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一、单项选择题（每小题分，共分）315L
3.142和
3.141分别作为万的近似数具有（）和（）位有效数字.A.4和3B.3和2Q%四总/⑴+*$+/
22.已知求积公式C.3和4D.4和4j_j_12A.6B・3c.2D.33,通过点（/%）（不y）的拉格朗日插值基函数/（“4（可满足（）C/o%=i,43=1D../入=0,1%=°B,/㈤3=1A4a=
14.设求方程/（司二°的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速A.超线性B.平方C.线性D.三次2+3X]+2x+x=02%+X X=
323235.用列主元消元法解线性方程组［一为一3%=2作第一次消元后得到的第3个方程B-2%+
1.5%3二
3.5=-
1.5C.D.单项选择题答案l.A
2.D
3.D
4.C
5.B得分评卷人
二、填空题（每小题分，共分）315⑴.设%*是真值的近似值，则有位有=
2.40315x=
2.40194X*效数字（）对/（%）=好+%+差商/=（2,1,[0,1,2,3]）o（）设（）「则『
3.X=2,T7||X||（）牛顿―柯特斯求积公式
4.的系数和卜=填空题答案13213741
二、计算题分用二次拉格朗日插值多项式右⑺计算出的值
1.
1550.34插值节点和相应的函数值是0,0,
0.30,
0.2955,
0.40,
0.3894o计算题.答案
1、（%一%）（%一工r/2）,,U-X）（X-X）（x-XoXx-X,）O2（）!-------于+-----------L X=---J f\+-----------------—A2）（花一一百（%-%）（%—x）（%—x%）（%-x）（x）202202）=
0.3333361分用二分法求方程/%=/-%-在区间内的一个根，
2.151=0[
1.0,L5]误差限£=1z计算题.答案2N=6%=
1.25x=
1.375x=
1.312523x=
1.34375=
1.328125x=
1.3203125464%1+2X+X=1123X[+4X+2%=182）（分）用高斯-塞德尔方法解方程组卜再+%取
3.152+5%3=22,/=°，°，°尸，迭代三次要求按五位有效数字计算.计算题.答案33迭代公式%产）=；（“—24）—％）埼+i）=；（i8—%，+】）—2%）琮+1）=%22—2%产）-％尸））谈）甲k X】
000012.
753.
81252537520209383.178936805302404325997318394）.（15分）求系数4,4和4,使求积公式*111f{x}dx1）+A于（——）+4/
（一）对于次数＜2的一切多项式都精确成立一133计算题.答案44+4+43=2一4-=o A+-A,+-A=-{313A=—A=0A,=—3%1+2X+10X=1523-4-10Xj Xx=523-42x,+10x X=85）.（10分）对方程组2342-32试建立一种收敛的迭代公式，说明理由Seidel计算题.答案55）解调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优10xj—4X一多=52%j+10x-4X=83%+2%+10x=152233故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛.迭代格式为=一-3靖旬-2武钊+151012取3）=（0,0,0），经7步迭代可得:%*“X⑺=
0.999991459,
0.999950326,
1.000010r
三、简答题）（分）在你学过的线性方程组的解法中，你最喜欢那一种方法，为15什么？）（分）先叙述求积公式，再阐述为什么要引入它25Gauss
一、填空题（分）
201.若=
2.42315是
2.42247的近似值，则a有（）位有效数字.
2.”（戏式戏…是以°，1，♦・・，〃为插值节点的Lagrange插值基函数,则Z4x==°
3.设/㈤可微，则求方程x=/（x）的牛顿迭代格式是（
4.迭代公式X”）=做出+/收敛的充要条件是
5.解线性方程组（其中4非奇异，》不为0）的迭代格式一用）=B”）+中的B称为（）.给定方程组〔七—5々=-4,解此方程组的雅可比迭代格式为（填空题答案
1.
32.1%一/区）一区）
3.%”=8+4/+|=4+%*得分评卷人
4.夕Ml
二、判断题（共分）101,若/⑷/S）＜°,则/（X）=在（凡与内一定有根
5.迭代矩
2.区间［Q刈上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式（）
3.若方阵A的谱半径夕（A）＜1,则解方程组Ax=b的Jacobi迭代法收敛（）
4.若/（%）与g（%）都是〃次多项式，且在〃+1个互异点｛叫=上/（%i）=g（Xi）,则/（X）三g（x）（\X1+X H
5.用2近似表示优产生舍入误差（）判断题答案
1.x
2.x
3.x
4.
