高数下册常用常见知识点

高等数学下册常用常见知识点第八章空间解析几何与向量代数一向量及其线性运算

1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；

2、线性运算加减法、数乘；

3、空间直角坐标系坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；利用坐标做向量的运算设口，口，

4、则口，口；.1向量的模、方向角、投影2向量的模口；3两点间的距离公式AB=J%2-%2+%一必2+仁2-2124方向角非零向量与三个坐标轴的正向的夹角a,Ba%V zA5cosa=h/=cos/=7方向余弦COS Hcos+cosa+cos py=l投影口，其中口为向量口与□的夹角二数量积，向量积

1、数量积万/=|5|B cos9——I一21a a=\a-A--A2H±Z oa•b=0—►、、,a-b=ah+a b+ab^向量积口大小□，方向□符合右手规则—►D axa=O-►-A-A2allb=axb=0环流量向量场口沿着有向闭曲线G的环流量为口rot A=、旋度:dR dQdP dROQ dPdzdz dxdx办,第十二章无穷级数一常数项级数

1、定义1无穷级数口部分和口，正项级数口，口交错级数口，口2级数收敛若口存在，则称级数口收敛，否则称级数口发散3条件收敛口收敛，而口发散；00绝对收敛收敛・n=\

2、性质1改变有限项不影响级数的收敛性；2级数口，□收敛，则口收敛；3级数口收敛，则任意加括号后仍然收敛；

3、必要条件级数口收敛口口注意不是充分条件！

4、审效法1正项级数□，口2定义□存在；00Z3〃收敛V{s〃}有界；n=\比较审敛法口，□为正项级数，且口4若口收敛，则口收敛；若口发散，则口发散.5比较法的推论口，□为正项级数，若存在正整数□，当口时，□，而□收敛，则口收敛；若存在正整数口，当口时，口，而口发散，则口发散6比较法的极限形式□，口为正项级数，若□，而□收敛，则口收敛；若口或口，而口发散，则口发散7比值法□为正项级数，设□，则当口时，级数□收敛；则当口时，级数口发散；当口时，级数口可能收敛也可能发散*根值法□为正项级数，设口，则当口时，级数口收敛；则当□时，级数□发散；当口时，级数口可能收敛也可能发散.极限审致法□为正项级数，若口或口，则级数□发散；若存在口，使得□，则级数口收敛.交错级数莱布尼茨审敛法交错级数口，□满足口，且口，则级数□收敛任意项级数008Z绝对收敛，贝I〃收敛n=\〃=1常见典型级数几何级数口级数-:二p LJ

（三）函数项级数

1、定义函数项级数□，收敛域，收敛半径，和函数;幕级数□

2、收敛半径的求法口，则收敛半径口

3、泰勒级数oo V〃〃+1lim x=lim x—/=0x-x yR严o nn\con=01展开步骤（直接展开法）求出了⑺⑶,=123,・・・2几；3求出/⑺（%），〃=42・・・；〃%00Z写出〃；%—/4n=Qn\lim x=lim7°产=R5验证n是否成立81=£—;X〃,10012〃+lZ1+1sinx=£-1G-00^+00,X22n+l!n=Q0012cosx=X T3严------X〃，X G-00,4-002n!/=0；间接展开法（利用已知函数的展开式）00XG-1,

1.二£%〃，41-Xn=000=Z-13，xe T15n=0f-1V也lnl+x=Z^yL xe-l,1]〃=o〃+l76[00，£T D—^江㈠〃钟，X71+x M00-l---m-n+lmml+x l+Z〃，=8nl71=

14、*傅里叶级数*定义1正交系□函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间□上积分为零.00®+cos〃x+b〃sinnx/X=傅里叶级数2=\n2系数口收敛定理展开定理设f x是周期为2P的周期函数，并满足狄利克雷Dirichlet条件:1在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；2在一个周期内只有有限个极值点，则f x的傅里叶级数收敛，且有为连续点Xa00—+cosnx+b sin=/x++/%-n2=\n傅里叶展开:

