离散型随机变量的分布列、期望与方差课件

离散型随机变量的分布列、期望与方差本节将介绍离散型随机变量的分布列、期望和方差等重要概念，并举例说明课程目标理解离散型随机变量的基本概念掌握离散型随机变量的分布列、期望和方差计算方法学习常见的离散型随机变量分布包括分布、二项分布和泊松分布0-1了解离散型随机变量的应用场景应用这些知识解决实际问题离散型随机变量的概念离散型随机变量是指其取值只能是有限个或可数个值的随机变量例如，掷一枚硬币三次，正面出现的次数就是一个离散型随机变量，它可以取值、、或离散型随机变量可以用于描述计数性质的现象，例如顾客0123人数、发生事件的次数等离散型随机变量的概率分布列离散型随机变量的概率分布列，也称为概率质量函数，它将随机变量的每个取值与该取值出现的概率对应起来，从而描述随机变量取值的概率分布PMF例如，如果随机变量表示一个硬币抛掷两次，正面出现的次数，那么的取值范围为，，，其概率分布列可以表示为X X{012}离散型随机变量分布列的性质概率和为概率非负概率值对应事件

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3.123分布列中所有概率之和等于，表每个概率值都大于或等于，因为每个概率值对应一个特定的事件10示所有可能取值的概率之和为概率代表事件发生的可能性，即随机变量取某个值的概率100%计算离散型随机变量的概率分布列列出所有可能的取值1确定随机变量的所有可能取值计算每个取值的概率2根据定义，计算每个取值对应的概率建立分布列3将每个取值及其概率列成表格计算离散型随机变量的概率分布列需要明确随机变量的所有取值以及每个取值对应的概率通过列出所有可能的取值，并计算每个取值的概率，就可以构建一个完整的概率分布列计算离散型随机变量的期望定义

1.1期望是所有可能取值的概率加权平均值公式

2.2ΣEX=x*PX=x意义

3.3期望表示随机变量的平均值离散型随机变量的期望是一个重要的概念，它反映了随机变量的平均值通过计算期望，我们可以更好地理解随机变量的性质，并进行相关的统计分析离散型随机变量期望的性质线性性常数倍数多个离散型随机变量的期望值离散型随机变量乘以一个常数的线性组合等于其线性组合的，其期望值也乘以该常数期望值常数的期望常数的期望值等于该常数本身计算离散型随机变量的方差方差定义1方差衡量随机变量取值与其期望值的偏离程度计算方差需要先计算期望值公式2方差的公式为VarX=E[X-EX^2]可以展开为VarX=EX^2-[EX]^2计算步骤3•计算期望值EX•计算随机变量的平方期望值EX^2•代入公式计算方差VarX离散型随机变量方差的性质非负性线性性质方差始终是非负的这是因为方差是随对于常数和，随机变量的方差有以a bX机变量与期望值的平方差的期望值，而下性质这VaraX+b=a^2VarX平方差始终是非负的方差为，表明意味着将随机变量乘以一个常数会将方0随机变量的值始终与其期望值相等差放大该常数的平方倍分布0-1分布也称为伯努利分布，是离散型随机变量最简单的分0-1布形式该分布表示随机事件只有两种可能的结果，例如抛硬币的结果是正面或反面二项分布伯努利试验重复试验概率分布列二项分布是基于伯努利试验的，每个试二项分布描述在次独立的伯努利试验中二项分布的概率分布列可以用公式计算n验只有两种可能结果，且每次试验相互，成功次数的概率分布，每个结果的概率取决于试验次数、成独立功概率和失败概率二项分布的期望和方差二项分布的期望是试验次数乘以成功的概率方差是试验次数乘以成功的概率乘以失败的概率nn试验次数pp成功的概率1-p1-p失败的概率泊松分布泊松分布是一种离散型概率分布，用于描述在特定时间或空间内随机事件发生的次数例如，在一个特定时间段内到达商店的顾客数量，或一块布料上出现的缺陷数量泊松分布的概率质量函数为，其中是单位时λλλPX=k=^k/k!*e^-间或空间内事件发生的平均次数，是事件发生的次数k泊松分布的期望和方差均为λ泊松分布的期望和方差期望λEX=方差λVarX=泊松分布的期望和方差都等于参数这意味着事件发生的平均次数和事λ件发生的方差相同离散型随机变量函数的期望定义对于离散型随机变量及其函数，的期望值等于取各个值的概率X gX gX gX乘以对应值的加权和公式E[gX]=Σ[gx*PX=x]，其中x取X的所有可能值应用可用于计算更复杂的随机变量的期望值，例如组合型随机变量示例例如，对于投掷一枚硬币两次，令为正面次数，则，我们可以计XgX=X^2算的期望值gX离散型随机变量函数的方差定义离散型随机变量函数的方差定义为其期望的平方减去其期望的平方公式方差公式如下VargX=E[gX^2]-E[gX]^2计算利用离散型随机变量函数的概率分布列和期望公式，可以计算出其方差应用方差是衡量离散型随机变量函数取值离其期望值的平均距离大数定律频率稳定平均值趋近期望

