排列组合知识总结+题型

⑴知识梳理

1.分类计数原理（加法原理）完成一件事，有几类办法，在第一类中有ml种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方N=+......x种不同的方法法……在第n类型有m3种不同的方法，那么完成这件事共有

2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有ml种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有丛=匕X%X.—X八种不同的方法特别提醒分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步，，有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏

3.排列从n个不同的元素中任取m（m）个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

4.排列数从n个不同元素中取出m（mWn）个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号父表示.用

5.排列数公式4吟1）（打m+1）（力_砌（m_2%m eAT）特别提醒

（1）规定0!=

13.排列、组合混合问题先选后排的策略

3.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为（）A.48B.12C.180D.162（）解析分为两大类1含有0,分步L从另外两个偶数中选一个，学种方法，

2.从3个奇数中选两个，有国种方法；

3.给0安排一个位置，只能在个、

十、百位上选，有用种方法；

4.其他的3个数字进行全排列,有⑼国种排法,根据乘法原理共兄F-cb种方法

（2）不含0,分步，偶数必然是2,4；奇数有种不同的选法，然后把4个元素全排列，共4种排法，不含0的排法有武4种根据加法原理把两部分加一块得4=180解题策略L特殊元素优先安排的策略

2.合理分类与准确分步的策略

3.排列、组合混合问题先选后排的策略

4.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A.150种B.180种C.300种D.345种解析4人中恰有1名女同学的情况分为两种，即这1名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有沮留种选法解题策略合理分类与准确分步的策略

5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）A.6B.12C.30D.36解析可以先让甲、乙任意选择两门，有种选择方法，然后再把两个人全不相同的情况去掉，两个人全不相同，可以让甲选两门有种选法，c然后乙从剩余的两门选，有宵种不同的选法，全不相同的选法是穹种c方法，所以至少有一门不相同的选法为吠第种不同的选法；C=3C解题策略正难则反，等价转化的策略

6.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.324B.328C.360D.648□共心种不同的解H H4第二类个位不是零,解析第一类个位是零，□共种不同的排法H H4法解题策略合理分类与准确分步的策略.

7.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有A.85B.56C.49D.281人入选，而丙没有入选的不同选法的总数为（）解析合理分类，甲乙全被选中，有种选法，甲乙有一个被选中，有0种不同的选法，共吟呵=49+=49种不同B+%的选法解题策略:1特殊元素优先安排的策略，2合理分类与准确分步的策略.

8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为A.18B.24C.30D.30将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有以种不同的分法,然后三组进行全排列共4种不同的方法；然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉，共6种不同的排法所以总的排法为4-那=30种注意:这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题这里分为有序分组和无序分组，有兴趣的同学可以继续研究，这里不再详述解题策略:L正难则反、等价转化的策略

2.相邻问题捆绑处理的策略

3.排列、组合混合问题先选后排的策略;

9.3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,A.360B.288C.216D.963位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是解析分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题，先从3个女生中选两位，有点种方法,然后再考虑顺序，即先选后排，有四种方法；这样选出两名女生后，再考虑男生的问题，先把三个男生任意排列，有啰中不同的然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插入4个位置中有《种不同的排法，共有穹=3C种不同的排法然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉；甲可能站左端，也可能是右端，有C种不同的方法，然后其他两个男生排列有8种排法，最后把女生在剩余的三个位置中排列,有@种不同的排法共啰U鸟其种不同的排法，故总的排法为4^4A-—；期C匈其=288种不同的方法本题难度大，体现的排列组合的解题策略多:1特殊元素优先安排的策略:合理分类与准确分步的策略;2排列、组合混合问题先选后排的策略;34正难则反、等价转化的策略;相邻问题捆绑处理的策略;56不相邻问题插空处理的策略解排列组合的应用题要注意以下几点:仔细审题，判断是排列还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏,辩证思维，多角度分析，全面考虑对限制条件较复杂的排列组合问题，要周密分析，设计出合理的方案,把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决2含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是设重集S有k个不同元素al,a2,an其中限重复数为nl、n

3、

2、2,求其排列个数而二」又例如数字

5、

315、

5、求其排列个数？其排列个数铲L

6.组合从n个不同的元素中任取mm个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.㈱二鸳二一一冽+旬C♦♦1…\1_

7.组合数公式”用却

8.两个公式

①】可＜

②叱+/=心方特别提醒排列与组合的联系与区别.联系都是从n个不同元素中取出m个元素.区别前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系,后者无顺序关系.⑵典型例题考点一:排列问题例L六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法1甲不站两端；2甲、乙必须相邻；3甲、乙不相邻；4甲、乙之间间隔两人；5甲、乙站在两端；6甲不站左端，乙不站右端.考点二:组合问题例

