博弈论期末复习题

一、支付矩阵

1.试给出下述战略式表述博弈的纳什均衡BL R1,32,54,16,2解由划线解得知有一个纯战略均衡再看看它是否有混合战略均衡设以玩混合战略，则有均衡条件匕0=

1.7+21-乃=2-/匕0=

4.7+61—/=6—2,2-7=6-2/得，这是不可能的，故无混合战略均衡，只有这一个纯战略均衡

2.试将题一中的支付作一修改使其有混合战略均衡解由奇数定理，若使它先有两个纯战略均衡，则很可能就有另一个混合战略均衡L5,62,54,16,2将博弈改成上述模型，则5%+21-/=4/+61-/2+3/=6—27妻子选择时装、足球的期望收益相等，即

2.p+

0.l-p=

0.p+Ll-p,解得妻子选择时装、足球的概率分别为1/3,2/3当妻子以3/4,1/4的概率分布随机选择时装表演和足球，丈夫以1/3,2/3的概率随机选择时装表演和足球时，双方都无法通过单独改变策略，即单独改变随机选择纯策略的概率分布而提高利益，因此双方的上述概率分布的组合构成一个混合策略纳什均衡该混合策略纳什均衡给妻子和丈夫各自带来的期望收益分别为q.p.2+q.1-p.0+1-q.p.O+1-q.1-p.1=2/3;q.p.l+q.l-p.O+l-q.p.O+l-q.l-p.3=3/4双方的期望收益均小于纯策略时的期望收益某些静态贝叶斯博弈的例子

1.市场进入博弈一个完全垄断企业B正在垄断一个行业市场，另一个潜在的试图进入该行业的企业A,称A为进入者,B为在位者A不知道B的成本特征，设B有两种可能的成本，即高成本和低成本两种成本情况下的博弈矩阵如表6」表

6.1市场进入博弈低成本默认斗争默认斗争进入40,50-10,030,80-10,100不进入0,3000,3000,400高成本假定B知道进入者A的成本为高成本，且与B为高成本时的成本相同假若信息是完全的，则当B为高成本时，唯一的精炼纳什均衡为进入，默认，另一纳什均衡不进入，斗争是含有不可置信的威胁当B为低成本时，唯一的纳什均衡为不进入，斗争），即若A进入行业，具有低成本优势的B将通过降低价格将A逐出市场由于存在行业进入成本，所以A被逐出市场后将有净的10单位进入成本的损失当A不知道B的成本情况时，他的选择将依赖于他对B的成本类型的主观概率或先验概率密度设A对B是高成本的先验概率判断为，则A认为B为低成本的概率为如果A进入，其期望支付为（）（）（）尸40+1-尸—10如果1不进入，其期望支付为0当且仅当或时,A选择进入；反之，当时,A不进入于是，贝叶斯均衡为（进入，默认），高成本，；（进入，斗争），低成本，；（不进入,*）,其中*表示可以是斗争，也可以是默认2成本信息不对称的古诺博弈例

3.10给出的古诺博弈中，每个厂商的成本函数是共同知识这里，我们假设每个厂商的成本函数是私人信息，具体规定如下两个企业生产相同产品在同一市场上进行竞争性销售，市场需求函数为，，为产品价格,Q为市场需求量假设充分大时总有，企业的成本函数为，其中为企业的总成本，为其产量，为其平均成本,为常数且，故也是边际成本是企业的私人信息，企业不知道但认为在上呈均匀分布，，，且进一步假定在呈均匀分布是共同知识，，企业i的支付函数是其利润函数犯「肛=Pq ci（）=a-Q q-b qi ii因=%+%（故肛=a-q-q2M-2%[设静态贝叶斯均衡为，则由均衡战略的类型依存性有（）夕=/，，i=1,2于是兀；〃瓦如；=9-q4-qRh/—2i二鸟i的期望支付为］人马啊%=J£|Hj显然，由概率分布密度的归一化条件J Pbdbj=1Hj及在上呈均匀分布假设，有Pb jdbj=1Hj［］或e—d P%=l于是,即Pb=一阶条件du1i一e-d/+Q-/e-d-J分Z,dZ,-b,e-ddq e-dt Hja-b^e-d-iqjQi-

6.52e-d同样由对称性有2e-d

6.6在上式两端对0进行积分212-d-----------------j7,［为=-------------------2--------------

6.7在式

6.5两端对乙积分•J.J212e-a-J%

6.8将式（

6.7）代入式（

6.8）的右端,得e+da---------[Qi=-（e-d）J

36.9e+dci--------由对称性有/%•=J匕=------------2—代入式（

6.5）得e+da---------a—4e-d----------——e—d*3；Q=2dc…e+d2a—3bi-------C,e+d2a-3bj H-------------同理有w二---------------------e+d2a-3b]H于是得静态贝叶斯均衡为（当充分大时，和均为非负数当时,均衡利润，即成本较高的一方利润较低，产量较低当时，博弈退化成完全信息静态博弈的场合为了与例

