《图的基本概念lly》课件

图的基本概念图是一种数据结构，它由节点和边组成节点表示对象，边表示对象之间的关系图的定义数据结构图形表示应用广泛图是一种由节点（顶点）和连接节点的图可以用节点和边来直观地表示，节点图在计算机科学、社会网络、地理信息边组成的复杂数据结构，用于表示实体表示对象，边表示对象之间的关系或连系统、交通规划、物流管理等领域有着之间的关系接广泛的应用图的基本组成元素顶点边图中的基本元素，可以表示城市、人、物品等连接两个顶点的元素，可以表示城市之间的道路、人之间的关系、物品之间的联系等图的分类按边的方向分类按边的条数分类按顶点连接情况分类•无向图边没有方向•简单图每对顶点之间最多只有一条边•完全图每对顶点之间都有一条边•有向图边有方向•稀疏图顶点之间连接较少•多重图每对顶点之间可以有多条边无向图和有向图无向图有向图无向图中的边没有方向，表示两个顶点之间的关系是双向的有向图中的边有方向，表示两个顶点之间的关系是单向的简单图和多重图简单图多重图12简单图中，两个顶点之间最多多重图中，两个顶点之间可以只有一条边，并且没有自环有多条边，并且允许存在自环完全图和稀疏图完全图稀疏图应用123完全图是指任意两个顶点之间都有一与完全图相反，稀疏图是指边数很少完全图通常用来建模所有节点相互连条边的图例如，一个有4个顶点的的图，边数远小于顶点数的平方接的网络，而稀疏图常用于表示社交完全图，共有6条边网络或地理位置关系邻接矩阵表示图定义1用一个二维数组存储图中顶点之间的关系元素2数组中每个元素表示两个顶点之间是否存在边，若存在则为1，否则为0优点3简单直观，易于实现缺点4空间复杂度高，对于稀疏图浪费空间邻接矩阵是表示图的一种常用方法，它可以直观地展示图中顶点之间的连接关系对于稠密图，邻接矩阵是一种比较高效的表示方法但对于稀疏图，邻接矩阵会浪费大量的空间邻接表表示图邻接表1每个节点指向一个列表，列表包含与该节点直接相连的节点空间效率2比邻接矩阵更节省空间，特别是对于稀疏图图遍历3适用于图的遍历算法，例如深度优先搜索和广度优先搜索邻接表是一种常用的图存储结构，适用于各种图算法的实现图的度和连通性节点度数连通性桥和割点图中每个节点的度数表示与该节点相连的边连通性是指图中节点之间的连接程度，是图桥是图中的一条边，如果删除它会导致图不的数量的重要性质之一连通，而割点是图中一个节点，如果删除它会导致图不连通连通图与非连通图连通图非连通图连通性图中的任何两个顶点之间都存在路径图中至少存在两个顶点之间没有路径连通性是指图中顶点之间是否相互连接简单来说，图中所有顶点都相互连接这意味着图中存在至少两个独立的子图连通图具有高连通性，而非连通图则具有较低的连通性子图与诱导子图子图诱导子图图G的子图是包含G的所有顶点和边的部分子图可以是G中的一部诱导子图由G中选取的顶点集V’及其所有边组成的子图包含V’中分，也可以是G本身所有顶点对之间的边，即使这些边在原始图G中不存在路径和路径长度路径路径长度图中由一系列顶点和连接这些顶点的边所路径长度是指路径中边的数量组成的序列，称为路径路径长度可以用来衡量两个顶点之间的距路径可以是简单路径或回路，取决于路径离，也是图中一些算法的重要参数中顶点的重复情况简单路径和回路简单路径回路一条路径中没有重复的顶点，除起点和终点相同的路径，且路径了起点和终点可能相同中至少包含一个顶点简单回路除了起点和终点外，其他顶点都不重复连通图的性质路径连通图中任意两个顶点之间都至少有一条路径回路连通图中存在回路，即从一个顶点出发，经过若干条边，最后回到出发点连通性连通图的连通性强，每个顶点都能与其他顶点直接或间接相连连通分量非连通图中的子图图的连通性连通分量是一个无向图中的最大每个连通分量都是彼此分离的，连通子图，其中任意两个顶点之图中可能存在多个连通分量间都存在路径连接应用场景连通分量在网络分析、社交网络研究和数据挖掘等领域都有着广泛的应用桥和割点桥割点桥是指图中的一条边，如果删除这条边会割点是指图中的一个顶点，如果删除这个使图的连通性降低顶点会使图的连通性降低桥的移除会导致图的连通分量增加，这在割点的移除会导致图的连通分量增加，这网络的可靠性方面至关重要在网络的稳定性方面至关重要图的遍历图的遍历图的遍历是指从图中某一点出发，按照一定的规则访问图中所有顶点，并且每个顶点只访问一次的过程深度优先搜索深度优先搜索（Depth-First