2025年解析几何核心要点与解题技巧精华汇总

“解析几何”一网打尽（-）直线/直线的倾斜角乃），w々

1.£[0,k=tana=~~—a M（）-X]2直线的方程

2.（）点斜式）（直线/过点（冷力），且斜率为左）.1%6（）斜截式（为直线/在轴上的截距）.2y=^+”b y（）一般式（其中、不一样步为）3—+3+°=°A B

0.尤其的（）已知直线纵截距力，常设其方程为丁二区+人或%=°;已知直线横截距”，常设其方程为1x=y+x（直线斜率存在时，为卜的倒数）或二°.知直线过点（/，%）,常设其方程为=左（）或％=%k m1_/+%（）直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为

20.直线两截距相等直线的斜率为T或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点；1直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点.±1（）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有也许这两条直线重叠，而在立体几何中一般提到的两条3直线可以理解为它们不重叠.、几种距离公式3（）两点间距离公式点（）点（工，）-工）（）1A%J52%.3|=22+X-%2出％⑵（%）到直线的距离为P x9Ar+By+C=0d=022VA+B尤其地，当直线工=*时，点（）到的距离|%一/|；L:0P/»o L2=当直线时，点（，）到的距离一%.L y=yo PXo yL d=y（））.两平行线间的距离公式设珍+，贝旧=耳£33:Ax+gy+G=0,/2+2=

14.两直线的位置关系4J./=%鱼=T（匕、乂都存在时）o44+月层=0；都存在时）=能受3重叠.三角形的重心坐标公式三个顶点的坐标分别为（、（）（）则的重心的坐5AABC AX],yJ Bx,y.C X3,y,aABC22标是G卢+一+”]+%+%）-圆圆的三种方程

1.圆的原则方程2221x-a+y-b=r.圆的一般方程22222x+y+Dx+Ey+F=0£+E-4F

0.圆的直径式方程，圆的直径的端点是、区,为3x—X]x—X2+y—i—y2=03注意.圆心必在弦的中垂线上；两圆相切，两圆心连线必过切点；辅助线一般连圆心与切点或者连圆心与弦中点

1.处理直线与圆的位置关系有两种措施求圆心到直线的距离与圆的半径比较；直线方程与圆的方程联212立，看鉴别式.点玉,%和圆22的位置关系2P x—a+y—b=r当与-时，点在圆外；14+%-4p⑵当尤凡—初=/时，点在圆上;0—2+2p.直线和圆的位置关系3直线与圆相交△》直为圆心到直线的距离=drd线与圆相切直线A=0=d=r与圆相离〈O A0O dr.⑶当玉一〃+初时，点在圆内.3—2/P.圆与圆的位置关系设圆的半径为耳，圆外的半径为，两圆的圆心距为404d,当弓时，两圆相离；当弓时，两圆外切；dq+d=q+当一目彳+时，两圆相交；当卜一与二时，两圆内切；422d当〈时,两圆外离；当卜一目久时,两圆内含4+G d注意若两圆相交时，把两圆的方程作差消去/和就得到两圆的公共弦所在直线的方程1J圆的弦长公式/=为圆心到直线的距离，为圆的半径2/d r求圆外一点到圆上任一点距离的最小值为，最大值为归|+〃其中为圆的半径3P O|PO|——r三圆锥曲线、椭圆1定义平面内与两个定点与，的距离之和等于常数不小于片鸟的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭1E I1圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.椭圆的原则方程和几何性质222原则方程「+/=lab0b图形一bWxWb-范围对称性对称轴坐标轴；对称中心原点一〃，〃，，40,A2040,~a,420ci顶点性质一Bi0,-b0,b B\b,0,Bb,09轴长轴的长为；短轴的长为4A22a2b焦距|F F|=2I C2离心率，e—£01的关系122a,b,c c=a—b注意⑴椭圆上任意一点到焦点的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大值和最小值，且最大距离为M Fa+c,最小距离为

一、c22b⑵过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，并且它的长为——.把这个弦叫椭圆的通经.a（）求椭圆离心率时，只规定出的一种齐次方程，在结合〃？二片一/就可求出匕（）.3e a,b,c Q^

1、双曲线2（）.双曲线的定义平面内与两个定点与，死的距离之差的绝对值等于常数（不不小于片鸟|）的点的1I轨迹称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距.注实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.（）双曲线的原则方程和几何性质

2.£上—9127-1272-1cr b-原则方程cr Ir3o,bQ60,b0平、出图形卜、E范围或XW—Q,y£R x£R,yW—Q或对称性对称轴坐标轴；对称中心原点顶点（一，）（〃，）40,42040,—a,420,a,b y=±-x a渐近线=±xy lc.离心率一,e1,+°07a线段叫做双曲线的实轴，它的长〃；线段叫做双曲A1A2|A1A2|=23/2实虚轴线的虚轴,它的长|即以=；〃叫做双曲线的半实轴长,/叫做双曲线的半26虚轴长的关系212a,b,c c=a-\-b ca0,cb0注意（）直线和双曲线交于一点时，不一定相切，例如，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交1于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一种交点.⑵已知双曲线的原则方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的原则方程中的为就得到两渐近“1”“0”2222线方程，即-斗二就是双曲线的两条渐近线方程.02=1a crr⑶若运用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意阐明斜率不纯在的状况.、抛物线3（）抛物线的定义平面内与一种定点厂和一条定直线/的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点厂称为1抛物线的焦点，定直线/称为抛物线的准线.（）抛物线的原则方程和几何性质2yZI---oc图形一O TJJ1x=—2py P0222y=2pxp0y——2pxp0x=2pyp0原则方程〃的几何意义焦点尸到准线/的距离顶点00,0对称轴y=0x=0隹占喔,0）H，04/、、、/、、、离心率性质e=1尸一”准线方程x=2y-2尤2范围九三尤0,y£R0,GR yNO,x£R W0,x£R开口方向向右向左向上向下注意（）过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段称为抛物线的“通径”，即1A BAB,|AB|=2p⑵焦半径公式若点（的为）在抛物线上，焦点为尸，则用+工；0若点，%在抛物线，上，焦点为尸，则一；Px2=-2pxpo P”2若点PCWo在抛物线％2=2pyp0上,焦点为F,pi,j PF~y0+

2.若点，在抛物线％上，焦点为尸,则时一+P%%2=-2pyp

02.⑶焦点弦问题设AB是过抛物线V=2庶焦点的弦./,BX,%，29D则%々=彳；必一，一；2=AB=x^+x2+p在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数与否为零？△》的限制求交点，

4.弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△下进行）［±［（+丫）丫1+22—4%2弦长公式|P。