3.26相比较，进一步设,,贝IJ；；q=q=!a-c这正好回到例

3.26的结果若假设，，，则,这与完全信息博弈均衡相同若假设，，则,此时每个厂商都误以为对方的成本较自己高的可能性大一些，从而过于自信地扩大产量相反，若假设，，则,此时每个厂商都误以为对方的成本较自己低的可能性大一些，从而过于谨慎地计划自己的产量寡头市场两个企业遵循古诺模型，企业成本企业成本a cl=20ql bf市场需c2=60q2,

1、求p=400-q⑴厂商1和厂商2的反应函数⑵均衡价格和厂商1和厂商2的均衡产o量3厂商1和厂商2的利润

1.profit1=q1*[400-q1+q2]-20q1profit2=q2*[400-q1+q2]-60q2分另怵偏导400-2q1-q2-20=0;400-2q2-q1-60=0反应函数q1=190-q2/2;q2=170-q1/22联立反应函数，解得q1=140q2=1003profit1=19600;profit2=10000同样，设的混合战略为，则6+1・1—夕=5夕+21—81+58=2+360=-2i4n于是混合战略均衡为1[22八55；

二、逆向归纳法1,用逆向归纳法的思路求解下述不完美信息博弈的子博弈精炼均衡设在1的第二个信息集上，1认为2选的概率为，则1选Z/的支付=5P+21—P=2+3P1选R的支付=6+31—=3+3尸＞2+32故1必选H给定1在第二个决策结上选，2在左边决策结上会选，故子博弈精炼均衡为{L,R,a,d}

四、两个厂商生产相同产品在市场上进行竞争性销售第1个厂商的成本函数为，其中为厂商1的产量第2个厂商的成本函数为，其中为厂商2的产量，为其常数边际成本两个厂商的固定成本都为零厂商2的边际成本是厂商2的“私人信息”，厂商1认为在上呈均匀分布设市场需求函数为，其中为价格，两个厂商都以其产量为纯战略，问纯战略贝叶斯均衡为何？解给定，厂商1的问题是式max\~%二4一0-纭-1/因厂商1不知道，故目标函数为.3/2max I4一名—%c-lq dei卜/・

22、=max34—q Iq cdc2%L J2_一阶条件「3/

2、3—2q—L qcdc—0231r3/2得d=---[%cA⑴222厂商2的问题是max4=P-c/=4-%-%一加2；=4-%-%%-q一阶条件4—c_%—2%=04-c-^2%⑹一代入式

（1）:3_J_r3/24-c-^=3/2cdc“22B34-q1if------------------------1—2248代入式2:/、3—c%©=-y若信息是完全的且，则古诺博弈均衡为，这说明信息不完全带来的高效率

2.完美信息动态博弈会用策略式表达、扩展式表达用方框找纳什均衡，用树找市场进入博弈的纳什均衡B（进入，进入进入■不进入,（不进入，进入,-3,-3-3,-31,01,0进入A0,10,00,10,0不进入子博弈精炼均衡讲理由，看例题该博弈中有三个纳什均衡:不进入，（进入，进入）进入，（不进入，进入）进入，（不进入，不进入）前两个均衡的结果（进入，不进入），即A进入，B不进入；第二个均衡结果是（不进入，进入），即A不进入,B进入如果理论得到这样的结果，无助于预测博弈参与人的行为此外，纳什均衡假定,每一个参与人选择的最优战略是在所有其他参与人的战略选择给定时的最优反应，即参与人并不考虑自己的选择对其他人选择的影响，因而纳什均衡很难说是动态博弈的合理解必须在多个纳什均衡中剔除不合理的均衡解，即所谓“不可置信威胁”子博弈精炼纳什均衡是对纳什均衡概念的最重要的改进它的目的是把动态博弈中的“合理纳什均衡”与“不合理纳什均衡”分开正如纳什均衡是完全信息静态博弈解的基本慨念一样，子博弈精炼纳什均衡是完全信息动态博弈解的基本概念

①｛不进入，（进入，进入）｝

②｛进入，（不进入，进入））

③｛进入，（不进入，不进入）｝前边得到的三个纳什均衡中，均衡

①意味着当A不进入时，B选择进入；而当A选择进入时,B仍选择进入（B威胁无论如何都要进入市场）显然，当A选择进入时，B仍选择进入是不合理的，如果A进入市场，B选择“不进入”比选择“进入”收益要更大，理性的B不会选择进入，而A知道B是理性的，因此也不会把该战略视为B会选择的战略因此，B的战略（进入，进入）是不可置信威胁

①｛不进入，（进入，进入）｝

②｛进入，（不进入，进入）｝

③｛进入，（不进入，不进入）｝均衡

③意味着当A进入时,B选择不进入；而当A选择不进入时,B仍选择进入（B威胁无论如何都不进入市场）显然，当A选择不进入时,B仍选择不进入是不合理的,B的战略是不可置信的只有均衡

