《同济版高数》课件

同济大学微积分同济大学高等数学（《同济版高数》）是一门基础课程，涉及微积分、线性代数、概率统计等内容该课程旨在培养学生的数学思维和解决实际问题的能力课程介绍综合性课程思维培养本课程涵盖大学数学的基本内容,课程注重培养学生的抽象思维、包括微积分、多元函数微分学等逻辑推理和问题解决能力,培养学主要知识点,为后续专业课程奠定生独立分析问题的能力坚实的数学基础应用导向通过大量的实际应用案例,使学生了解数学知识在各学科中的应用,增强学习的兴趣与动力课程目标全面提高数学分析能力培养数学建模能力增强逻辑思维能力应用数学知识解决问题系统学习一元和多元函数微积学会将实际问题转化为数学模通过数学推理训练，提高抽象学会运用微积分知识解决工程分，掌握基本概念和运算技能型，并利用微积分方法进行分思维和分析问题的能力、经济等领域的实际问题析和求解先修知识数学基础知识编程基础知识自然科学知识学习本课程需要掌握微积分、线性代数、概熟练掌握编程语言和数据结构等编程基础知良好的物理、化学等自然科学知识背景,有率统计等数学基础知识这些知识为后续的识,有助于更好地理解和应用高等数学知识利于更好地理解和应用高等数学知识学习奠定了坚实的基础一元函数微分学函数概念1建立数学模型极限概念2分析函数性质连续性3确保函数可微导数计算4深入理解函数变化一元函数微分学是数学分析的核心内容之一,着眼于单变量函数的性质探索和微分计算从函数的基本概念出发,逐步引入极限、连续性、导数等重要概念,掌握各类初等函数的求导公式,并应用于函数性质分析、图像描绘等实际问题中这些基础知识为后续的多元函数微积分学奠定了坚实基础函数的概念函数定义定义域和值域函数是将一个集合中的元素与另一个函数的定义域是输入变量的取值范围,集合中的元素一一对应的映射关系值域是输出变量的取值范围函数图像函数分类函数的图像是将定义域中的元素对应根据函数的性质和图像形状,函数可以到值域中的元素的几何表示分为多种类型,如一次函数、二次函数等基本初等函数基本初等函数概述多项式函数12基本初等函数包括多项式函数多项式函数是最简单的初等函、幂函数、指数函数、对数函数之一它们具有简单的代数数、三角函数等常见函数类型形式并可用于描述许多自然现它们构成了微积分中的基础象指数函数和对数函数三角函数34指数函数和对数函数是正反函三角函数描述了角度与边长的数,广泛应用于科学技术、金融关系,在数学物理中占有重要地经济等领域它们具有重要的位它们是分析研究振荡现象性质和应用的基础极限的概念极限的定义极限的几何意义极限的计算方法极限描述了一个函数在某一点附近的趋势和从几何角度来看,极限描述了函数图像上的通过掌握基本极限公式以及利用极限运算法行为方式它能反映出函数在该点的趋近状某一点是如何接近另一个点的这种接近关则,我们可以计算出各种函数在指定点的极态系就是极限限值函数连续性连续函数间断点连续性判定连续性应用连续函数是在定义域内没有间函数在某个点处出现间断,即可通过极限、导数等方法判断在工程、金融等领域,连续函断的函数它能够在任何点连无法在该点