解析几何中的定值和定点问题

解析几何中的定值定点问题

一、定点问题例椭圆，+，=＞＞的离心率为亭，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线血

1.C:lQ bx-y+相切.=0⑴求椭圆的方程；C⑵设M,是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点七，求直线P4,0,N xPN C的斜率的取值范围；PN⑶在⑵的条件下，证明直线与轴相交于定点.ME x解⑴由题意知走，所以/=即火又因为人^^=所以e=£=/=41,a a1a24Jl+12a2=4,2故椭圆的方程为土+＞/=1,C2=i.4⑵由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为

①y=Zx-4y=kx-4联立]Y消去得公—丁—公工+i y4132416/—1=0,2—+y=114由△=公2-左得攵3244%2+1642-40122—10,又攵不合题意,=0所以直线的斜率的取值范围是-且＜攵＜或＜攵＜且PN0066⑶设点Nx-yj EX,%，那么A/5,—y,直线M£的方程为y-%=+x-马，x-x22]令=，得—丛巳山，将%=攵々一代入整理，得x=w4,4X=%+x中22-4%+12

②32k2公—644*1+“2-8所以直线与轴相交于定点ME x1,

0.【针对性练习1】在直角坐标系中，点到点£-居的距离之和是点的xOy M6,0,6,04,M轨迹是与轴的负半轴交于点不过点的直线=丘+〃与轨迹交于不同的两点和.x A,A/:y P⑴求轨迹的方程；当・时，求攵与人的关系，并证明直线/过定点.2AP AQ=0解.•点〃到卜，的距离之和是・・・的轨迹是长轴为焦点在轴上焦中为I.6,06,04,M4,x（）将=依+代入曲线的方程，整理得（公*夜日+,因为直线/与曲线交于不同2C1+42+84=0的两点和，所以△=64k2b2-〃2

①P41+4424-4=164^-/+10设尸七,%,y,那么％Q X,+%2=22且,,%=依+bkx+/=k2xx+kbx2显然，曲线与轴的负半轴交于点+x+Z,x A-2,0,22]2]所以尸=玉+,必，・由得%乂%=•42AQ=%+2,%AP AQ=0,+2%+2+将

②、

③代入上式，整理得12公—16姑+5〃2=0,所以（2攵一勿・（6攵—5/）=0,即〃=22或5=勺%.经检验，都符合条件

①，当时，直线/的方程为=+攵.显然，此时直线/经过定点（）点.即3=242-2,0A A（S A直线/经过点与题意不符.当匕=£攵时，直线/的方程为丁=履+=攵A,1%x+

1.显然，此时直线/经过定点（-9,0点，且不过点A.综上,攵与人的关系是b=Sk,且直线/经过定）I55（6\占_占o

八、、）、vy一%

2、、•工的左、=1右顶点为、右焦点为A B,【针对性练习2】在平面直角坐标系少中，如图，椭圆方■+X

6、55设过点阴）的直线、与椭圆分别交于点（匹，）、Ng,乃），F T1,TA TBM y其中yym0,0,0o12（）设动点满足PF2-PB2=4，求点的轨迹；1P P（）设％；，求点的坐标；2]=2,%2=T（）设求证直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）31=9,MN xm【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等根底知识考查运算求解能力和探究问题的能力解设点那么、、1P[x,y,F2,0B[3,0A-3,0g由尸尸一尸得化简得了=—2^2=4,X—2/+y2—[Q—32+y2]=4,r29故所求点的轨迹为直线P x=-o2（）将玉分别代入椭圆方程，以及%＞,为＜得（』）、〔!2=2,9=,M2,N直线方程为二即MTA42±±2,y=x+i,52+33n—u3直线NTB方程为二0二F，即y=*x—9一型一01-362x=7联立方程组，解得[10,93所以点的坐标为（§）T7,（）点的坐标为（加）3T9,x+3my-0直线方程为:MTA----------=,即=—m-0x+3,9+312y-0日mx—3n直线方程为:NTB分别与椭圆二+二二联立方程组,195同时考虑到不一3,々3,皿日、“380-根之40m、3m2-2020/TI-----------------------解得M-7A-N20+m220+m2°22m-098-03+m80+6m苏—32020m______y__H_-_-_--_-_--_-_-__（方法一）当时，直线方程为:XW%MN220+m厂—府机40m26380—322022280+m20+m80+/20+m令解得x=l此时必过点）；y=0,o D[1,0当玉=々时，直线方程为与轴交点为）MN x=l,x DU,0所以直线必过轴上的一定点（）MN xD1,022加（方法二）假设七=々，那么由240-3切=—60及m〉0,得相=2厢,-80+m220+m2此时直线的方程为过点（MN x=l,D1,Oh40m10m假设玉那么〃河，直线的斜率乙二2-2MD80+m2-22240-3m40-m80+ml-20m直线ND的斜率%加=2+加2=10得右=心叱所以直线MN过D点皿223m-6040-m1220+m因此，直线必过轴上的点（）MN x1,0【针对性练习】椭圆中心在原点，焦点在轴上，焦距为短轴长为［）求椭圆的标3C x2,

