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数值分析试题■3设是精确值的近似值，则有x=
0.231x*=
0.229xA=-2-、填空题20X2位有效数字
2.若»=x7-x3+1,则咒2,2122,23,2t25,26,24=」二/[20,2122,23,240,26,27,28]
3.设，II AII8=5,II XIIoo=3II AXlloo^15o
4.非线性方程_版=0的迭代函数户以工在有解区间满足I”⑴I1,则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的区间口刈上的三次样条插值函数在值句上具有直到」阶的连续导数
5.Sx当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插
6.公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式中於的系数3的特点是之卬*=」;所以当
7.«=0系数的%满足%•%1，计算时不会放大人刘的误差要使丽的近似值的相对误差小于至少要取位有效数字
8.J
0.1%,4对任意初始向量烈吸任意向量线性方程组的迭代公式公印=
①出+收
9.g,g60,1,…敛于方程组的精确解的充分必要条件是.x*pBl由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是一
10.5X
00.
511.
522.5力y U-2-
1.75-
10.
2524.
2511.牛顿下山法的下山条件为|fxn+l||fxn|o线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差方来实现的，其中的残差
12.…4n~bi-ailXl-ai2X2-.・.-ainXn/aii9Z-0,1,•**,71o在非线性方程於使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且於
13.=0方・法■■■一■一一程412解得，°=运，G=兀所求的最佳平方逼近元素为412px=—H---x,0x11515
四、分）给定数据表（10X-2-1012y-
0.
10.
10.
40.
91.6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据1-2501001-1-1010034T=100A A1003401110340130128解:yX=Co+c x+c x+c xt23ATy=
2.9,
4.2,7,14”法方程ATAc=ATy的解为=
0.4086，G=
0.39167,c=
0.0857,Q=0008332得到三次多项式yx=
0.4086+
0.39167x+
0.0857x2+
0.008331误差平方和为ba=
0.000194五.（10分）依据如下函数值表0124/%19233建立不超过三次的插值多项式，用它计算/（
2.2）,并在假设|「明（可＜i下,Lagrange1-2-1-21-31cC-O1=--2-32-5估计计算误差x-lx-2x-4，o（x）=x2-—x+10-10-20-444Lx=Q1_82X X X=X32X2+X1-01-21-43---4_1501X X X=X3+X22-02-12-444二一J■0-21‘3（）=4-04-14-2-24X12X所求插值多项式为Lagrange3114532七芭）/（%）+--X+1从而3（“）=2/（4（“）=%（）+23/2（%）+3/3（%）=-—X H------------X1=02/
2.2«L
2.2=
25.0683o3据误差公式X=^―^x-x x-Xjx-x x-x及假设1得误差023估计:一一一|
2.
202.
212.
222.2-4|-x
0.9504=
0.03964!4!解:先计算插值基函数“23〃33六.分）用矩阵的直接三角分解法解方程组（101由矩阵乘法可求出知.和JJ01010010020101212_解下三角方程组1有71=5，J=3,%=6，J=4°再解上三角方程组24011121010得原方程组的解为巧=1,x=1,x=2,X4=223七.分试用公式计算积分10Simpson的近似值，并估计截断误差解产12-1,工]6e+4-15+e2=
2.0263ma^/4x|=/41=
198.43截断误差为2-15=
0.068902880八.10分用Newton法求方程x-lnx=2在区间2,8内的根,要求108解此方程在区间（2,8）内只有一个根s,而且在区间（2,4）内设/x=x—In x—2则ru=i-i,广%=1X X法迭代公式为NewtonX,-lnx,-2xjl+lnxj,4+i=Xk;=，k=0,1,2,外取工=3,得s q乙=
3.146193221o九.分给定数表10X-1012/%10141615/1X
10.1求次数不高于的多项式使其满足条件5“5（%），「%（芭）=/（a），i=0,l,2,3〔也3）=/（*,），，=，2其中巧=—1+i=0,1,2,3解先建立满足条件芍），力=”1,2,3P3（x）=/（的三次插值多项式〃采用插值多项式3（%）Newton/巧+/[工一巧一工*一占+P3%=0/1]“*0+/Lo,/212/[%0，”1，“2，3I—o X—aX—“2=10+4x+1-x+lx-ix+lxx-16再设HX=p x+ax+bx+lxx—lx—2,由53H-D=P3—l+-+3-6=15H1=p；1+〃+6-2=
0.15,11-a+b=—8,17a+b=—6059161解得a=--------,b=360360故所求的插值多项式191123161-59xxx2-lx-2=144-------------XX-X36066的二阶导数不变号，则初始点％的选取依据为（）〈）＞o f x0f x00o.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算14
二、判断题（10义一）、若是〃阶非奇异矩阵,则线性方程组一定可以使用高斯消元法求解式）1A AX=b X
2、解非线性方程«r）=0的牛顿迭代法在单根户附近是平方收敛的
（4）、若为〃阶方阵，且其元素满足不等式3An（mZ i=j=i则解线性方程组AX=b的高斯一一塞德尔迭代法一定收敛（X）
4、样条插值一种分段插值（q）
5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的（q）、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差6及舍入误差（T）、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组（）7AX=b X、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步8迭代计算的舍入误差（X）、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差=舍入9误差（T）
10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差（X）
三、计算题（5X10）、用列主元高斯消元法解线性方程组1Xj—x+x=—423«5x-4+3=-122xj+x+x=11X X12323解答:（）最大元在第二行，交换第一与第二行:1,5,255a—4+3=-12X X232xj+x+x=1123方程化为:L2i=l/5=
0.2,131=2/5=
0.45占—4+3=-12X X23—
0.2+
0.4x.=—
1.6X
22.6—
0.2x,=
15.8X2（）最大元在第三行，交换第二与第三行:-
0.22653—4+3=-12X X
232.6—
0.2=
15.8XX23—
0.2+
0.4x=-
1.6X23方程化为132=-
0.2/
2.6=-
0.076923,5巧—4+3=-
122.6XXX232—
0.2x,=
15.