Search，DFS）是一种常见的图遍历算法，它从起点出发，沿着一条路径一直走到尽头，然后回溯到上一个节点，再选择另一条路径继续探索，直到所有节点都被访问过广度优先搜索广度优先搜索（Breadth-First Search，BFS）是一种基于层级思想的遍历算法，它从起点出发，逐层访问与起点相邻的节点，再访问这些节点的相邻节点，直到所有节点都被访问过深度优先搜索DFS算法原理1深度优先搜索是一种图遍历算法，它从图中一个顶点开始，沿着一条路径一直走到底，再回溯到上一个顶点，继续探索其他路径，直到所有顶点都被访问过实现步骤2DFS算法使用递归或栈来实现首先，将起始顶点标记为已访问，然后依次访问与该顶点相邻的未被访问的顶点，并将这些顶点加入栈中当栈为空时，算法结束应用场景3深度优先搜索广泛应用于各种图论问题，例如寻找图中的所有连通分量、判断图中是否存在环路、寻找图中的最短路径等广度优先搜索BFS步骤初始化11将起点加入队列，并将起点标记为已访问步骤遍历队列22从队列中取出当前节点，访问其未访问的邻居节点步骤更新队列33将所有邻居节点加入队列，并标记为已访问步骤重复步骤42-34直到队列为空，遍历结束广度优先搜索是一种图遍历算法，以层级的方式探索图的节点它从起点开始，一层一层地访问节点，直到到达所有节点广度优先搜索常用于寻找最短路径或判断图的连通性最短路径问题寻找最短路线交通网络优化数据传输效率在道路网络中，寻找两个指定点之间最短路地铁线路图提供城市地铁网络的连接信息，在计算机网络中，最短路径算法用于优化数径是实际生活中常见的问题可应用最短路径算法规划最优出行路线据传输路径，减少传输延迟最小生成树定义应用12最小生成树是指连接图中所有广泛应用于网络优化、电路设顶点，且边权总和最小的树计和交通规划等领域算法优缺点34常用的算法包括Kruskal算法和优点在于能够有效地解决连接Prim算法所有节点的最小成本问题，但对于大型图的计算效率可能较低算法Kruskal初始化首先，创建一个空集合，用于存储最小生成树的边排序对图中所有边进行排序，按照权重从小到大排序遍历依次遍历排序后的边，如果边的两个端点不在同一个集合中，则将该边加入到最小生成树的集合中，并将两个端点所在的集合合并重复重复步骤3，直到最小生成树的集合中包含n-1条边为止算法Prim初始化1选择一个顶点作为起点，并将它加入到生成树中循环2从生成树中所有与非生成树顶点相连的边中选择权值最小的边，并将这条边连接的顶点加入到生成树中重复3重复步骤2，直到所有顶点都加入到生成树中Prim算法是一种贪心算法，每次选择权值最小的边，直到所有顶点都被加入到生成树中拓扑排序定义算法拓扑排序是一种对有向无环图（DAG）进行排序的方法排序后的结果满足拓扑排序算法通常使用深度优先搜索（DFS）实现DFS的过程中，将每个顶如果图中存在一条从顶点A到顶点B的路径，则在排序结果中，A必须排在B点访问一次，并将其加入到排序结果中结果是按照顶点访问顺序排列的之前123应用拓扑排序广泛应用于任务调度、项目管理、编译器优化等领域它可以用来确定任务执行的顺序，避免出现循环依赖的问题关键路径项目进度关键路径是指项目中决定项目总完成时间的最长路径关键活动关键路径上的活动是影响项目进度的重要因素，一旦延误将导致项目整体延期时间优化通过识别关键路径可以有效地管理项目时间，优化资源分配和进度安排网络流问题流量守恒流量平衡最大流问题最小割问题网络流问题中，每条边都具有在源点流入的流量等于汇点流求解网络中能够从源点到汇点寻找网络中能够使源点和汇点容量限制，表示每条边能够传出的流量，这是网络流问题的传递的最大流量，这是一个经分离的最小容量边集，与最大递的最大流量基本性质典的网络流问题流问题有着密切的关系最大流算法核心目标应用领域最大流算法旨在寻找网络中从源点到汇点的最大流量最大流算法广泛应用于各种场景，例如交通网络、供应链管理和网络流量控制等它是一种用于优化网络流问题的关键算法它可以帮助优化资源分配和网络效率图的应用领域图在各个领域都有广泛的应用，例如•计算机网络网络拓扑结构•交通网络路线规划•社会网络人际关系分析•生物信息学蛋白质结构分析•电子商务推荐系统总结和展望图论的基础图论的未来学习图论图论是一门重要的数学分支，它在计算随着大数据时代的到来，图论将继续在掌握图论的基本概念和算法，可以帮助机科学、网络工程、运筹学等领域有着数据挖掘、社交网络分析、人工智能等我们更好地理解和解决现实世界中的复广泛的应用方面发挥重要作用杂问题。