《离散数学ch》课件

离散数学离散数学是一门研究离散对象的数学分支它包括图论、组合数学、数论、逻辑等领域集合论基础集合定义元素与集合集合是数学中基本概念之一，表示若干确定集合中的每个对象被称为元素，用符号∈“”的、相异的对象的总体集合是离散数学的表示元素属于某个集合基础，可以用来描述各种离散结构集合的表示方法集合运算集合可以用枚举法、描述法或图示法表示，集合之间存在着多种运算，包括并集、交集例如，用图表示集合之间的关系、差集、补集等，它们可以用来构建新的集Venn合集合的运算并集1包含所有集合中所有元素的集合，用符号∪表示“”交集2包含所有集合中共同元素的集合，用符号表示“∩”差集3包含第一个集合中存在但在第二个集合中不存在的元素的集合，用符号表示“-”补集4包含全集（包含所有元素的集合）中不属于某个集合的元素的集合，用符号表示“C”等价关系定义与性质应用与例子等价关系是一种特殊的二元关系，它满等价关系在数学和计算机科学中都有广足自反性、对称性和传递性满足这些泛的应用，例如，集合的划分、同构的性质的二元关系将集合划分成若干个等定义、数据结构中的哈希函数等等一价类，每个等价类中的元素在该关系下个常见的例子是判断两个数是否同余，是等价的例如，模的同余关系将所有能被55整除的整数归为一类偏序关系偏序关系定义哈斯图偏序关系性质偏序关系是一种二元关系，满足自反性哈斯图是一种图形化表示偏序关系的方偏序关系可以用于描述集合中元素之间、反对称性和传递性例如，集合包含法，用节点表示集合中的元素，用边表的相对大小、优先级或其他比较关系，关系，自然数大小关系等都属于偏序关示元素之间的偏序关系并拥有最小元素、最大元素、上界、下系界等概念布尔代数基本概念基本运算

1.

2.12布尔代数是研究逻辑运算的布尔代数的基本运算包括逻数学分支，主要研究真值和辑与、逻辑或、逻辑非等逻辑运算布尔表达式应用场景

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4.34通过布尔运算符组合布尔变布尔代数广泛应用于计算机量，形成布尔表达式，表示科学、数字电路设计等领域逻辑关系离散函数定义域和值域函数类型应用领域离散函数的定义域和值域都为离散集离散函数包括递归函数、生成函数和离散函数在计算机科学、密码学、信合，这意味着它们包含有限个元素或组合函数等，它们在计算机科学和数息论、运筹学等多个领域都有重要的可数个元素学领域都有广泛应用应用，例如算法设计、数据结构分析和模型构建递推关系定义1递推关系定义了序列中每个元素与其之前元素的关系应用2广泛用于数学、计算机科学、工程领域例子3斐波那契数列、汉诺塔问题递推关系在离散数学中有着重要的地位，它为解决许多问题提供了有效的方法生成函数定义类型生成函数是一种将序列转换成函数的方法，它可以方便地表示常见的生成函数类型包括普通生成函数、指数生成函数和狄利和处理离散数学中的许多问题克雷生成函数生成函数可以帮助解决一些组合问题，例如计数、排列、组合不同的生成函数类型适用于不同的问题，选择合适的生成函数、递归等类型可以简化问题解决过程组合数学基础组合数学是离散数学的重要分支，主要研究有限集合的排列组合、计数和分配问题组合数学广泛应用于计算机科学、密码学、信息论、统计学等领域概率论的基本概念随机现象概率样本空间事件随机现象是结果不确定的事概率表示随机事件发生的可样本空间包含所有可能结果事件是指样本空间的子集，件，例如掷骰子或抛硬币能性大小，用到之间的数的集合，例如掷骰子的样本例如掷骰子得到偶数的事件01值表示空间为为{1,2,3,4,5,6}{2,4,6}随机变量定义类型

1.