80.38462x.=-
0.38466J回代得r=
3.00005X1・x=
5.999992x=-
1.
0001032、用牛顿一一埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4（x）,并写出其截断误差的表达式（设在插值区间上具有直到五阶连续导数）Xi012加）1-13厂515解答:做差商表xi FxiF[xi,xi+1]F[xi.xi+Lxi+2]F[xi,xi+l,xi+2,xi+3]F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4]011-1-21-113234302351-2-1P4x=1-2x-3xx-1-xx-1x-1x-2化R4x=f5/5!xx-lx-lx-2x-
2、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯一一3赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯一一赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由2x—x+x=1x—x+5=6X124}34x+4—x=8X234解答:交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优:雅克比迭代公式:《计算机数学基础》数值分析试题2
一、单项选择题（每小题3分，共15分）已知准确值与其有位有效数字的近似值…斯义式后）的绝对误差
1.x*t x=
0.0ma2100）.以下矩阵是严格对角占优矩阵的为（
2.•2—0021051——0410A B1121—14110—21012100-1252—0421114—40111C D211—122441105011（A）
0.5X101「皿2⑻
0.5X101（C）
0.5X103s+,-r（D）
0.5X10’33t0^2-x+10%2-x+122-3x+10—3—+102x3l_lx0x2-x+10x222—3x+10-x+42x3过点的分段线性插值函数
3.0,1,2,4,3,1Px=等距二点的求导公式是（
4./
（4）=＜（—力+力+1）h）二J（力—%+i）h一九,f（4+i）=+i）nhD.解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是
5、1,%M=5（V〃+K）那么力分别为（）.[%=%+/5，刈）卜〃=%+货（乙+1，”）（）（）A B\、%=%+hfg+T，力）〔以二+好®，y）P卜〃=力+/（4,力）=%+/矿（z，%）（）（）C\D\=+/（/»〃）[以二力+/（4+”九）
二、填空题（每小题3分，共15分）.设近似值满足所为=那么6xi
420.05,6%2=
0.005,axi%2=.三次样条函数满足在区间储力]内二阶连续可导，次已知，仁』,且
7.Sx SxSx0=02,…满足Sx在每个子区间因典+i]上是・H nn牛顿一科茨求积公式则女=.
8.J£4a k=0k=
09.解方程次x=0的简单迭代法的迭代函数px满足在有根区间内，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛.解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报一一校正公式是
10.预报值为用=%+/矿/,”，校正值次+尸
三、计算题每小题15分，共60分用简单迭代法求线性方程组
11.8X]-3X2+2X3=204X]+1lx H—=336否+3X2+12X3=36的弁取初始值OQO，，计算过程保留4位小数.已知函数值式求函数的四阶均差火和二阶均
12.0=6,/1=10,/3=46,/4=82,/6=212,0,1,3,4,6差犬4,1,
3.3/.将积分区间等分，用梯形求积公式计算定积分工计算过程保留位小数.138Jl+Vck,4用牛顿法求的近似值，取或为初始值，计算过程保留位小数.
14.410114
四、证明题本题10分证明求常微分方程初值问题
15./=于x,y y%=y0在等距节点〃=尤为…处的数值解近似值的梯形公式为0h丁卜”+以+—[//,次]4+11=J其中h=Xk+1—Xkk=0,1,2,...n—1《计算机数学基础》数值分析试题答案2
一、单项选择题每小题3分，共15分
1.A
2.B
3.A
4.B
5.D
二、填空题每小题3分，共15分|为|次多项式
6.
0.05|%2IH
0.
