2025年解析几何核心概念与解题技巧全面梳理

一、直线与方程基础

1、直线的倾斜角«e[0,7Tk=tana=————;x-Xj2注意倾斜角为90的直线的斜率不存在

3、直线方程的五种形式

①点斜式丁一%=%%-/；

②斜截式y=kx+b；

③一般式Ax+By+C=0；

④截距式-+^=1；a b

⑤两点式口二三二X_X1/_尤]注意多种形式的直线方程所能表达和不能表达的直线

4、两直线平行与垂直的充要条件+Ay+G=0,44工+By+C=Q,4:22QB=A2Bl.41LA A,+B.B1=

0.乙/,_L/o41I

95、有关公式，

①两点距离公式,N%2%，由于交点也在直线上，故,%=履代入表到达与现+y=2+1,%2和再％有关.2要注意

①直线的斜率不存在的状况需单独讨论；

②验证鉴别式；题型三圆锥曲线中的恒过定点、定值问题直线或圆、椭圆恒过定点问题一般是先求出所求的曲线，一般都带有参数如直线方程中带一种参数，就很轻易找出定点但一般状况下，也许刚开始需设两个参数，然后求出曲线方程，灵活运用已知条件，最终的曲线方程是只含一种参数的状况定值问题的求解思绪，往往是分析出一种点是哪两条曲线的交点，就联立哪两条曲线方程，用所设参数表达出动点或动直线，动中自有定数无论怎样，联立+韦达的措施在解题时大量被应用到\MN\=J%2—%2+%-乂2；

②中点坐标公式加（X,/），N（X2，%）/田+—）+则线段MN的中点尸山尸,一）；则点P到直线I的距离d=

④两平行直线间的

③点到直线距离公式:1:Ax+By+C=0,）产（飞0»距禺公式4:Ax+By+Cj=0l-Ax+By+C=0,2f2F-I.则平行直线I、与l之间的距离d=2

⑤到角公式（补充）直线4+片y+G=到直线44X+刍y+2=0的角为❷-O，f）U（*）,则^=点六.（两倾斜角差的正切）

二、直线与圆，圆与圆基础（⑶）；

1、圆的原则方程X—4+―62=/确定圆的两个要素圆心C（a,〃）,半径r；

2、圆的一般方程Y+y2+m+4+尸=，D2+E2-4F0）;（（，）（）2（

3、点P%o%与圆C:x-7+y—〃）2=产的关系:点P（Xo，y°）在圆内O（%—of+（%—b）2v/；点产（%,%）在圆上O（玉）—）2+（%—人）2=产；点「（毛,%）在圆外O（x-a）2+（y-byr2;00（（

4、直线/:Ax+By+C=0与圆C:x—〃）2+y—匕）2=/的位置关系从几何角度看令圆心C（q力）到直线/:Ar++C=0的距离为d,相切d=r；相交=0Jr；（，）（若直线/:Ax+为+C=0与圆C:x—2+y—人产=产相交于两点M,N,则弦长|MN|=2,2—储.从代数角度看联立1:Ax+By+C=0与圆C:（x-6z）2+（y-b）2=r2,消去y（或％）得一元二次方程，八=6-4双,相离=A0；相切△=0;相交OA0；相交时的弦长|“v|=VP7T•归—/I=Ji+p-•|x-%.

5、圆与圆的位置关系相离，外切，相交，内切，内含.圆1（X—玉）2+（y—必）2=7；圆2（%一々）2+（y—%）2=1,根据这三个量之间的大小关系来确定卜-修，|aQ|，q+今；相离；O|0|02|4+4外切［O1Q|=彳+与；相交卜―4|aQ|4+4；内切=［Q］Q|=|一』;内含〈卜一寸；OOKQIQI

6、两圆］（X—X］）2+（_必）2=1

①圆Q（x-x）2+（-%『=G

②若相交,;2则相交弦所在的直线方程的求法交轨法

①式-

②式，整顿化简即可得到相交弦所在直线方程.

三、椭圆:焦点在由上的椭圆原则方程为:〃=

1801、（第一）定义归耳|+归闾=勿＞闺闾;C〃长半轴；b:短半轴；半焦距.c椭圆中，，的关系a2=b2+c2；椭圆的离心率e=9£（0,1）.a

3、弦长公式22直线/:y=自+b与椭圆C:二十二=1（/72w n）交于两点A/（X1,y），N（x,y）,m~vr

222、椭圆原则方程及离心率则相交时的弦长=VF77•后-々I=Ji+,•E--|MN|弦长公式是由两点距离公式与两点斜率公式推导出来，故合用性比较广

4、中点弦结论（点差法）22椭圆二十二=1（根〃）上的两点A/1,%）,N（XQQ，m nMNp弦的中点（七三，七比）,〃2贝kop—

2.UkMNeYYV

5、焦点三角形面积:22椭圆c—+=1（〃〉b〉0）的两个焦点分别为我］、点p是椭圆上除左、右端点外的一点，令/耳=e,贝h〃SAPF^=Tan.该公式是由三角形面积公式、椭圆第一定义、余弦定理结合三角恒等变换推导出来

