《离散型随机变量》课件

离散型随机变量离散型随机变量是随机变量的一种，其取值只能是有限个或可数个值离散型随机变量在许多领域都有应用，例如统计学、概率论、金融学和机器学习概念介绍随机变量是将随机事件的结果用数值表示的变量，它们是离散型随机变量在现实生活中有着广泛的应用，比如概率论和统计学中的核心概念抛硬币的正面次数•随机变量根据取值范围的不同可以分为离散型和连续型，一个小时内通过某个路口车辆的次数•离散型随机变量是指取值有限或可数的随机变量在一定时间内，某设备发生的故障次数•离散型随机变量定义可数性离散性

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2.12随机变量取值只能是有限随机变量的取值之间存在个值或可数个值，即可以间断，不能取连续的值一一列举或用自然数标记概率性

3.3每个取值对应一个特定的概率，这些概率之和等于1离散型随机变量的性质可数性概率分布图形表示数学期望和方差离散型随机变量的值可以是有离散型随机变量的概率分布可离散型随机变量的概率分布可离散型随机变量的数学期望和限个或可数个例如，硬币抛以用概率质量函数（PMF）表示以用条形图或直方图表示例方差是其概率分布的重要特征掷次数，骰子点数例如，抛掷一枚硬币两次，如，绘制抛掷一枚硬币两次，例如，计算抛掷一枚硬币两得到正面次数的概率分布得到正面次数的概率分布图次，得到正面次数的数学期望和方差离散型随机变量的分类有限离散型无限可数离散型取值有限，可以一一列举取值无限，但可以按自然数列一一对应列举离散型均匀分布定义特点离散型均匀分布是指在一个每个值具有相同的概率，所有限的离散值范围内，每个有值的概率之和为1值出现的概率相等应用常用于模拟随机事件，例如抛硬币、掷骰子、抽奖等伯努利分布定义参数伯努利分布是一种离散型概伯努利分布只有一个参数，率分布，描述了单个事件的即成功概率，失败概率为p1-p成功或失败概率应用伯努利分布广泛应用于各种领域，如掷硬币、抽奖、质量控制等二项分布伯努利试验次试验概率计算n一系列相互独立且相同条件下的试验在次伯努利试验中，成功的次数服二项分布可以用于计算在次试验中n n，每次试验只有两种结果，被称为伯从二项分布，成功次的概率k努利试验例如，抛硬币，每次抛掷的结果要么是正面，要么是反面泊松分布定义特点12泊松分布描述在特定时间事件相互独立，平均发生或空间内随机事件发生的率恒定，泊松分布仅由平次数，事件发生概率很小均发生率参数决定，但事件发生的次数很多应用公式34泊松分布广泛应用于各种泊松分布的概率公式为领域，例如预测一定时间PX=k=λ^k*e^-λ/k!内某个电话呼叫中心接到的电话次数、交通事故发生次数等超几何分布定义应用场景超几何分布描述从有限总体中抽取样超几何分布常用于抽样调查、质量控本，样本中包含特定类型元素的数量制和风险评估等领域的概率分布例如，从一批产品中随机抽取若干个总体中的元素数量是有限的，且各元产品，判断其中有多少个次品素之间的关系是依赖的随机变量的数学期望数学期望是随机变量取值的平均值，是随机变量所有可能取值的加权平均值，权重为每个取值的概率数学期望表示随机变量取值的平均趋势，可以用来估计随机变量取值的中心位置EXμ数学期望期望值EX表示随机变量X的数学期望μ表示随机变量X的数学期望∑PX=xi求和概率∑表示求所有可能取值的和PX=xi表示随机变量X取值为xi的概率随机变量的方差方差衡量随机变量偏离其期望值的程度方差越大，随机变量取值越分散，反之则越集中符号定义VarX E[X-EX^2]随机变量的标准差标准差是衡量随机变量离散程度的指标，反映了随机变量取值与期望值的偏离程度标准差的计算公式为，其中表示随机变量的方差σ=√VarX VarXX标准差越大，随机变量的取值越分散；标准差越小，随机变量的取值越集中标准差与方差都是用来衡量随机变量离散程度的指标，二者之间可以通过公式相互转换离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望是该变量所有可能取值的加权平均值，权重为每个取值出现的概率数学期望反映了随机变量的平均取值，它是一个重要的统计量，可以用于估计随机变量的中心位置EXΣ期望求和代表随机变量的平均值对所有可能取值进行求和x PX=x取值概率随机变量的每个可能取值每个取值出现的概率离散型随机变量的方差定义离散型随机变量的方差衡量随机变量取值偏离其期望值的程度，反映了随机变量取值的离散程度公式VarX=E[X-EX^2]意义方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中二项分布的数学期望和方差二项分布的数学期望是试验中成功的次数的平均值方差度量了随机变量的离散程度，即随机变量的取值与其数学期望的偏差程度二项分布的数学期望和方差可以通过公式计算得到，公式中涉及到试验次数和成功的概率泊松分布的数学期望和方差泊松分布数学期望方差λλλ泊松分布的数学期望和方差都等于参数这表明，事件发生的平均λ次数等于事件发生的概率超几何分布的数学期望和方差超几何分布的数学期望和方差是其两个重要特征，用于描述分布的中心趋势和离散程度超几何分布的数学期望为EX=n*K/N，其中n为样本大小，K为总体中成功事件的个数，N为总体大小超几何分布的方差为VarX=n*K/N*N-K/N*N-n/N-1n样本大小K成功事件个数N总体大小离散型随机变量的函数函数关系概率分布图像表示离散型随机变量的函数是指将离散型函数的概率分布可以通过将原始随机可以用图像来直观地表示离散型随机随机变量作为自变量的函数，其结果变量的概率分布进行转换得到变量函数的概率分布也是一个随机变量大数定律大量试验平均值稳定统计规律当进行大量独立重复试验时，事件发样本平均值逐渐接近总体平均值，误描述随机现象在大量重复试验中呈现生的频率趋于事件的概率差收敛于零出的稳定规律中心极限定理正态分布无论原始分布如何，当样本量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布样本量样本量越大，样本均值的分布越接近正态分布统计推断中心极限定理为统计推断提供了坚实的基础，使我们能够从样本数据推断总体参数实例分析1假设我们掷一个骰子，记录下骰子出现的点数这个点数就是一个离散型随机变量骰子的点数只能是、、、、、这六个值，并且每个值出现的概123456率都是相等的，即1/6我们可以用概率分布函数来描述这个随机变量的概率分布例如，PX，表示骰子出现点的概率是=3=1/631/6实例分析2某个网站每天收到访问者数量服从泊松分布假设平均每天收到个访问者，求一天内网站收到个访问者的概100120率该实例展示了泊松分布在实际生活中的应用，帮助我们理解泊松分布在分析随机事件频率时的重要作用实例分析3假设您是一名金融分析师，需要分析股票交易数据流可以使用离散型随机变量来分析股票价格变化例如，可以使用泊松分布来模拟一定时间段内股票交易的次数，或者使用二项分布来模拟股票价格在特定时间段内上涨或下跌的概率离散型随机变量的应用领域质量控制统计推断