2.12随机变量是将样本空间中的随机变量可以是离散的或连每一个事件映射到一个实数续的，取决于其取值是否可的函数数概率分布期望值

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4.34描述随机变量取值的概率，随机变量所有取值与其对应可以是离散概率分布或连续概率乘积的加权平均概率分布离散概率分布伯努利分布二项分布单个事件的成功或失败，概率固定一系列独立事件中成功的次数，概率固定泊松分布几何分布在特定时间段内，事件发生的次数，概率固直到第一次成功所需试验次数，概率固定定条件概率与贝叶斯公式条件概率事件已经发生的情况下事件发生的概率，记为A BPB|A贝叶斯公式根据先验概率和似然函数计算后验概率，公式为PA|B=PB|APA/PB应用场景贝叶斯公式广泛应用于机器学习、自然语言处理、医疗诊断等领域，可用于预测和分类图论基础图论是离散数学的重要分支之一，广泛应用于计算机科学、运筹学、社会科学等领域图论研究对象是图，它是由顶点和边组成的结构树和遍历树是一种重要的非线性数据结构，广泛应用于计算机科学和日常生活中它是一种由节点和边组成的层次结构，节点表示数据元素，边表示节点之间的关系树的定义1树是一种递归的数据结构，由根节点、子树组成树的性质2有且仅有一个根节点，每个节点最多只有一个父节点，节点之间不存在环路树的遍历3深度优先遍历，广度优先遍历树的遍历是指按照某种规则访问树中所有节点的过程常用的遍历方法包括深度优先遍历和广度优先遍历图的表示邻接矩阵邻接表利用二维矩阵表示顶点之间的每个顶点对应一个链表，链表连接关系，矩阵元素的值表示存储该顶点所连接的边以及边对应顶点之间的边权重的权重边集数组每个元素表示一条边，包括边的起点、终点和权重信息图的最短路径算法Dijkstra1单源最短路径，非负权边算法Bellman-Ford2单源最短路径，负权边算法Floyd-Warshall3所有点对最短路径图论中的最短路径问题，寻找图中两点之间的最短路径该问题在实际应用中十分常见，例如地图导航、网络路由等常用的算法包括算法、算法和算法，它们分别适用于不同的场景Dijkstra Bellman-Ford Floyd-Warshall图的连通性连通性连通图12图的连通性是指图中顶点之在连通图中，任意两个顶点间的连接关系之间都存在一条路径强连通图连通分量34在有向图中，如果任意两个非连通图可以分解为多个连顶点之间都存在一条路径，通分量，每个分量都是一个则称为强连通图连通图图的着色图着色问题为图的每个顶点分配颜色，使得相邻的顶点具有不同的颜色染色数图的染色数是指为该图进行着色所需的最小颜色数应用解决现实问题，例如课程安排、资源分配等图的匹配最大匹配二分图匹配匹配算法找到图中尽可能多的边，使得每条边的将顶点集合分成两个不相交的子集，使常用的匹配算法包括匈牙利算法、Ford-端点不与其他边的端点重合得匹配的边只连接来自不同子集的顶点算法等，用于寻找图的最大匹Fulkerson配图的网络流基本概念最大流问题网络流指的是一个有向图，其中每条边最大流问题指的是在给定网络流的情况都有一个容量，表示这条边最多可以承下，求出从源点到汇点的最大流量载多少流量算法应用场景Ford-Fulkerson算法是一种经典的求解网络流问题在现实生活中有着广泛的应Ford-Fulkerson最大流问题的算法，它通过不断寻找增用，例如交通运输、通信网络、资源分广路径来增加流量配等算法分析基础算法分析是计算机科学的重要领域，它涉及评估算法的效率和性能算法分析有助于理解算法在不同输入规模下的表现，并帮助选择最适合特定任务的算法时间复杂度分析定义1算法运行时间随输入规模增长而变化的速率大符号O2描述算法最坏情况下的增长趋势常见复杂度3常数、线性、对数、平方、指数时间复杂度分析是评估算法效率的关键步骤，它能帮助我们理解算法在处理不同规模数据时的性能表现常见的复杂度类型包括常数复杂度、线性复杂度、对数复杂度、平方复杂度和指数复杂度等通过分析算法的时间复杂度，我们可以选择更有效的算法来解决问题递归算法递归函数递归步骤递归函数是一个自身调用的函数它通•基本情况:递归函数必须有一个基本过将问题分解成更小的子问题来解决问情况，即一个没有递归调用的情况题，然后递归地解决这些子问题，最后将子问题的解合并起来•递归步骤:递归步骤定义了如何将问题分解成更小的子问题，并递归地解决这些子问题贪心算法选择最优局部最优贪心算法在每一步都做出最优贪心算法并不保证能找到全局选择，期望最终得到全局最优最优解，只能找到局部最优解解应用广泛贪心算法在许多问题中都能找到有效的解决方案，如最短路径问题、背包问题等动态规划基本思想典型应用动态规划是一种将复杂问题分解成子问题，并存储子问题的解动态规划广泛应用于各种领域，包括最短路径问题、背包问题以避免重复计算的方法、序列比对和字符串编辑等它适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题它可以帮助找到最优解或近似解，并有效地解决各种优化问题分治算法分解递归求解合并将问题分解成多个子问题，子问题相互递归地解决子问题，直到子问题足够简将子问题的解合并成原问题的解独立，类型相同单，可以直接解决回溯算法树状结构探索路径组合优化回溯算法通常采用树状结构来表示所有回溯算法通过探索所有可能的路径来寻回溯算法常用于解决组合优化问题，例可能的解每个节点表示一种选择，从找解如果一条路径无解，则回溯到上如八皇后问题、旅行商问题等，通过穷根节点开始遍历树一层节点，继续探索其他路径举所有可能的解来寻找最佳解总结与展望本课程介绍了离散数学的基本概念和应用，包括集合论、图论、算法分析等未来，离散数学将在计算机科学、人工智能、数据科学等领域发挥更重要的作用。