概率与统计初步专题复习课件合集

概率与统计初步专题复习本课程将回顾概率和统计的基本概念，并深入探讨一些重要主题，例如随机变量、概率分布、假设检验和置信区间集合论概念复习集合元素集合的表示方法集合之间的关系集合是数学中一个基本的概念，它是指由一集合通常用大括号来表示，集合中包含的元集合之间可以有包含、相等、交集、并集、些确定的、可以区分的、并能被我们理解的素用逗号隔开，每个元素只能出现一次补集等关系物体组成的整体集合运算及其性质并集交集两个集合的并集包含所有属于这两个集合的交集包含所有同时属两个集合中的元素于这两个集合的元素差集补集一个集合与另一个集合的差集包一个集合的补集包含所有不属于含所有属于第一个集合但不属于这个集合的元素第二个集合的元素事件的概念及其运算事件的概念事件的运算事件是样本空间中的子集它代表随机试事件之间可以进行运算，例如并集、交集验中可能发生的结果例如，抛硬币的结和补集事件的并集代表所有事件中至少果可以是正面或反面，这两种结果都属于包含一个事件的结果事件的交集代表所样本空间事件则是样本空间的子集，例有事件中同时包含所有事件的结果事件如事件“出现正面”就包含了样本空间中的的补集代表样本空间中不包含该事件的结正面结果果古典概型及其概率计算定义1所有基本事件等可能计算公式2事件发生概率应用3掷骰子，抽签古典概型是一种简单且常用的概率模型，它基于所有基本事件等可能发生的假设这种模型在计算事件发生的概率时，直接利用事件包含的基本事件数量与总基本事件数量的比值几何概型及其概率计算几何概型定义1几何概型是指在连续型随机事件中，事件发生的概率等于该事件所对应的几何区域的面积（或长度、体积）与整个样本空间所对应的几何区域的面积（或长度、体积）之比几何概型应用2几何概型在现实生活中有着广泛的应用，例如，计算针落到棋盘上的概率，计算随机投点落入圆形区域内的概率等几何概型计算3计算几何概型的概率需要首先确定样本空间和事件，然后计算对应几何区域的面积（或长度、体积），最后根据定义求出概率条件概率及其性质条件概率表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率条件概率公式PA|B=PAB/PB，其中PB不为0条件概率具有以下性质PA|B≥0，PS|B=1，PA∪B|C=PA|C+PB|C-PAB|C独立事件及其判定定义判断方法12两个事件A、B，如果事件A的PAB=PAPB或发生与否不影响事件B发生的PB|A=PB概率，则称A与B为相互独立事件举例说明应用34抛硬币两次，两次正面朝上的独立事件的概念在许多应用中事件互相独立非常有用，例如在质量控制和风险管理中贝叶斯公式及其应用贝叶斯公式医疗诊断垃圾邮件过滤贝叶斯公式用于计算事件发生的条件概率贝叶斯公式可用于诊断疾病贝叶斯公式用于识别垃圾邮件根据患者症状和先验信息计算患病概率通过分析邮件内容和发送者信息，判断邮件通过已知信息更新先验概率是否为垃圾邮件随机变量及其分布随机变量分布函数随机变量是随机现象的数值表现形描述随机变量取值的概率规律式，它表示随机事件的结果分布类型数学期望根据随机变量取值的性质，分为离散反映随机变量的平均值型和连续型离散型随机变量及其分布伯努利分布二项分布泊松分布几何分布伯努利分布描述了随机事件只二项分布描述了在固定次数的泊松分布描述了在一定时间或几何分布描述了在独立试验有两种结果，例如抛硬币的结试验中，事件发生的次数空间内，事件发生的次数中，直到事件首次发生所需的果试验次数它由单个参数控制，表示事件它由两个参数控制，分别表示它由一个参数控制，表示事件它由一个参数控制，表示事件发生的概率试验次数和事件发生的概率发生的平均次数发生的概率连续型随机变量及其分布定义常见分布性质连续型随机变量是指其取值可以在某个常见的连续型随机变量分布包括正态分连续型随机变量的概率分布具有连续区间内连续变化的随机变量，可以用概布、指数分布、均匀分布等，它们在不性、可加性等性质，这些性质可以用于率密度函数来描述其概率分布同的应用场景中有着重要的作用推导和计算相关的统计量概率密度函数及其性质定义性质12连续型随机变量取值的概率可概率密度函数曲线下方的总面以用概率密度函数来描述,它是积为1,且函数值永远大于或等一个非负函数,其曲线下的面积于0,且函数曲线下的面积代表代表了随机变量取值落在某个了随机变量取值落在某个范围范围内的概率内的概率.应用3概率密度函数可以帮助我们计算连续型随机变量取值的概率,以及分析随机变量的各种统计特性,如期望和方差.数学期望及其性质定义性质数学期望是随机变量取值的平均值期望的线性性EaX+bY=aEX+bEY期望值反映了随机变量取值的平均趋势期望的单调性若X≤Y，则EX≤EY方差及其性质定义计算

1.

2.12方差衡量数据分布的离散程计算方差需要先求取数据的平度，反映数据点偏离平均值的均值，然后计算每个数据点与程度平均值的差的平方，最后求平均性质应用

3.