1.乃r—/xcosnxdx几=0,1,2,・・・兀I

①求出系数

71.bn=~/xsinnxdx〃=L2,3,・・・-71Q8

②写出傅里叶级数/x=寸+Zcos nx+bn sin nx./n=l

③根据收敛定理判定收敛性.-A-A-Ai jk—►、,axb=a aaY y么by bz—►—►x运算律:反交换律b xa=—a b

（三）曲面及其方程

1、曲面方程的概念□.旋转曲面（旋转后方程如何写）面上曲线，绕□轴旋转一周口

2、绕□轴旋转一周□柱面（特点）

3、表示母线平行于轴，准线为的柱面

4、二次曲面（会画简图）1）椭圆锥面□椭球面口2）旋转椭球面□3）*单叶双曲面口4）*双叶双曲面口x2y2b26*双曲抛物面（马鞍面）a2x2y2=1b27椭圆柱面〃22x2y b28双曲柱面〃2x9）抛物柱面=ay

（四）空间曲线及其方程

1、一^殳方程口

2、参数方程匚I,如螺旋线□

3、空间曲线在坐标面上的投影,消去，得到曲线在面上的投影

（五）平面及其方程（法向量）点法式方程口5）椭圆抛物面口

1、法向量口，过点口

2、一般式方程Ax+By+Cz+D=O（某个系数为零时的特点）%y n[————I———i截距式方程n hr~两平面的夹角口，口,|A A+B B+C C|t2X2t2cos8=J A；+；+C；•J+；B段+crij_A A+=oJ口？=B B+G G2X2A A£L==ii]//n4B C22点口到平面口的距离:Ax++D|By+Cz0002+2+2A BC

（六）空间直线及其方程（方向向量）A x+B y+C z+A=0x xx

1、一般式方程vA2x+B2y+Cz+—

02、方向向量口，过点口参

3、数式方程口对称式（点向式）方程口两直线的夹角口，口,m m+n n+p p}2x2}2一,=COSQ=/+〃++〃；+；；；p-ylm P、L]JL4°=0rn m+nn+p p[2{2J旦=m np222直线与平面的夹角直线与它在平面上的投影的夹角,Am+Bn+Cp\sin cp=A2+B2+C2-L//YIO Am+Bn+Cp=0ABC______----------------_m np第九章多元函数微分法及其应用

（一）基本概念

1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集

2、多元函数口,图形，定义域

3、极限/岬/（%y）=A（丁,％））J y=

4、连续,、呵（羽/（%,%）（）x,y f（殉,％）/Ax,%-0/即/x,y=limX ooAx

5、偏导数/%,%+Ay-/%,%Ay

6、方向导数:=cos”立cos,其中巴，为/的方向角Sydl dx

7、梯度口,.则口

（二）全微分设口，则口

（三）性质函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:

1、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）

2、微分法1）定义口口复合函数求导.链式法则若2=/〃,v,u=〃%,v=vx,y,则dz dz du dz dv dz_dzdudzdv--------.••-|-.dx dudx dvdxdy dudy dvdy

（四）隐函数求导a两边求偏导，然后解方程（组），b公式法o

（五）应用

1、极值无条件极值求函数□的极值解方程组口求出所有驻点，对于每一个驻点口，令

①，，，若口，□，函数有极小值，

②若口，口，函数有极大值；

③若口，函数没有极值；AC—=0,

④若吕不定.2条件极值求函数口在条件□下的极值（）（）虱羽L x,y=f x,y+%）令:y--—Lagrange函数£=0T-0解方程组|）9（羽y）=

2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线口，则口上一点口（对应参数为口）处的X70二八为二Z一Z0切线方程为7伉）—y）-Z）（（）（（x«o）x—%o）+y«o）y—%+z/0）z—Z0法平面方程为）=2）曲面的切平面与法线曲面口，则口上一点口处的切平面方程为工（Xo，%，Zo）（x—Xo）+4（Xo，yo，Zo）（y—%）+工（%,yo，Zo）（z—z0）=0法线方程为口第十章重积分

（一）二重积分

1、定义JJ/（羽y）d b=J吧t/（短，7）八々D k=T

3、几何意义曲顶柱体的体积

4、计算1直角坐标X型区域口，,（）JJ7x,y dW=fd4fx,ydyDY型区域口，,）jf/（X,y dxdy=Jdy j；（）f x,ydxD1*交换积分次序（课后题）2）极坐标夕］（）〈夕夕（°）2a3pm，ydxdy d；；cos sin=『fp O.p6pdpD1二三重积分JJV（z）d z/（人图短