26.I C准方程；［）假设直线/（左）与椭圆交于不同的两点、N（、不是椭圆的左、II y=Ax+m W0A/V N右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点求证直线/过定点，并求出定点的坐标.MN解（）设椭圆的长半轴为〃，短半轴长为人，半焦距为那么I c,2c=2,a=2,解得2b=2b=

6.a2=b2+2c,•・・椭圆C的标准方程为22x y（）由方程组《II—+—=43y=kx+m左之/+8kM23+4+4m-12=

0.l由题意△=（碗『—（攵）（）〉843+424/7—120,整理得加

①3+48—2＞设（］，）、代（九，），A/X X2%那么8km24m-12%+方=-------------7,XX=-----------------------21左12左-3+423+42由，AMA.AN,且椭圆的右顶点为A2,0,%-2%2-2+％/=

0.即左々21+2%+h7i-2^+x2+m+4=0,…r，2八\一8km,八,4m-12/,2--------------------------也即-+km-2\21+Zr7+m+4=0,7公3+413+4/整理得加女之72+16+4=

0.2k解得m=一2%或m=-------------,均满足

①7当根=—左时，直线/的方程为y=kx-2k,过定点不符合题意舍去;22,0,Dk、----22当时,772=直线/的方程为y=k x一一,过定点一17,0,77故直线/过定点，且定点的坐标为一,.27

二、定值问题例椭圆的中心在原点，焦点厂在轴的非负半轴上，点尸到短轴端点的距离是椭圆上的点到焦点F距

2.y4,离的最大值是

6.求椭圆的标准方程和离心率；Ie假设为焦点/关于直线的对称点，动点满足=问是否存在一个定点使II Fy M A,\MFf\2到点的距离为定值？假设存在，求出点的坐标及此定值；假设不存在，请说明理由.MAA解设椭圆长半轴长及半焦距分别为，，由得I‘解得=4,c=

2.〃+c=6,77O[所以椭圆的标准方程为匕+工=离心率

1.e==I161242，设y由丁洛=七得II F0,2,F0,l MX99+y-22_1J-+y-l22化简得丁+即％3/+32_1415=0,2+y—2=|2故存在一个定点，使到点的距离为定值，其定值为A0-M

42.33例抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，为定点.

3.C xP2,0假设点为抛物线的焦点，求抛物线的方程；I PC^假设动圆过点且圆心在抛物线上运动，点、是圆与轴的两交点，试推断是否存在一M P,M CA BM y条抛物线使为定值？假设存在，求这个定值；假设不存在，说明理由.C,|AB|解设抛物线方程为那么抛物线的焦点坐标为,由，2=2,即故抛物线的方I y2=2pxpw0,2,0p=4,C程是y2=8x.II设圆心MQ/Q20,点A0j,B0,%・因为圆加过点P2,0,那么可设圆M的方程为x—4+y—2=—〃令尤得丁―勿+—.那么・％〃.所以|例=22+.=0,244=0x+%=2%=4-4Jy—%2=Jy一・％从一+，设抛物线的方程为=如，因为圆心在抛物线上，那+%24y=

1616.C Vm MC么松.所以/2=」勿汝一〃14am・由此可得，当时，为定值.故存在一条抛物线|A31=416+16=—4+16m=4|A3|=4y2=4x,使为定值|AB|

4.。