信号检测与估计作业4

信号检测与估计第四章

1.设观测矢量内as n_,其中a为未知参量，噪声矢量n〜N（0,2V）,“为已知n矢量，假定a与生相互独立，如果a在［b,c］上均匀分布，即1P（a）--------------［b,c］c b试求未知参量a的最大后验概率估计（a）和最小均方误差估计（a）如果的分布变为

2.a111P（a）-（a1）-（a）-（a1）333其它条件同习题试求未知参量的最大后验概率估计应叫,）和最小均方误差估计（或）1,ams

3.如果a是均值为m,方差为2的高斯分布，即a〜N（m,2）,其它条件同习题1,试求未知参量a的线性最小均方误差估计（a；）,最大后验概率估计（a二0）和最小均方误差估计（或）ms

4.设观测矢量三as其中a为未知参量，噪声矢量n〜N（0,21）,“为已知n矢量，求未知参量a的最小二乘估计（a）和最大似然估计（如）IS

5.设观测矢量三as n_,其中a为未知参量，噪声矢量上〜N（0,,“为已知矢量，求未知参量的最小二乘估计（镰），加权最小二乘估计（益］£）和最大a似然估计（时）第题1解由题意，以为条件的观测矢量炉厂的条件概率密度为a x x,x,12N；而且对于某一个,则其中为已知矢X|a a x〜Nas,1,s s s,,srH2N/、___1asT2I1x as}exp{Px Ian2N/221-111as1x as}_CXp{z2°x「2乙2而随机参量的概率密度函数为1pa1-2[b,c]b量所以p x|a p aPa|x1-3Px为了求得后验概率利用pa|x,因为是给定了后，的条件概率密度函数，所以对于而言,Pa|x xa pa|x P x相当于使pa|x da11-41111p a|x------------------C xp-------x as1x as-------------Px I2„N/2；c211a sT x as}1Px2c b-------x1-51Kx exp2\1Kxexp{-------X2:的归一化因子，所以1Kx—0-62N/2p XC bn上式中,1T T2Ts}In pa|x InKx{飞1-7x x2as xa是一个与无关项则a用式对求偏导，且令其为零，得1-7aIn pa|x2sTx2as Ts}01-8解-式得的最大后验估计为8a1-9map参数最小均方误差估计量是后验概率的条件均值由a a pa|x Ea|x o1-5msc式可得]T TOT、、xx2as xa s s}pa|x Kx exp{―22nT TT、X cSX22a——a}1-10Kxexp{—TT s sSKxcxp{22,[4ss上式中,T XXT■Ix Kxexp{iS XTS STS S由于后验概率是广义正态分布,故可求得最小方差估计为TS Xa pa|x daT1-12amsc ss解的最大后验概率为不后验概率为1amapp x|apapa|x2-1Px1由于故只需考虑pa1pa0pa13as1I7x as}Px|a exp{2-2n将分别代入到式，得a112-2\T hxPx|a1[exp{1/s ns}22n/2|J|2-31T oT】SS}xx2s xI1/2n2n2/Px|a1exp{x}2-4产|2一11px|a2cxp{x S[I\X s}n产I/222JI2-5i12s1x s1s}rXP{2n/2|J通过对比式、和可得最大后验概率估计为:2-32-42-5,£-s2,L TJ_TT SSAS S2-6map SX22TSTS X最小均方误差估计日…2a px|a paa mscPx|a pa111-1p x|a1-0p x|a0-1p x|a13332-7111-p x|a1p-x|a30-p x|a133P x|a1p x|a1Px|a1p x|a0p x|a1对于给定的观测矢量,对应条件概率的可以按、和计算X pxla2-32-42-5第题3解⑴线性最小均方误差估计Ea cova,x Varx1x Ex3-7其中，Ex Ea sn Ea sEn Ea s ms3-8cova,x E[a EaxEx]2s13-9varx E[X EXX EX1]TE[a sn msa sn ms]3-10T TE[a mss a m]E[nn]将式、和代入到式得3-83-93-103-7,、〃2T/2T271/\3-Ha msss Ix mslmsonHI最大后验概率估计23-12[—Px|a a—In pa]2a0“map a其中,1T一In px|a—{x asx as}O23-13a a2[T2a ss2sx1am1n pa{ln[-------------e xp{-----}]}a--a V2213-14-2am将式代入到式得3-123-133-12丁1J.m一In px|a-In pa2a ss2sx aaa222解得最大后验概率估计为3-15map最小方差估计3因为当被估计量与观测都服从高斯分布时，后验概率密度也axpa|x服从高斯分布，所以此时aams map3-16第题4解⑴最小二乘估计根据已知条件，可得最小二乘估计为飞】ss X*Ls4-1⑵最大似然估计11px|a exp{—x asT2I1x as}对〃2N/2|2n4-2根据最大似然估计准则[一In px|a]0aa解得4-3TSXml~~ss4-4第题5解⑴最小二乘估计根据已知条件，可得最小二乘估计为AaLs5-1⑵加权最小二乘估计由给出的已知条件，可得AaWLs⑶最大似然估计DT I\1T1s KssKD x5-2PX|a11根据最大似然估计准则--------------------e—x as R1xas}5-3xp{2N/2R，/2［一lnpx1aL~05-4a化简得s R1x xRs2asR1s05-5且、,故解式得sR xR1s5-5a sRs1sR1x5-6ml。