75.x得分评卷人
三、计算题（分）
701.（10分）已知＜0）=1,『
（3）=24,7
（4）=52求过这三点的二次插值基函数/ix=,/3,4]=，插值多项式p2a=，用三点式求得/4=.计算题.答案1由插值公式可求得它们分别为1,八777小加203z—xx-4,—,1H----x+—xx-3,和-----
1.
312151262.15分已知一元方程Y-3x-
1.2=01求方程的一个含正根的区间；2给出在有根区间收敛的简单迭代法公式判断收敛性；3给出在有根区间的Newton迭代法公式计算题.答案
22./0=-
1.20,/2=
1.80又连续故在2内有一个正根，12_________21_______x=+l.2x=3x+
1.23,maxM〃xK—l/.+
1.2收敛r
91.23电手L/%=3--3,=x„-3以7,
八、方、rm八「f fxdx-
0.5+Bfx.+Cf
0.
5、AA/
43.15分确定求积公式八八的待定参数,使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.计算题.答案
33.假设公式对/x=l,x,精确成立则有A+B+C=2-
0.5/4+Bx+
0.5C=0x
0.25A+B X2+
0.25C=-13-
0.125A+B3+
0.125C=0X14解此方程组得A=C=-.B=--33求积公式为以xdx«i[4/-
0.5-2/0+4/
0.5],当/x=/时，-i321左边=*右边=上左边工右边・・・代数精度为
3564.（15分）设初值问题〔六°）二1
（1）写出用Euler方法、步长力=
0.1解上述初值问题数值解的公式；
（2）写出用改进的Euler法（梯形法）、步长/z=
0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解保留两位小数计算题
4.答案
4.
（1）其田=+I©当+2%）=
0.3x〃+l.2yn02y用=X+—3七+2为+3当+
0.2+=%+.16%+2%+2%+
0.6333人+i2人
440、生斗夕日3336333迭达得V.=—I-----=
1.575,y=-------1——=
2.58524022x404xo.2+
405.（15分）取节点/=°，2=05%2=1,求函数=在区间1°』上的二次插值多项式£（劝，并估计误差计算题.答案5八一1八-
0.5八一
0.51e-e e-1p,x=e0+-———x-0+I-S5-------------0,5°x-0x-
0.5-
0.5-01-
05.=1+215-lx+2/-2e-°-5+1x%-
0.5，，^，，^y=-e~x=max y=1,/-p x=-----------------------xx-
0.5x-12xe[0,l]3!••.0E时，…T….5d|
一、填空题（每题分，共分）
4201、数值计算中主要研究的误差有和
2、设3%）（/=°，1，2〃）是口次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则//（玉）=（/,j=o,1,2呜.W）一_____________9___O
3、设4（%）=°，1，2也是区间几力上的一组n次插值基函数则插值型求积公式的代数精度为;插值型求积公式中求积系数4=;且nXAJ=j=0o
4、辛普生求积公式具有一次代数精度，其余项表达式为O
5、/（尤）=/+1,则川,2,3]=,/[1,2,3,4]=o填空题答案
1.相对误差绝对误差1,i=0,jb
1.xdx
3.至少是na b-a需^万⑷G，Cea,b
4.
35.10
二、计算题i、已知函数y=/Q）的相关数据•0123%0123乂=/0O13927由牛顿插值公式求三次插值多项式，并计算―的近似值计算题.答案1解差商表•4fM/E,中〕f\Ft】f，姓工x♦x”1，Zr10011132229623327864/3由牛顿插值公式:4gp3X=N3X=§-2r+—Jh+1,r~7I、4/
1、a-178/
1、y.6W5=§5-25+式+1=2z x
2、（10分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长二0・1,yf=-y+x+l,y0xe0,
0.6=L计算题.答案2/x,y=—y+x+l,%=〃=1,/1=.1,券+1=+0・1%.+1一％,5=°,L2,3,…y二1，yk=
1.000000;
1.000000;
1.010000;
1.029000;解
1.056100;l.090490;l.13144L
3、15分确定求积公式x4f-/z+A/0+AJh中待定参数4的值二°/，2）,使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度计算题.答案3144）==-h,A=-hr/\12解分别将,代入求积公式，可得一330令/（x）=V时求积公式成立，而时公式不成立，从而精度为
34、（15分）已知一组试验数据如下%
12345445688.5求它的拟合曲线（直线）计算题.答案45+15b=3115+55b=
105.