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2.12随着试验次数的增加，事件多次试验结果的平均值会逐发生的频率会越来越接近其渐接近随机变量的期望值概率统计规律

3.3描述了大量随机事件的统计规律，是概率论的核心概念之一切比雪夫不等式概率范围估计无需分布信息应用广泛切比雪夫不等式是用来估计随机变量无需了解随机变量的具体分布，只需广泛应用于统计学、金融学等领域，落在某个范围内概率的工具要知道期望和方差进行数据分析和风险控制正态分布钟形曲线均值和标准差现实世界中的应用正态分布的图形呈现为一个对称的钟形正态分布由均值和标准差两个参数决定在现实世界中，许多数据都服从正态分曲线，中间高两边低，它们分别代表了分布的中心位置和数布，例如身高、体重、血压等据分散程度正态分布的性质对称性钟形曲线唯一性标准化正态分布曲线关于其均值对正态分布曲线呈钟形，曲线正态分布由均值和标准差两任何正态分布都可以通过标称这意味着曲线在均值左最高点位于均值处，两端逐个参数完全确定不同的均准化转化为标准正态分布，侧和右侧的形状相同渐下降值或标准差将产生不同的正标准正态分布的均值为，0态分布标准差为1正态分布的应用统计学质量控制正态分布在统计学中应用广泛，例如假设检利用正态分布可以进行产品质量控制，例如验、置信区间估计等设定规格界限，判断产品是否合格金融工程金融领域广泛使用正态分布，例如风险管理正态分布在工程领域用于分析和预测，例如、投资组合优化等可靠性分析、误差分析等正态分布的标准化标准化目的标准化方法将不同均值和方差的正态分布转化为标准正态分布，便于进行比较和计算将原始正态分布中的每个值减去均值，再除以标准差，即可得到标准正态变量的值123标准化公式Z=X-μ/σ，其中Z是标准正态变量，X是原始正态变量，μ是均值，σ是标准差正态概率密度函数正态概率密度函数是一个钟形曲线，表示随机变量在每个值上的概率密度它描述了正态分布的形状和概率分布公式σfx=1/√2π*exp-x-μ²σ/2²期望值μ标准差σ正态分布的一些计算计算概率1标准化后使用查表法计算期望和方差2使用公式计算计算特定值3根据概率值反推正态分布的一些常见计算包含计算概率、期望和方差、以及根据概率值反推特定值使用标准化方法可以简化计算，并通过查表来获取对应概率值正态分布与二项分布的近似二项分布正态分布当试验次数很大时，二项分布可以正态分布可以用来近似二项分布，近似地用正态分布来表示因为二项分布的形状类似于正态分布正态分布与泊松分布的近似泊松分布近似正态分布适用条件正态分布的期望和方差泊松分布的期望值应大于10当泊松分布的期望值较大时，才能用正态分布进行有效近似正态分布的期望等于泊，可以用正态分布近似泊松近似松分布的期望，方差也等于分布这是因为泊松分布的泊松分布的期望概率质量函数的形状类似于正态分布的概率密度函数课程小结离散型随机变量及其分布大数定律和切比雪夫不等式离散型随机变量函数的期望和方差我们学习了离散型随机变量的概念、概大数定律表明，当试验次数足够多时，率分布列、期望和方差等重要概念我事件发生的频率会趋近于其概率切比我们学习了如何计算离散型随机变量函们还介绍了三种常见的离散型分布雪夫不等式则提供了一种估计随机变量数的期望和方差，以及这些概念在实际0-1分布、二项分布和泊松分布偏离期望值的概率的方法问题中的应用思考与练习本节课学习了离散型随机变量的分布列、期望与方差通过学习，应该掌握以下内容理解离散型随机变量及其概率分布列的概念

1.能够计算离散型随机变量的期望和方差

2.了解常见离散型分布分布、二项分布和泊松分布

3.0-1运用所学知识解决实际问题

4.以下是一些练习题设随机变量表示抛一枚硬币次，正面朝上的次数求的概率分布列、期望和方差

1.X5X某电话交换台平均每分钟接听电话个求在一分钟内接到个电话的概率

2.105某工厂生产的零件，其合格率为从生产的个零件中随机抽取个，求其中至少有个合格的概率

3.95%10054。