2025年立体几何内切外接问题深度解析与技巧总结

多面体与球的内切和外接常见类型归纳在平常教学中，立体几何的多面体与球的位置关系，是培养学生的立体感，空间想象能力的好教材可是学生在两个几何体的组合后，往往感到无从下手针对这种状况，笔者把平常教学中有关这方面的习题加以总结和归类如下:一.正四面体与球如图所示，设正四面体的棱长为为内切球的半径，a,r为外接球的半径则高二《斜高gR SEa,SD=a,又则在OE=r=SE-SO,SD=BD,BD=SE-OE,直角中，OE+EB=BD=（SE-OEyAOEB

①R=SO=OB=124特性分析:由于正四面体是一种中心对成图形，因此它的内

1.切球与外接球的球心为同一种逅=逅此结论可以记忆

2.R=3r.r=R124例题

一、一种四面体的所有棱长都为后，四个顶点1在同一球面上，则此球的表面积为（）分析借助结论，巫仁逅血二且，因此成R=S=42=3万

4422、球的内接正四面体又有一种内切球,则大球与小球的表面积之比是（）分析借助答案为R=3r,91

二、特殊三棱锥与球四个面都是直角三角形的三棱锥面为直角三角形，BC±AB由于SA±ABC,ABC SA_AC,SB1BC,L球心落在的中点处因此二区SC R2三.正方体与球正方体的外接球

1.即正方体的个8定点都在球面上关键找出截面图:为正方体的体对角面设正方体的边长为ABCDa,贝（二后二j ABa,BD=2R,AD a,—8IXRAdo2正方体的内切球

2.（）与正方体的各面相1切如图为正方ABCD体的平行侧面的正方形R=-2与正方体的各棱相切2如图大圆是正方形的外接圆ABCD二AB=CD a,为—6RIX----do2在正方体以一种顶点为交点的三条棱构成

3.的三棱锥，特性是三棱锥的三条侧棱互相垂直且相等，它的外接球可把三棱锥补形成正方体的外接球，再求解例题正方体的全面积是它的顶点都在同一球面上，这124,个球的表面积是___________________解析显然，球是正方体的外接球，则S=122a=2,不R=32=g,一种球与棱长为的正方体的条棱都相切，则球的体积—

2.112解析假如明确了上面的结论，问题很轻易处理＜二走=也1122V二旦兀3将棱长为的正方体削成体积最大的球，则球的体积为—解析削

3.1成体积最大，即规定球是正方体的内切球，与正方体的俄各面都相切R=L匕兀

23、、、、是球面上的四个点，、、两两垂直，

4.P AB CO PAPB PC且二则球的体积是PA=PB PC=1,解析同过条件分析，可采用把三棱锥补形成正方体，则球是正。