能量能量高于势垒的、运动方向合适的未必一定反应，只能说反应概率较大而能量低于势垒的仍有一定概率实现反应，即也许有一部分粒子代表点穿越势垒也称势垒穿透仿佛barrier penetration,从大山隧道通过一般这就是隧道效应例如低温下反应，其隧道效应就较突出H+H

2.算符对易式13一般说来，算符之积不满足互换律，即，与W，肺此导致量子力学中的一种基本问A谢不飒熠AB-BA对易式，一般》][4,w0坐标对易关系ih,a=B々产、、a B=x,y z半0,a B角动量的对易式U,=0,[7,y]=ihz,[l,z]=-ihy,x Vx瓦,工,，工，月二一虫,x]=-ihz,[.l,y]=0,z]=Fix,[4x]=ihy,[l,z]=o,y v[,，一，乙八.=ih07,3]=46Z/jE，瓦]=一认识，，，比]=，o,u,p U7,pj==0[4ihDxx[皿,，瓦]U,p\=-ihp,4=0,2y x仄匕]=工,£]=0,[7J]=0,0,y K人人/\/\人人人/\A，[4/y]=%L yJA=ihi.[7,7J=ihlx Zy八—八—八—八—令厂=/;+/;+/=,有八八/\G八八G八[/24]=0,[/24]=0,[/2][=.厄密算符平均值的性质14则人的共软转置算褊*称为的厄密共朝算符记为Q,即不先转置，再VA,44+=共帆}J dn//Ap=\dzpAi//体系的任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数，在任何状态下平均值为实的算符必为厄米算符，试验上可观测量对应的算符必须是厄米算符厄密算符的属于不一样本征值的本征函数彼此正交量子力学有关算符的基本假设

15.

1、微观粒子的状态由波函数〃=就寓

2、波函数的模方行春津时刻粒子出目前空间点阮琳的概率t

3、力学量用算符表达

4、波函数的运动满足薛定格方程2d h7人的丁〃尸二一「〃1+V/J=HW,ot2m5=-匹+一哈密顿算符v7/2m.算符的本征方程，本征值与本征函数16数学中，形如幻的承呈，称为本征方程其中A f算符，/一本征函数”一本征值满足/=印〃的夕和Z不止一组，可能有〃组，因此科、Ay/=n此式称为袖本征方程，4称为人的一个本征值，匕称为加勺一个本征态力和是算符/的本征态与本征值，女睬都是不简并的，则也能构成一组正交归一完备4V4,态矢，系统的任何犬态〃均可展开如下其中，*=\/x=n不确定度关系的严格体现

17.A4AB|[iJ]|/2两个算符有共同本征态的条件

18.囱=两个算符对易，即[A力学量完全集

19.若算符的本征值是简并的，仅由其本征值无法惟一地确定其本征态若要惟一地确定其本征态，必须再加上另某些与之对易的算符的本征值才可例如，仅由r的本征值不能确定体系状态，必再加上以的本征值才能确定体系状态这样，为了完全确定一种体系的状态，我们定义力学量完全集Z B…I定义假如有一组彼此独立并且互相对易的厄米算符！」，它们只有一组共同完备本征函数集，记为〔外；,戊可以表达一组量子数，给定一组量子数后，就完全确定了体系03…的一种也许状态，则称！’为体系的一组力学量完全集1力学量完全集共同本征态的性质

20.设有一组彼此对易的厄密算符［（4,4,4,…），它们拥有共同本征函数少人若%构成正交归一完备集，使得任给体系的一个量子态〃，总有〃=攵心，则......………:………………:………………:………………:………………:………………:………………:……称…………:………………:………………:………………\k………:………………:………（4,4,4,…）构成体系的一组力学量完全集若能级简并可以寻找另外的算符A,若［d/］=0,则有可能用A的本征值对（方/）的共同本征函数〃上进行分类，从而使同一个石对应的简并态之间的正交性得到保证守恒量

21.对于量不含时的量子体系，假如力学量与对易，则无论体系处在什么状态（定态或非定态），Hamilton HA HA的平均值及其测值的概率分布均不随时间变化，因此把称为量子体系的一种守恒量A.狄拉克符号，内积及其表达形式，算符向左作用22把希尔伯特空间一分为二，互为对偶的空间，就是狄拉克符号的长处用右矢表达态矢，左矢表达其共厄|ot a|矢量，是内积，不小于等于称为模方］是外积a|B a|a0,I Ba〉一右矢—代表量子态必W〃左矢T量子态对勺共辗态〃*I-若也是力学量完全集加本征态，贝）忆〉，如球谐函数是（产,？）的共同本征函数，I Ifl kL IY f|lmhn采用狄拉克符号表达量子态是，都只是一种抽象的态矢，未波及任何详细的表象或=乙|为投影算符kk\=I44kk kk设为代表量子态少的态矢，算符上对应的力学量Z=J在〃态下的平均值为dvi//Li//-i//\L\i//£fZZ=^i//\kxk\L\j\j\y/月内k J算符向左作用£S〉=〉，TX|0Ip\L p=p\X\p T如£=012tp\L=Xp\.角动量平方和角动量分量的共同本征函数23z这样，产和的共同本征函数为-加九勿〃9=-1pcosay V47+zz7!其中勿=1,1—1/••,—1+1,—7,1—0,1,2/,,匕称为球谐函数，它们满足力〃R%=111+D2注意量纲=欣〃1Um厂m=1,1—1,…1+1,-7,1=0,1,2,.•.注意，推导过程计算题有也许要考氢原子的能量本征值与能级简并度