进行连续变化通函数在某点是否连续连续性数更易于建模和分析,在实际续地变化,没有突然的跳跃或常包括跳跃间断和无穷间断是许多微积分理论的基础应用中有广泛用途断裂导数的概念瞬时变化率切线斜率12导数描述了函数在某点上的瞬导数还表示了函数在某点的切时变化率,反映了函数在该点的线斜率,可以帮助我们理解函数局部线性性质的形状和变化趋势极限定义几何意义34导数的标准定义是利用极限的导数在几何上可以理解为函数概念来刻画函数在某点的瞬时图像上某点的切线斜率变化率导数的计算法则基本公式1导数计算的基本公式包括常数函数、幂函数、指数函数、三角函数等常见初等函数的导数公式复合函数规则2处理复合函数时需要使用链式法则，将内层函数的导数与外层函数的导数相乘隐函数求导3对于隐函数而言，需要运用隐函数求导法则来计算导数这需要使用全微分公式高阶导数高阶导数的定义应用场景高阶导数指的是对函数进行连续高阶导数在优化问题、曲线分析二次或多次求导的结果它可以以及物理学中都有广泛应用,能够帮助我们更深入地分析函数的性为问题提供更精细的解决方案质和变化趋势计算技巧计算高阶导数需要掌握导数的基本运算法则,同时还要注意导数的连锁规则和隐函数求导法则微分中值定理平均变化率微分中值定理阐述了函数在区间内的平均变化率等于某一点的导数几何意义微分中值定理的几何意义是函数在区间内必然存在一点的切线斜率等于该区间的平均斜率计算公式微分中值定理可用公式表示为:fc=fb-fa/b-a函数的极值什么是极值如何求极值函数的极值应用函数在某点的值大于或小于其附近所有点的通过求函数的导数,找到导数为0或不存在的函数的极值在工程、经济等领域有广泛应用值,这种点称为极值点极大值点和极小值点,再检验这些点是否为极值点,如求解最大利润、最小成本等优化问题点总称为极值点函数的图像与曲线学习掌握函数的图像绘制和曲线分析是高等数学的重要内容通过观察函数图像可以直观地理解函数的性质和规律,为进一步的微积分学习奠定基础准确地绘制函数图像需要熟练掌握基本初等函数的性质曲线分析涉及曲线的方程式、曲线几何性质、曲线在坐标系中的表现等这些知识对于解决实际问题有重要应用,如物理学、工程学等领域中的建模和问题求解一元函数积分学不定积分1研究原函数的概念和性质换元积分法2通过变量替换来求解积分分部积分法3运用导数和积分的对偶关系定积分4给出函数在闭区间上的积分微积分基本定理5连接微分和积分的基础定理一元函数积分学是高等数学的核心内容之一,涉及不定积分、定积分、换元积分法、分部积分法等重要概念和方法通过学习这部分知识,可以掌握函数在区间上的累积变化规律,并应用于几何、物理、经济等诸多领域不定积分的概念积分的定义与导数的关系积分计算方法积分是反函数微分的过程它能够对连续函不定积分是求一个函数的原函数原函数是不定积分有多种计算方法,如换元积分法、数在给定区间上的累积效应进行数学描述和一个导数为给定函数的函数分部积分法等,能够求解各种类型的积分计算换元积分法理解换元应用场景步骤指引技巧分享换元积分法是将复杂的积分转这种方法广泛应用于各种类型