1、定义:A，“，装）以

2、性质计算直

3、角坐标1JJL fx,N zd八“严可y,zdz投影法“先一后二”/%y,zdxdy截面法“先二后一”2柱面坐标X=/9COS/9jjj^/x,;,zdv=jjj^/xcos6,y9sin6,zpdpd6dzy=psmO3）*球面坐标*x=/sin°cos gy=r sin0sin3r cosz—cp仇仇y,zd v=/rsin°cos sin°sin rcos/sin dJJJQfx.厂热厂村JJJQ三应用曲面□的面积rfi/°Z、2/°Z2i i4A=M+W第十一章曲线积分与曲面积分

（一）对弧长的曲线积分ny ds=i”W7©,%•△$,

1、定义£/羽」A-.Ll=\

2、性质Jo/x,y+y]ds=6£/,ydv+gx,y伏羽Z X山.11/yds=J/y+J/yds.2羽羽羽J LJ Lj£=£1+£.2/为曲线弧£的长度）J〃3）在□上，若口，则口

3、计算设□在曲线弧□上有定义且连续，□的参数方程为口，其中□在□上具有一阶连续导数，且口，则八帕a B1ds=,/羽wt]de2t+w2t dt,

（二）对坐标的曲线积分定义设L为□面内从A到B的一条有向光滑弧，函数口，□在L上有界，定义口,几ydy=MQ苍短k=\

1、向量形式口

2、性质dr=-£y•dr£_=尤,-Fx,用U表示L的反向弧，

3、计算设口在有向光滑弧口上有定义且连续，口的参数方程为,其中在上具有一阶连续导数，且，则=『Px,ydx+2X,yd y〃⑺〃「尸S«]«+QS,WQ W两类曲线积分之间的关系:dx+Qdy=j；Pcoso+Qcos/*设平面有向曲线弧为口，口上点口处的切向量的方向角为口，口，□,

（三）格林公式

1.格林公式设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数□在上具有连续一阶偏导数则有口,D

2、□为一个单连通区域，函数□在□上具有连续一阶偏导数，则dQ_dP_JPdx+Qdy今曲线积分在G内与路径无关dx dyL＞u Pdx+Qdy=0曲线积分§L）0（16yo（%丁川]+

（九）丁在内为某一个函数〃（羽的全微分

（四）对面积的曲面积分

1、定义设□为光滑曲面，函数□是定义在口上的一个有界函数，n）JIXz dS=limAS,定义i=\计算--------“一单值显函数、二投影、三代入”,，则（）（J1/x，y，z dS=J[f[x,y,z（x y）]y/1+z2x,y）+z2（x,y）dxd y9x yxy

（五）对坐标的曲面积分

1、预备知识曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量

2、定义设口为有向光滑曲面，函数□是定义在口上的有界函数，定义口建）（z dydz=Hrn AS,同理，民尸（乂乂£尸@,%,[.）九Z=1）力JL y,z dzdx=Hm,%,（羽£）（△$〃i=l

3、性质1）口，则Pdydz+Qdzch+R dxdy=JL Pdydz+Qd2dx+R dxdy+jjPdydz+Qdzdx+R dxdy，2Hdxdy=-JJjdxdy2）2一表示与2取相反侧的有向曲面,

4、计算:——“一投二代三定号”

5、，，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“+”，为下侧取“-两类曲面积分之间的关系Pdydz+Pcos a+Qcos/+Heos/d SQAzAx+Rdxdy=其中a.Be为有向曲面2在点（羽，z）处的法向量的方向角.

（六）高斯公式高斯公式设空间闭区域□由分片光滑的闭曲面□所围成，□的方向取外侧，函数□在口上有连续的一阶偏导数，则dP dQdR dx dy dzdxdydz=ft Pdydz+Qdzdx+RdxdydP dQdRdxdydz=PCOS6/+Qcos Reos/dS---------------------月尸+11^dxdydz有

1、*通量与散度*dP dQdR dxdy散度由以二dz通量向量场□通过曲面□指定侧的通量为口

（七）*斯托克斯公式*斯托克斯公式设光滑曲面S的边界G是分段光滑曲线，S的侧与G的正向符合右手法则，□在包含3在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数，则有M6R aeY口dp-d ydz+——dz Szdzdx+dxdy Pdx+Qdy+Hdzdx为便于记忆，斯托克斯公式还可写作:dydzdzdx dxdyda d=frPdx+Qdy+Rdzdx dzpR。