24.E=E77=1,2,3/••,n氢原子的能级是〃简并的2正常效应

25.Zeeman原子在外磁场中发光谱线发生分裂且偏振的现象称为塞曼效应；历史上首先观测到并予以理论解释的是谱线一分为三的现象，后来又发现了较三分裂现象更为复杂的难以解释的状况，因此称前者为正常或简朴塞曼效应，后者为反常或复杂塞曼效应电子自旋

26.电子的基本性质之一电子内禀运动或电子内禀运动量子数的简称电子具有自旋，形成自旋角动量在1M,\任何方向上的投影只有两个数值「丁=互75-/i一/_______自旋形成自旋磁矩应与M的关系是2——————————*—————T基于假设⑴，跖在空间Ws=-e-S相府若面工吊凌影只能取两个数值，如方向，zI I-土力土〃/t磁子e2//cT=rsz自旋不是机械的自转有关电子自旋的试验27Stern-Gerlach初次证明原子在磁场中取向量子化的试验，是由斯特恩和革拉赫在完毕Stern-Gerlach experiment

0.W.19的试验装置如图斯特恩一革拉赫试验装置示意图示使银原子在电炉内蒸发,通过狭缝形成细束，0通过一种抽成真空的不均匀的磁场区域磁场垂直于束方向，最终抵达摄影底片上在显像后的底片P上现了两条黑斑，表达银原子在通过不均匀磁场区域时成了两束斯特恩-革拉林实验装置示意图a实验仪器示意b潴场区域的我面c星像底片试验上高温炉中的原子处在高压，从高温炉中出来之后迅速冷却，处在基态，磁量子数为零，似乎不该偏转，Ag因此原子除了轨道磁矩外，尚有其他磁矩，即自旋磁矩碱金属原子光谱双线构造28对钠原子的跃迁产生一条黄线,30t3s A=

589.3/7/27,用高分辨率的光谱仪进行观测，发现它实际上是由两条谱线构成4=

589.6/7/27,%=

589.Onm与侬械应不同，此现象并非外界因素作用的结Zee果，而是原子的故有特性其根源正是电子的自旋量子跃迁与选择定则

29.在外电场的激发下，谐振子从基态只I0能跃迁到第一激发态I1O22----------920T2Z oo=7ir e~~~0,21Jhco〃⑹〃P0=0,1以上结果表明可以发生，0T1〃不能发生，表明允许谐振子^=的跃迁发生,这称为跃迁的选择定则0-2,0-3,…,0t1即谐振子只能跃迁到相邻能级.禁戒跃迁

301.,已知%+方］/*/„C/=Q2_Z0当〃知寸，有跃迁到末态的概率A13使得〃晨=，若存在这样的末态0,f Pkk=0,K令/⑻玖匕则⑻代表系统从初态=1C34%表明从到*的跃迁是不可能的，回者说，从女到的跃迁是禁戒的A4’在外电场的激发下，龈子从基态〉不能跃迁到激发态，其中〃或者说，〃的t10I nlo0—2,0f3,…,0-跃迁为禁戒跃迁c.微扰论的思想31解薛定谓方程的一种常用的近似措施一种量子体系，假如总哈密顿量的各部分具有不一样的数量级，又对于它精确求解薛定谤方程有困难，但对于哈密顿量的重要部分可以精确求解，便可先略去次要部分，对简化的薛定谓方程求出精确解；再从简化问题的精确解出发，把略去的次要部分对系统的影响逐层考虑进去，从而得出逐渐靠近于本来问题精确解的各级近似解这种措施称为微扰论.突发微扰与绝热微扰32当外界的微扰十分缓慢也作用到系统上时，倏改变系统的状态，逸羊的微扰叫做绝热微扰当外界的微扰十分突然地作用到系统上时，也不会改变系统的状态，这样的微扰叫做突发微扰能量与时间不确定度

33.力被称为时间一能量的不确定度关系，可以证明比式的一般形式为\t\E octl-2此式反映了一个力学堂化快慢的周期同系统能量的不确定度△环能同时为零能级宽度与谱线宽度

34.由于能量不确定性△力X%//2所以，所有的能级都有二个宽度，这叫能级白晚宽。