②是合理的如果A进入,B不进入；如果A不进入,B进入因为A是先行动者，理性的A会选择“进入”他知道B是理性的，B不会选择“进入”,而理性的B选择“不进入”观察博弈树上的三个均衡中，B的不可置信战略中的反应，在第二阶段B开始行动的两个子博弈中不是最优；而合理的纳什均衡中,B的战略在所有子博弈中都是最优的,与A的第一阶段可能选择的行动构成该子博弈的纳什均衡

五、试给出下述信号博弈的纯战略均衡中的混同均衡和分离均衡解有四种可能混同均衡，分离均衡，设wm为接收者看见m.时认为发送者是乙的后验概率看—根］,12Tmi则，非均衡路径上当接收者看见，选的支付为

0.5x2+

0.5xl=

1.5选生的支付为5x8+05x7=

7.

51.5故选a o2当接收者看见，选的支付为umx1+1-umx5=5-4wm222选2的支付为2x7+1-umx3=3+4um22当选，接收者会选，得支付10,要求不选，对无要求，因总会选当选，接收者会选，得支付3,要求不选是不可能的，因选是占优于选的，故此混同均衡，不存在再看混同均衡，此时为非均衡路径上的后验概率，wm=

0.52当接收者看见，选的支付为

0.5xl+

0.5x5=3选2的支付为

0.5x7+

0.5x3=53故接收者必选2当接收者看见时，选的支付为um-2+1-um-1=1+mJx x选出的支付为u{m-8+1-u{m-7=7+1+u{m xx{故必选出°这样，无论发送者发出或信号，接收者总选，二给定接收者总是选2会选，会选故，不是混同均衡看分离均衡，接收者看见时，必选接收者看见时，必选此时，选，选故，是一个分离均衡最后看分离均衡，接收者看见时，必选接收者看见时，必选=＞给定接收者总选〃29故，不是分离均衡故只有一个纯战略子博弈精炼分离均衡t Tm｛x鹰-鸽（Hawk-Dove）博弈⑴参与人争食的两只动物-动物1和动物2动物1和动物2的行动空间都是一样的，即:Ai=｛鹰，鸽｝i=l,2支付矩阵如下⑵此博弈属于完全信息静态博弈，根据奇数定理知道共有三个纳什均衡，两个纯策略纳什均衡和一个混合策略纳什均衡两个纯策略纳什均衡是（鹰，鸽）和（鸽，鹰）混合策略纳什均衡是动物1和动物2分别以50%的概率随机地选择鹰（象鹰一样行动）或者鸽（象鸽一样行动）纯策略纳什均衡可以用划线法或箭头法求解混合策略纳什均衡则可根据无差异原则求解概率分布，即首先，动物1应该以q的概率选择鹰，以1-q的概率选择鸽，使得动物2在鹰或者鸽之间无差异，那么可得q*:由4（l-q）=q+3（l-q）得q*=50%；其次，动物2应该以a的概率选择鹰，以1-a的概率选择鸽，使得动物1在鹰或者鸽之间无差异，那么可得a*:由4l-a=a+3l-a得a*=50%⑶此博弈实际就是一个斗鸡博弈，在现实生活许多现象都与此类似，如市场进入、前苏联与美国在世界各地争抢地盘等

七、狩猎博弈此博弈同样是一个完全信息静态博弈，参与人是两个猎人，他们的行动是选择猎鹿或者猎兔支付矩阵如下根据划线或箭头法我们可以很容易地知道此博弈有两个纯策略纳什均衡，即鹿，鹿和兔，兔，也就是两个猎人同时猎鹿或同时猎兔都是纯策略纳什均衡由于存在两个纯策略纳什均衡，现实中究竟哪个均衡会出现就是一个问题，这是多重纳什均衡下的困境但是，比较两个纳什均衡，很容易发现两人都猎鹿帕累托优于两人都猎兔，所以，对两个猎人而言，都猎鹿是一个“更好”的纳什均衡，因此，在现实中两个人都决定猎鹿的可能性要更大一些然而，正如卢梭所言，如果一只野兔碰巧经过他们中的一个人附近，那么也许这个人会去猎兔而使猎鹿失败，因为两个人都猎兔也是一个纳什均衡，这就是人的自私性此外，在多个纳什均衡下，博弈之外的其他因素有助于我们判断哪个均衡会出现比如,两个猎人是好朋友，经常合作，那么我们几乎可以100%的肯定他们都会同时选择猎鹿如果他们是仇敌，那么我们可以肯定他们不会合作猎鹿，因此他们都会选择各自猎兔来源:考试大-考博考试不完全信息夫妻博弈混合策略均衡案例性别战给定妻子分别以q,l-q的概率选择时装、足球，则丈夫选择时装、足球的期望收益P相等，即l.q+

0.l-q=

0.q+

3.l-q,解得妻子选择时装、足球夫时装足球的概率分别为3/4,1/4q时装2,100给定丈夫分别以P，l-P的概率选择时装、足球，则1-q足球003-。