6、直线与椭圆位置关系22（联立/:Ar+By+C=0与椭圆C:二十二=1加〃），m n消去y（或元）得一元二次方程，△=〃—44，＞相切o△=；相交OA；

7、与点坐标有关的面积公式0（0,0）,4西,弘）,B（X2,y2），点，A,3不在一条直线上,则SAO”=；卜1%一々,.该公式是由三角形面积公式、余弦定理结合三角恒等式推导出

四、双曲线（类比椭圆来学习双曲线）

1、定义归用-归修=2”阳用；焦点在％轴上的双曲线原则方程为:

2、双曲线原则方程及离心率、渐近线方程C实半轴；b:虚半轴；半焦距.%2双曲线中“，Z,C的关系c2=a2+b2；双曲线的离心率e=—£（1,+8）；b焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=+-x；a焦点到渐近线的距离d=〃.焦点在y轴上的双曲线有关性质可以类比

3、弦长公式22（）（）直线/:y=+Z与双曲线C:二一2=10/0交于两点A/X1,y,a~b~T）NG%,%,则相交时的弦长=VFTI包-/I=J+J•|y--

4、中点弦结论（点差法）22双曲线1一斗=1（0*0）上的两点A/（X1,y）,N（x,y）,22a b~弦MN的中点P（土产，咤）,则勺加kop=F-•Q-

5、焦点三角形面积22（）双曲线C:j-2=1〉0力〉0的两个焦点分别为耳、尸,点P是双曲线上除a~b~2左、右端点外的一点，令尸鸟=6,则S上-0•tan—

26、直线与双曲线位置关系

①当直线/与双曲线C的其中一条渐近线重叠时，显然直线/与双曲线C无交点；

②当直线/与双曲线的其中一条渐近线平行时，有且仅有一种交点，）此时联立直线方程与双曲线方程，会得到一种一次方程（二次项系数为0；

③当直线/与双曲线的渐近线既不平行也不重叠时，此时联立直线方程与双曲线方程，消去y（或x）得一元二次方程，A=b2-4ac,相离=A0；相切o△=0;相交oA;

五、抛物线:

1、定义PF=d_到定点的距离等于到定直线的距离的这样的点的轨迹即为抛物线.p

12、原则方程y2=2pxp0开口朝右的抛物线，开口朝其他方向的抛物线方程及其他性质可以类比焦点厂4,0,准线/:x=—,离心率e=l.

223、常见性质

①一般的弦长公式则相交时的弦长|N|=・,-马直线y=Ax+Z与抛物线V=2pxp0相交于两点加和/,Nx,y,22

②过焦点尸4,0的特殊弦长公式及中2与i若弦MN过焦点则弦长|加|=%+々+〃=々一为倾斜2sin aii为%=7，=~P2-

③过抛物线CV=2px〃〉0的顶点00,0作两条互相垂直的射线M、ON分别与抛物线交于两点M,N，弦MN与x轴交于点P,则P2p,0,即\OP\=4\OF.反之亦然，即若|0可=4|0同，则NMON=

90.

4、抛物线中过焦点弦的其他性质补充，作为理解,牢记不能死记硬背如死记硬背，如下知识点不如不用掌握可以尝试证明设MN是过抛物线y2=2Pxp0焦点F的弦，,Nx,y,22如图抛物线图2,则

①SMON2sin a圆锥曲线大题常见题型归纳总结题型

一、求点的轨迹问题常见措施

①直接法设出所求点P%,y，根据题意列出等式，建立起y与x的关系如椭圆的原则方程的求出，自身就是运用这种措施

②几何定义法根据题意画出图形，通过已知条件及所学知识如三角形中位线、圆与圆内切与外切，直线与圆相切的等价条件得出所求点P%,y满足圆的几何定义或椭圆、双曲线、抛物线的定义，从而求出点的轨迹方程；

②-----+——MF NF

③认为直径的圆与准线相切;

④NPFQ=90；

⑤以M/或N/为直径的圆与y轴相切.

5、直线与抛物线的位置关系

①若直线与抛物线的对称轴平行或重叠，则有一种交点；

②若直线与抛物线的对称轴不平行，也不垂直，则根据鉴别式△的符号来确定交点个数；

③若直线与抛物线的对称轴垂直，画图数形结合很轻易判断交点个数

③伴随动点转化法该类题型的特性往往是其中一种动点如点%°,%的轨迹方程是已知的，另有一种定点A或多种定点，所求动点P%,y与定点A和动点a%,为有着一定关系这时只需这样做根据已知条件得出/演yI,代入[为=g%y到点Q%o,%的轨迹方程中，从而建立起y与％的关系，求出点P%,y的轨迹方程.

④交轨法如求两圆相交时的相交弦所在的直线方程，采用的就是这种措施相交弦的两个端点同步在两个圆上，将这两个圆的方程相减，进行整顿即得到所求直线方程.交轨法常用于处理两动曲线交点的轨迹方程问题通过消参来求点的轨迹方程

⑤参数方程法求动点P%,y的轨迹方程，有时直接不能看出y与x的关系，不过设其中一种中间变量为/,发现根据题目已知，能很好的建立起％与麻口y与r的关系，[x=ft即J,然后通过消去参数t建立起y与元的关系从而求出点P羽y的轨迹方程.题型二直线与圆锥曲线的位置关系，相交弦长及最值问题一般的措施就是联立+韦达，结合弦长公式，将弦长表达为斜率人的函数，结合均值不等式来求最值在运用韦达定理时，怎样表达M+%，%,%以及％%土工呢？2%。