2.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？1男运动员3名，女运动员2名；2至少有1名女运动员；3队长中至少有1人参加；4既要有队长，又要有女运动员.考点三:综合问题例

3.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.1恰有1个盒不放球，共有几种放法2恰有1个盒内有2个球，共有几种放法3恰有2个盒不放球，共有几种放法当堂测试L从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有A.70种B.80种C.100种D.140种

2.亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.48种B.12种C.18种D.36种

3.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为（）A.48B.12C.180D.

1624.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A.150种B.180种C.300种D.345种

5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）A.6B.12C.30D.

366.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.324B.328C.360D.6487,从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的总数为（）A.85B.56C.49D.

288.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（）A.18B.24C.30D.

309.3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.360B.288C.216D.96参考答案例1解

（1）方法一要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有四种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有晨种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法方法二由于甲不站两端，种■这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有抬种站法，然后中间4人有复种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法健■（种）A5=480方法三若对甲没有限制条件共有屋种站法，甲在两端共有种站法，2g从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法雇-屋（种）2=480

（2）方法一先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有岷种站法，再把甲、乙进行全排列，有泊种站法，A14A55=48O根据分步乘法计数原理，共有品,（）22405个空档中选出一个供甲、乙放入，有品种方法,=J后让甲、方法二先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A种站法，再在全排列，有时种方法,共有2种）・・（M A1240

（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法％第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有“种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有娥种站法，故共有站法为I（种）A]*A=480也可用“间接法*6个人全排列有底种站法，由

（2）知甲、乙相邻有把・必=种站法，所以不相邻的站法有然一豺•（种:.240A5=720-240=480

（4）方法一先将甲、乙以外的4个人作全排列，有镰种，然后将甲、乙按条件插入站队，有如种，故共有屋（解）（种站法.・3=144方法二先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有虞种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有娘种方法，最后对甲、乙进行排列，有涮方法,故共有种）站法.・・（A M3A/144（）5方法一首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有昭种，再让其他4人在中间位置作全排列，有M种，根据分步乘法计数原理，共有，・A=48（种）站法.方法二首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有M种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有式种站法，由分步乘法计数原理共有AQ A*48（种）站法.

（6）方法一甲在左端的站法有g种，乙在右端的站法有可种,且甲在左端而乙在右端的站法有A田种，共有M-2A1+A}=504（种）站法.甲在中间4个位置之一,而乙不在右端有四・公・同种,故共有方法二以元素甲分类可分为两类

①甲站右端有夏种站法，

②（种）站法.A|+Aj-Aj-Aj=504例2解

（1）第一步选3名男运动员，有以种选法.第二步选2名女运动员，有口种选法.共有索・〃=120种选法.

（2）方法一至少1名女运动员包括以下几种情况1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为种.CiC^2332-24i46C4C CK C=2方法二“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.从10人中任选5人有C，种选法,其中全是男运动员的选法有c g种.所以“至少有1名女运动员”的选法为《=246种.（）3方法一可分类求解“只有男队长”的选法为喘；“只有女队长”的选法为啧男、女队长都入选”的选法为量;所以共有2F=196种选法.方法二间接法:从10人中任选5人有品种选法.其中不选队长的方法有小种.所以“至少1名队长”的选法为1-或=196种,9分4当有女队长时，其他人任意选，共有*种选法.不选女队长时，必选男队长，共有c与种选法.其中不含女运动员的选法有士种,所以不选女队长时的选法共有c2-c g种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有叫林卜3=191种.例3解1为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有Me式4羽=144种2“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事,所以共有144种放法.3确定2个空盒有c2种方法.4个球放进2个盒子可分成3,

1、2,2两类，第一类有序不均匀分组有cKM种方法；第二类有序均匀分组有法有故方共当堂检测答案

1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A.70种B.80种C.100种D.140种解析分为2男1女，和1男2女；；两大类，共有C C+c C=70=70种，解题策略合理分类与准确分步的策略

2.亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.48种B.12种C.18种D.36种解析合理分类，通过分析分为

（1）小张和小王恰有1人入选,先从两人中选1人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有Y种选法

（2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人，然后再剩余的3人中选2人排列有共有24+12=36种选法解题策略L特殊元素优先安排的策略2,合理分类与准确分步的策略.c24c34c+22AAcC222422A22。