0057.3h——8・b—a
9.px rl
10.-[fx,y+fx,y]/^i,y.k kk+l k+i+k+]
三、计算题每小题15分，共60分写出迭代格式
11.球一岩x[+D=0+
0.
3750.25+
2.
5.尸=-
0.3636x[k+0+
0.0909靖+3婢琮+D=—oaf—
0.25+0+3烈二00,0不⑴=0+
0.375X0-
0.25x0+
2.5=
2.5X，=-
0.3636x0+0+
0.0909x0+3=3婕=-
0.5x0-
0.25x0+0+3=3X-得到X°=
2.5,3,3T玉⑵=o+
0.375x3-
0.25x3+
2.5=
2.875=-
0.3636x
2.5+0+
0.0909x3+3=
2.3637引=-
0.5x
2.5-
0.25x3+0+3=
1.0000X.得至1」义2=
2.875,
2.3637,
1.0000T玉⑶=0+
0.375x
2.3637-
0.25x1+
2.5=
3.1364只为=-
0.3636x
2.875+0+
0.0909x1+3=
2.0456婷=-
0.5x
2.875-
0.25x
2.3637+0+3=
0.9716得到产二
3.1364,
2.0456,
0.9716T.计算均差列给出.
12.兀%一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差Xk0611043461814/34823661/362126529/311/151/151赦二二1,3,4,6a1,3=
6213./x=V1+A2,h=——
0.
25.分点xo=l.O,沏=
1.25,无2=
1.5,%3二
1.75,X4=
2.0,*=
2.25,X6=
2.50,8M=
2.75,迎=
3.0・函数值:/
1.0=
1.4142,XI-25=
1.6008,/
1.5=
1.8028,/
1.75=
2.0156,-
2.0=
2.2361,,«
2.25=
2.4622,二/
2.
502.6926,/
2.75=
2.9262,/
3.0=
3.
1623.f f^dx=-[fx+0Ji2分+2/^+/x+fx+/x+fx+/x+Zx]
92345670.25=—^-X[
1.4142+
3.1623+2X
1.6008+
1.8028+
2.0156+
2.2361+
2.4622+
2.6926+
2.9262]=
0.125X
4.5765+2X
15.7363=
4.5061设为所求，即求的正根.
14.x f—115=0/x=x2—
115.因为/x=2x,/fx=2,X10/r10=100-115X20,/liyzll=121-115X20取xo=ll.有迭代公式%fD/-115_/]15xJU242811115xi=一+---------=
10.727322x
1110.7273115=
10.7238X2=---------------1--------------------22x
10.
727310.7238115=
10.7238%3=------------1--------------------22x
10.7238x*«
10.7238
四、证明题（本题10分）在子区间区+刈上，对微分方程两边关于积分，得
15.1,xy^i-yM=fA+，/x,yxdx用求积梯形公式，有h一尸-[/^,+/乂+\M4+i N4,y8+i]将》刈必+用替代，得到1”,”+1h卜次升/公°』,・・y%+i+i=[/4,”4+1，■+1]
2.几—1数值分析期末试题
一、填空题（2x10=20分）5-21设4=-231，则跳=13一82「2x-5X=102・5t22对于方程组412，Jacobi迭代法的迭代矩阵是=10Xj-4=3|
2.50X2⑶行的相对误差约是，的相对误差的,倍34一/（乙）
（4）求方程x=/（x）根的牛顿迭代公式是西计］（）设（）则差商5/x=/+x—i,/T0J231=1
（6）设〃x〃矩阵G的特征值是4,4，…，九，则矩阵G的谱半径（G）=max|414i4〃12（）已知，则条件数以）7A=Co,XA=901
（8）为了提高数值计算精度，当正数X充分大时，应将ln（x-J%2-i）改写为一也（X+,1+1）（）〃个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为〃一1次913
（10）拟合三点（巧，/（与）），（x,/（x））,（与，/（%3））的水平直线是y=12人阳）223£=12巧-x+x=123
二、（10分）证明方程组,为+/+工3=1使用Jacobi迭代法求解不收敛性巧+x-2X=123证明迭代法的迭代矩阵为Jacobi-
00.5-
0.5-B=-10-1f
0.
50.50的特征多项式为Bj2-
0.
50.5det（27-B.）=121=2（22+
1.25）-
0.5-
0.52房的特征值为4=0,2=Vh25i,2=-VL25Z,故夕（3J=JI云1,因而迭代法不收23敛性
三、（10分）定义内积（/,g）=J/（x）g（x）dx试在兄=劭加｛1/｝中寻求对于的最佳平方逼近元素/（%）=p（x）解三夕三9o（x）1，［（%）X,（0，夕0）=「工=I,（01,00）=J；xdx=g,（/，01）=1*2公=^,（°o，/）=[VIdx=g•FU。
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