55、（15分）用二分法求方程“x）=d—xT在区间内的根时，若要求精确到小数点后二位，
（1）需要二分几次；
（2）给出满足要求的近似根计算题
5.答案解6次；工
4326、（15分）用列主元消去法解线性方程组3x+5X+2X=5,4xjx23计算题.答案63+30+X X=
32.233+304X]+X X=32,X]23=13,%=8,x3463303323032=
2.352552525,43,
303234646、
433032433032、11/4-41/2-19011/4-41/20-193/2—11-10002/114/11,223303201-82-381012解:0821lx-X=-38,=23=
2.，/%%=
2.一阶均差L设X=2,3「4二则||X|h,||X|b
3.已知〃=3时,科茨系数
4.因为方程/（）=*-4+2=°在区间［1,2］上满足,所以％）=°在区间内有根六当+y厂
5.取步长力二01，用欧拉法解初值问题〔武1）二1的计算公式填空题答案〃%）一-（%）
1.9和屈2,玉）一芯
13.84,〃1〃20K=y
1.1+------------+1kE\l+0,R2J^=0,l,2LJo=1评卷人得分
三、计算题（每题分，共分）15601玉012y~\-必_______1________
0.
50.2求分
1.已知函数1+X的一组数据:段线性插值函数，并计算了（1・5）的近似值.计算题.答案1_r i]^x=――-xl+---x
0.5=l-
0.5xr n解工叩，1v70-11-0士2x
0.5+口x
0.2=-
0.3x+
0.81-22-1所以分段线性插值函数为1-
0.5x xe[O,l]
0.8-
0.3%XG10xj-x-2X=
7.2一为23+10x-2X=
8.323—X]—%+5—
4.
22.已知线性方程组跳L5=
0.8-.3xl.5=
0.35（）写出雅可比迭代公式、高斯一塞德尔迭代公式；1（）对于初始值应用雅可比迭代公式、高斯―塞德尔迭代公2式分别计算X⑴（保留小数点后五位数字）.计算题.答案
21.解原方程组同解变形为玉=
0.1x+
0.2工+
0.7223x=
0.1%,-
0.2X+
0.8323光=
0.2%+
0.2X+
0.8432雅可比迭代公式为x[m+,=
0.1穹+
0.2穹+
0.72v名叫=
0.lx*-
0.2乂+
0.83X,”=
0.2xw+
0.2x”+
0.84=m0J高斯―塞德尔迭代法公式%，叫=
0.1姗+
0.2乂〃+
0.72斓叫=
0.1染叫一
0.2穹+
0.83用雅可比迭代公式得X⑴=（72°00,
0.83000,
0.84000名叫=
0.2染叫+
0.2%!研+
0.84-=0,1…用高斯-塞德尔迭代公式得X⑴=（0・
7200090.90200,
1.16440）
3.用牛顿法求方程V-3龙-1=°在J，4之间的近似根
（1）请指出为什么初值应取22请用牛顿法求出近似根，精确至U
0.000L计算题
3.答案
3.解〃x=V—3x—1,〃1=—30,〃2=10rx=3%2―3,/〃⑺=12%,〃2=240,故取％=2作初始值_丫舄-3九-1或v/%「3媪-3341-1J n=1,2,...%=Ji188889%=
2.2xl.888893+l=
1.879453X22-1A2-3X
1.888892-1迭代公式为|x-^|=
0.
009440.000122x
1.87945^1-3x
1.879452—1x-x1=
0.
000060.000132方程的根X*
1.