4.34方差永远是非负的，且方差越方差广泛应用于数据分析、机大，数据分布越分散器学习和统计推断中，例如评估模型的预测能力常见分布及其性质二项分布泊松分布n次独立重复试验中，每次试验只描述在一定时间或空间内事件发有两种可能的结果，成功或失生的次数比如，在一个小时败二项分布描述了n次试验中成内，电话呼叫的次数功的次数正态分布均匀分布自然界中许多现象都符合正态分在特定区间内，每个值出现的概布，如人的身高、体重，产品的率都相等比如，一个随机数生尺寸等成器在0到1之间生成随机数正态分布及其应用正态分布曲线数据分析应用质量控制正态分布的图形呈钟形，两端对称，中间最正态分布广泛应用于数据分析中，例如预测正态分布可用于评估生产过程的质量，识别高，两端逐渐下降股价、身高体重分布等异常情况并制定改进措施抽样与抽样分布样本的选择从总体中选择一部分样本，要保证样本的代表性，反映总体的特征样本统计量的计算根据样本数据，计算样本均值、样本方差等样本统计量，反映样本的特征抽样分布的推断基于样本统计量，推断总体的分布情况，并进行统计推断中心极限定理当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布，即使总体分布不为正态分布点估计与区间估计点估计区间估计置信区间利用样本统计量估计总体参数根据样本信息构造一个区间，该区间包含总包含总体参数的概率水平，即置信水平体参数的概率很高假设检验基本概念基本概念原假设假设检验用于检验关于总体参数待检验的假设，通常表示为总体的假设是否成立，基于样本数据参数的某个特定值或范围做出判断备择假设检验统计量与原假设相反的假设，通常表示根据样本数据计算的统计量，用为总体参数与原假设不同于衡量样本数据与原假设的偏离程度单样本均值检验建立假设1设定原假设和备择假设选择检验统计量2根据样本数据类型和假设检验类型选择合适的统计量计算检验统计量3根据样本数据计算检验统计量的值确定拒绝域4根据显著性水平确定拒绝域，即拒绝原假设的区域得出结论5根据检验统计量的值是否落在拒绝域内判断是否拒绝原假设单样本均值检验用于检验一个样本的均值是否与已知总体均值相等，或与一个预设的均值相等双样本均值比较检验检验假设1建立原假设和备择假设选择检验统计量2根据样本数据类型选择合适的检验统计量计算检验统计量3计算检验统计量的值确定值p4根据检验统计量和自由度计算p值做出结论5根据p值与显著性水平做出决策双样本均值比较检验用于比较两个独立样本的均值是否相同方差检验方差检验概述方差检验是用来比较两个或多个总体方差是否相等的一种假设检验方法，它在统计学中有着重要的应用假设检验步骤方差检验通常包括以下步骤建立假设，选择检验统计量，确定检验的临界值，进行决策检验FF检验是一种常用的方差检验方法，它基于样本方差的比值来判断总体方差是否相等应用场景方差检验广泛应用于各种科学研究和数据分析领域，例如比较不同处理方法的有效性或不同群体之间的差异均值和比例检验均值检验1比较样本均值与已知总体均值之间是否有显著差异，或比较两个样本均值之间是否有显著差异比例检验2检验样本比例与已知总体比例之间是否有显著差异，或比较两个样本比例之间是否有显著差异应用场景3•产品质量控制•市场调查•医学研究回归分析基本原理数据依赖关系变量类型

1.

2.12回归分析用于研究两个或多个其中一个变量是自变量，另一变量之间关系的统计方法个变量是因变量预测模型模型评估

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4.34通过回归方程建立自变量和因评估回归模型的预测能力，例变量之间的关系模型如，R平方值和误差项分析相关分析基本原理相关性相关性是指两个变量之间线性关系的程度散点图散点图可用于直观观察两个变量之间的关系相关系数相关系数用来度量两个变量线性相关程度假设检验的概率误差误差（弃真误）误差（取伪误）检验效能（）αβ1-β当原假设实际上为真时，我们却错误地拒绝当原假设实际上为假时，我们却错误地接受当原假设为假时，我们正确拒绝它的概率了它概率为α了它概率为β检验效能越高，检验越有效参数估计的区间估计区间估计定义区间估计步骤区间估计是利用样本数据来估计总体参数的真实值范围.首先，需要确定置信水平，即对区间估计结果的信心程度.给定一个置信水平，构造出一个包含总体参数的区间，该区间称然后，根据样本数据计算出置信区间，并给出置信区间的上下界.为置信区间.多重比较问题多重比较问题控制误差应用场景在进行多个总体均值或比例的比较时，需要常用的方法包括Bonferroni校正、多重比较问题在药物临床试验、生物医学研考虑多个假设检验的误差累积问题Tukeys HSD检验和Scheffé检验等，以控究、市场调查等领域有广泛的应用制总体比较的误差率总结与展望概率与统计数据科学未来展望概率与统计是重要的数学分支，在各领域应数据科学融合统计、计算、领域知识，在现统计方法不断发展，人工智能、大数据等领用广泛代社会发挥着重要作用域将继续推动统计学进步问题讨论与补充在本节中，我们将深入探讨课程中的一些关键问题，并补充一些重要的概念和应用例如，我们可以讨论在实际应用中如何选择合适的统计方法，以及如何解释统计结果我们还可以探讨一些统计学中的前沿研究，例如大数据分析和机器学习。