平方根和立方根知识点总结及练习

【基础知识巩固】

一、平方根、算数平方根和立方根

1、平方根

（1）平方根的定义如果一个数X的平方等于a,那么这个数x就叫做a的平方根.即:如果-2=%那么x叫做a的平方根.

（2）开平方的定义求一个数的平方根的运算,叫做开平方.开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义

（3）平方与开平方互为逆运算:±3的平方等于9,9的平方根是±3

（4）一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算

（5）符号正数a的正的平方根可用右表示，右也是a的算术平方根；正数a的负的平方根可用•后表示.

（6）x2=a一x=±4aa是x的平方x的平方是ax是a的平方根a的平方根是x

2、算术平方根

（1）算术平方根的定义一般地，如果一个正数x的平方等于a,即-那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为读作“根号a”,a叫做被开方数.一规定0的算术平方根是

0.也就是，在等式/（xzo）中，规定x=J）

（2）人的结果有两种情况当a是完全平方数时，人是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，W是一个无限不循环小数

（3）当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大；当被开方数缝企时与它的算术平方根也缩小一般来说，被开放数扩大（或缩小）a倍，算术平方根扩大（或缩小）右倍，例如错误!未找到引用源=5,错误!未找到引用源二50

（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小

（5）—=〉（x0）一x=4aa是x的平方x的平方是ax是a的算术平方根a的算术平方根是x

（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零-a（a0）4a0；注意JZ的双重非负性:-a（〃0）a0

（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数

3、立方根

（1）立方根的定义如果一个数x的立方等于这个数叫做〃的立方根（也叫做二次方根）,即如果那么X叫做〃的立方根

（2）一个数的立方根，记作正，读作“三次根号其中〃叫被开方数,3叫根指数,不能省略，若省略表示平方

（3）一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根

（4）利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即y/-a=-l[a（6/0）o

（5）x—ci x-\!~av—x的立方是aa是x的立方a的立方根是xx是a的立方根

（6）产=-%,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面【典型例题分析】知识点一有关概念的识别

1、下列说法中正确的是（）A、病的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1D、-正是5的平方根的相反数

2、下列语句中，正确的是（）A.一个实数的平方根有两个，它们互为相反数B.负数没有立方根C.一个实数的立方根不是正数就是负数D.立方根是这个数本身的数共有三个

3、下列说法中

①士3都是27的立方根，

②疗=》,

③屈的立方根是2,

④认±8，=±4其中正确的有A、1个B、2个C、3个D、4彳

4、4方的平方根是C.

0.7D.

0.49A.-

0.7B.±

0.

75、下列各组数中，互为相反数的组是——与2D、|—2|和2A、一2与J-22B、-2和V-8C、•2知识点二计算类题型

1、25的算术平方根是_______；平方根是一____.-27立方根是_______.-得________________.,±7169=_________V1962=______..

2、Ji2=_______;R-63=_________；

②5W

3、

①V2+3V2—572

④我+而示-E—2-V2—1A

③|+/3241V—27+J-32-V—1V-27-V0-.P+V

0.125+3/1--V4V64（）加-廿十招兀一尸3910知识点三利用平方根和立方根解方程924x2=

12131、12x-l-169=0；x+23=125知识点四关于有意义的题正本身为非负数，有非负性，即近；有意义的条件是20G“20要使L有意义，必须满足aaw

0.

1、若右的算术平方根有意义，则的取值范围是（）A、一切数B、正数C、非负数D、非零数

2、要使J2x—6有意义,x应满足的条件是y/x-l

3、当％--------------时，式子x—2有意义知识点五有关平方根的解答题

1、一个正数a的平方根是3x—4与2—x,则a是多少？

2、若5〃+1和〃一19是数根的平方根，求加的值

3、已知x、y都是实数，且y=++求y”的平方根知识点六非负性的应用

1、已知实数X,y满足Jx-2+y+l2=0,则x-y等于解答根据题意得,x-2=0,y+1=0,解得x=2,y=T,所以,x-y=2--1=2+1=

3.

2、已知a、b满足J

2.+8+b-q=0，解关于九的方程+2x+〃=—

13、若VTH+3x+y-1=0,求向+V的值

4、若a、b、c满足一3|+J5+4+-1=0,求代数式上，的值

5、已知J1一3和|8/7—3I互为相反数，求仍尸一27的值【重点知识巩固】考点、平方根、算术平方根、立方根

1、概念、定义1如果一个正数X的平方等于a,即#=［，那么这个正数X叫做a的算术平方根2如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根或二次方跟如果一=%那么x叫做a的平方根3如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根或a的三次方根如果工3=以，那么x叫做a的立方根

2、运算名称1求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方平方与开平方互为逆运算2求一个数的立方根的运算，叫做开立方开立方和立方互为逆运算

3、运算符号1正数a的算术平方根，记作y，2aa2O的平方根的符号表达为土、万42°3一个数a的立方根，用而表示，其中a是被开方数，3是根指数

4、运算公式a a03聒赤…笳*卜.二工；陶=a=a曰=_随注意这说明三次根号内的负号可以移到根号外面

4、开方规律小结1若a0,则a的平方根是土右，d的算术平方根右；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是；负数没有平方根实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是02若a0,则没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是她3正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数.。