879394.写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分J°l+x计算题.答案4上/6Z+fb4解梯形公式L i2L L—]=
0.7521+01+1辛卜生公式为一6八12八应用辛卜生公式得J°l+x6L*
2.㈠11〃1=-[-----+4x——-H--------]_251+161+0-1=361H----得分评卷人
四、证明题（本题分）10确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度粒=人工（—〃）+40）+4”/2）证明题答案证明求积公式中含有三个待定系数，即将分别代入求积公式,并令其左右相等，得A_j+4+4=2〃-以2-A=o2*A]+4=耳力3A=A,=-h4=竺}得3,3所求公式至少有两次代数精确度o又由于£中时+*）£』狗）*出）故Ji叱3J
3.」3八,具有三次代数精确度填空（共分，每题分）202/%二4_/（不当）==------------2-
12.设一阶差商
1.设£=
2.3149541…，取5位有效数字，则所得的近似值乂=/^3-/^2_6-1_54-
223.设X=2「3,—l则XU IIXIU则二阶差商/（不/，）=
4.求方程V-九-
1.25=°的近似根，用迭代公式x=Jx+
1.25,取初始值无=1,（）y=f x,y%近似解的梯形公式是
5.解初始值问题—
516、A则A的谱半径的）=那么为=设/x=3x+5,%=攵％=0,1,2,・・.，，则/［尤〃〃+1，%+2/[玉，加-3]=
7、
8、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都o
9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为y=10+
10、为了使计算x—1（x—l『（x—l）3的乘除法运算次数尽量的少，应将表式改写成_____________达填空题答案
1、
2.3150-3J4-1-6一‘（斗々）=/（与王，刍）=3）
2、
3、6和
94、
1.5h%+3[//,”+//+i,然+J]
5、Lf[X〃，，3,/[，，Z+2，8收敛
9、°（）
7、Z+l Z+
2.=X〃+l Z+3]=、、i i=10+——1+-------2-x—11x—l、
10、
二、计算题共75分,每题15分119f%=/，X=—,玉=1,o%2=:
1.设441,2
（1）试求/（“）在44」上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足HXj=fXj,j=0,1,2,…H石=f aHG）以升幕形式给出
（2）写出余项R）=/（%）一⑶的表达式计算题答案L如）=一耳八当八当%」
1、
（1）v7225450450251Q—.蛆），左力一尸一爪一产=其防%T
26、夕4=布
2.已知x=日彳）的d*）满足M（x）-3|L试问如何利用⑶构造一个收敛的简单迭代函数使2=叭4）上=
0.
1.・・收敛？计算题.答案
22、由％可得x-3x=（p（x）-3x%=一5（（尤）_3尤）=〃（幻因因元二一工〃九一3,故I//x=—p x-3—1故xk\=〃（々）=一,[（/）一3%],k=0/，….收敛+
3.试确定常数A,B,C和a,使得数值积分公式[/㈤以日与（p）+毋
（0）+Cf（a）2J-有尽可能高的代数精度试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？计算题.答案3*16-12A—C——,B=—=±J—
3、99\5,该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的（）[y,=f x,y
4.推导常微分方程的初值问题〔火%）=%的数值解公式h.券+%+1=%―1+4（%+1+4%-）（提示利用Simpson求积公式）计算题.答案
44、数值积分方法构造该数值解公式对方程丁二/出在区间上积分,）=＞（七1）+yM）dxy（z+i J/a，得叫,记步长为h,X/t+1J fx,yxdx对积分i用Simpson求积公式得yMdx p—[fx_卜f/X，n}+4/%〃+/%Qy；+1+4%+y；iX-l匚/日必/土丘刀八3%+i=y，i+q%+1+4%+%—1所以得数值解公式3%+2X+3X=14232x+5X+2X=18l2353Xj+x+X=
205.利用矩阵的LU分解法解方程组23计算题
5.答案-123A=LU=211—
45、解-3-5L--24令切=%得y=14,—10,—72一得x=i,2,3\
三、证明题分
51.设/口=々-,证明解/x;°的Newton迭代公式是线性收敛的证明题答案
1、证明因/x=丁-a故/x=6X2X由New/〃迭达公式:“…一荒fw…得_53£-42------------------------I-----------------------6片片-〃6，〃一0,1,…6片因迭达函数0%=:%+又x=孤，则p y[a=---V^3=---=-^0,63632故此迭达公式是线性收敛的
一、填空题分20。
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