1.选择合适的替换变量

2.根熟练掌握常见的换元技巧,如换成更简单的形式进行求解的的积分计算中,如三角函数、据链式法则计算微分

3.代入三角换元、指数换元等非常重方法这需要寻找合适的替换指数函数、反三角函数等合原始积分式

4.化简积分表达要适当的换元可大幅提高积变量来化简积分表达式理的换元可大大简化积分过程式

5.求出最终结果分计算效率分部积分法将积分式拆分成对确定积分部分12将复杂的积分式拆分成两个或选择合适的乘数和被乘数,将积更多个较为简单的积分式分式拆分为定积分和不定积分的乘积结合替换积分反复应用34在必要时采用换元积分法,进一对于更复杂的积分式,可以多次步简化积分过程应用分部积分法直至得到最终结果定积分的概念区域面积计算累积量的总和定积分可用于计算平面曲线所围定积分还可以用来计算某个区间合的区域的面积，是微积分的一内函数值的累积总和，如物理量个重要应用的总量计算函数平均值定积分可以用来计算函数在某个区间内的平均值，有助于分析函数的整体性质微积分基本定理牛顿-莱布尼茨公式基本积分公式确立了定积分与导数的密切联系,常见的基本积分公式为求解简单是微积分的基础定理之一它为积分提供了依据,是进一步学习积求定积分提供了一种有效的计算分方法的基础方法基本积分列表微积分的应用给出了一些基本函数的积分形式,微积分基本定理为诸多领域的问为查找和运用提供了方便题求解提供了理论基础,在物理、工程、经济等方面广泛应用反常积分定义无穷积分瑕积分应用反常积分是指在积分区间上出当积分区间为无穷大时,积分当积分函数在积分区间内具有反常积分广泛应用于数学物理现无穷大的特殊情况,包括无可能会发散或收敛积分收敛间断点时,需要特殊处理才能、工程、经济等领域,对于解穷积分和定积分中的瑕积分时,称为无穷积分求得定积分这种定积分称为决实际问题非常重要瑕积分广义积分无界域积分无界函数积分12广义积分可以处理无界域上的广义积分还可以处理在某些点定积分，如区间-∞,+∞或无界的函数的定积分，如果函0,+∞上的积分数在积分区间连续并具有渐近性无穷级数积分收敛性判断34广义积分的概念可以推广到无广义积分需要对其收敛性进行穷级数的和的计算，如傅里叶严格判断，避免出现发散或奇级数的求和异的情况几何应用面积计算体积计算利用微积分的理论,可以计算各种几何利用微积分的方法,可以计算空间几何图形的面积,如圆、多边形等体的体积,如球体、柱体等长度计算弧长计算微积分理论还可用于计算曲线的长度,利用定积分的方法,可以计算曲线的弧如弧长、曲面积分等长,广泛应用于工程测量物理应用经典力学热力学电磁学微积分广泛应用于描述和分析经典力学现象微积分用于分析热量、能量、工作等热力学微积分在描述电场、磁场、电磁感应等电磁,如物体运动、力与加速度的关系等概念之间的关系,如热量与温度变化的关系现象中扮演重要角色,为分析电磁波传播提供理论基础经济应用企业决策金融投资宏观经济市场营销微积分可用于分析企业的成本通过微积分分析金融商品的收微积分可用于分析经济增长、微积分可帮助企业分析消费者、收益和利润函数,帮助企业益率、风险和敏感性,投资者通货膨胀、失业率等宏观经济需求函数,优化产品价格和促做出最优决策可以做出更明智的投资决策指标,为政策制定提供依据销策略工程应用建筑设计机械工程高等数学在建筑设计中扮演重要微积分支持机械设备的运动轨迹角色,应用于结构强度计算、曲面分析、动力学计算、控制系统设建模、工程预测等关键环节计等,是不可或缺的基础电子电路信号分析、滤波器设计、电路优化等问题都依赖于微积分理论的应用工程师需精通相关数学知识多元函数微分学偏导数研究多元函数对各个独立变量的导数关系,为多变量函数的优化和应用奠定基础全微分通过全微分,可以得到多元函数在某点的线性逼近,为分析函数行为提供有用信息极值与鞍点多元函数的极值和鞍点分析,在优化问题和极值问题求解中发挥关键作用偏导数定义计算12偏导数描述函数对单一变量的变化率,而不考虑其他变量的影通过将其他变量视为常数来计算每个变量的独立导数响应用解释34偏导数在多元微积分、优化问题、工程设计等领域广泛应用偏导数表示函数对某一个变量的变化率,对其他变量保持不变全微分偏导数全微分对多元函数的各自变量求导,得到函数将各偏导数乘以对应的微分元素,再求的偏导数和得到全微分梯度线性逼近全微分中各偏导数组成的向量即为函全微分可用于求得函数在某点的线性数的梯度逼近式隐函数隐函数定义隐函数微分隐函数应用隐函数是用另一个变量来表示某个变量的函隐函数的微分需要用到全微分的概念,通过隐函数广泛应用于数学分析、几何、物理、数关系的函数它通常用方程式的形式来给对方程式全微分可以得到隐函数的导数表达工程等领域,是理解和分析复杂函数关系的出式重要工具。