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2.12在生产过程中，使用离散基于样本数据，估计总体型随机变量来分析产品质参数，例如总体均值或方量，并进行质量控制差风险管理计算机科学

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4.34在保险和金融领域，离散在计算机科学领域，离散型随机变量用于评估风险型随机变量在算法分析和和制定策略随机模拟中得到广泛应用小结知识回顾应用展望本节课介绍了离散型随机变量的概念、性质和分类，以及学习离散型随机变量能够帮助理解现实生活中许多随机现常见的离散型分布，包括均匀分布、伯努利分布、二项分象，并为数据分析、风险管理和预测决策提供工具布、泊松分布和超几何分布课后思考本节课我们学习了离散型随机变量的概念、性质、分类及应用请同学们思考以下问题如何根据实际问题判断随机变量是离散型还是连续型？

1.除了课上提到的几种离散型分布，还有哪些常见的离散型分布？

2.离散型随机变量在实际应用中有哪些局限性？

3.离散型随机变量与连续型随机变量之间有哪些联系和区别？

4.参考文献概率论与数理统计随机过程陈希孺著，中国科学技术大学出版社，年著，清华大学出版社，年2019Sheldon M.Ross2015统计学数据科学导论贾俊平著，高等教育出版社，年周志华著，清华大学出版社，年20142019。