《函数极限的判定》课件

函数极限的判定了解函数极限的性质和判定方法,掌握函数极限的计算技巧,为后续课程奠定扎实的基础课程目标掌握函数极限的概念和性质掌握求解极限的技巧了解函数极限的定义和判定方法,熟悉学习利用单侧极限、夹逼定理、洛必常见极限形式的计算达法则等方法求解复杂极限熟练运用重要极限公式理解函数极限的应用掌握函数极限计算中的常用公式和运学习函数极限在连续性、可导性以及算性质,提高计算效率泰勒展开等方面的应用极限概念复习极限的定义极限的符号表示极限的性质123极限描述了一个函数在某个点附近的使用极限符号lim来表示极限的概极限具有唯一性、有界性、保号性等趋向性它表示函数值在该点附近无念，并结合自变量和函数值来描述极性质,为后续的极限计算和应用奠定限接近某个特定值限的存在基础极限的性质连续性运算性质保号性质如果一个函数在某点极限存在,则该函数在极限存在时,可以进行加减乘除等基本运算,如果一个函数的极限大于0小于0，那么该点必定连续反之,连续函数的极限一定满足诸如加、减、乘、除等极限运算性质在极限点的某个邻域内,该函数取正负值存在常见极限型式代数型式三角型式包括有理式、根式和分式等代数涉及到三角函数、反三角函数等函数的极限运算三角函数的极限计算指数型式无穷型式与指数和对数函数相关的极限形处理1/x、sin1/x等含有无穷大式，如a^x、e^x等的极限或无穷小的极限单侧极限的性质左侧极限右侧极限单侧极限存在的条件单侧极限的性质当自变量x从左侧无限逼近某当自变量x从右侧无限逼近某如果左侧极限和右侧极限都存单侧极限具有极限的基本性质一定值a时，函数y=fx的极一定值a时，函数y=fx的极在且相等，则原函数在该点处,如四则运算性质、夹逼定理限称为左侧极限左侧极限常限称为右侧极限右侧极限常的极限存在否则极限不存在等,可用于计算函数的单侧极用符号limx→a-fx表示用符号limx→a+fx表示限利用单侧极限计算极限定义单侧极限1对于函数fx在点x=a的一侧左侧或右侧的极限分析函数性质2观察函数在x=a附近的趋势和变化规律利用单侧极限3根据函数性质选择合适的单侧极限进行计算当函数fx在点x=a存在单侧极限但不存在双侧极限时,可以利用单侧极限的性质进行计算通过分析函数在x=a附近的趋势和变化规律,选择合适的单侧极限进行计算,从而得到函数在该点的极限值夹逼定理单侧夹逼双侧夹逼12如果函数fx和gx满足a如果函数fx、gx和hx满足a应用举例注意事项34通过构造合适的上下函数，可夹逼定理要求被夹函数的极限以利用夹逼定理求出一些复杂都存在，所以无法解决形式上极限的值无法求得的极限洛必达法则定义原理应用注意事项洛必达法则是一种计算函数极该法则指出，当函数fx和洛必达法则在求解不确定形式使用洛必达法则时需要注意函限的重要方法在某些特殊形gx都在某点x0附近可导，的极限问题时非常有用它能数fx和gx在极限点处可导式的极限中，如0/0或∞/∞等且lim fx=0,lim gx=简化复杂的极限计算过程，提的条件，以及级数收敛性问题不确定形式，可以通过应用洛0或lim fx=∞,lim gx=高求极限的成功率必达法则求得极限∞时，则有:lim[fx/gx]=lim[fx/gx]泰勒展开及其应用泰勒多项式1对函数进行局部逼近的多项式表达泰勒展开式2利用导数求得的泰勒多项式应用领域3在数学分析、工程计算中广泛应用泰勒展开式是一种强大的数学工具,可以将复杂的函数用简单的多项式来逼近通过计算函数在某点的导数,我们可以得到一个局部逼近多项式,该多项式可用于近似计算、数值分析等应用泰勒展开在数学分析、工程计算等领域都有广泛应用函数极限存在的充要条件连续性函数在某点连续是极限存在的充分条件连续函数在该点必然存在极限单调性单调递增或递减的函数必然存在极限，这是极限存在的另一个重要条件振动性函数在某点无振动性是极限存在的必要条件如果函数在该点有振动，则极限不存在重要极限公式1极限公式名称极限公式适用条件指数函数极限lim a^x-1/x=当x→0时ln a对数函数极限lim ln1+x/x当x→0时=1三角函数极限lim sinx/x=1当x→0时重要极限公式2无穷小的比较阶数比较无穷小的等价关系将无穷小按照阶数大小进行排序如果两个无穷小的比值趋向于有和比较,可以判断它们相对大小的限常数,则它们是等价的等价无关系阶数越小的无穷小越接近穷小可以相互替换使用于0无穷小的主导项无穷小的快慢比较对于由多项式组成的无穷小,最高可以通过比较无穷小的增长速度次幂项通常是主导项,决定了无穷来判断它们的大小关系,增长速度小的阶数越快的无穷小越大无穷小的性质无穷小的相对性无穷小的比较无穷小的应用无穷小是与某个常量或无穷大相比而言的可以使用等价无穷小来比较不同无穷小量的无穷小的性质广泛应用于微积分、级数、极一个无穷小量可能对某个量而言很小,但对大小关系等价无穷小具有相同的阶数或增限计算等数学领域,为复杂的数学问题提供另一个量而言可能很大长速度了有效的分析工具换元法求极限选择合适的换元函数根据函数表达式的形式选择一个合适的换元函数，以化简表达式，使其更容易求解进行换元将原函数带入选择的换元函数中，得到一个新的函数表达式计算新函数的极限利用已掌握的极限计算方法，求出新函数的极限返回原函数的极限根据换元过程倒推回原函数的极限值待定系数法求极限识别特殊型式1通过分析函数表达式,识别出一些常见的具有已知极限值的特殊型式试猜极限值2猜测出可能的极限值,然后通过待定系数法进行求证应用待定系数法3利用已知的极限性质和公式,代入猜测的极限值进行推导和验证初等函数极限计算技巧分离变量法换元法12将复杂函数拆分成更简单的形选择合适的换元,将复杂表达式式,分别计算每个部分的极限转化为更容易计算的形式待定系数法洛必达法则34尝试给未知系数赋予合适的值,当函数出现0/0或∞/∞的情况使表达式更易于计算极限时,可以求导后再计算极限无穷大的比较无穷大的概念无穷大的大小比较无穷大的极限性质无穷大是一个相对概念,表示某个量远远大我们可以通过比较无穷大的行为方式来确定无穷大具有一些特殊的极限性质,如无穷大于可比的量它也可以用于描述一个函数趋它们的相对大小,例如极限运算、导数运算与有限量的无穷大、无穷大与有限量的比、向于无穷大的情况等无穷大与无穷大的比等极限运算性质极限的四则运算极限的恒等性质若lim fx=A,lim gx=B,则lim[fx±gx]=A±B,若lim fx=A,且fx≡gx,则lim gx=A,即等价函数具有相同lim[fx·gx]=A·B,lim[fx/gx]=A/BB≠0的极限极限的夹逼定理极限的连续性和可导性如果对某x0的邻域内有ax≤fx≤bx,且lim ax=lim极限存在的充分必要条件是函数的连续性,而可导性要求更强的连续bx=A,则lim fx=A性条件极限存在的必要条件一致收敛性单调性有界性连续性极限存在的必要条件是函数在函数必须在给定区间内保持单函数的取值必须在某个范围内虽然极限存在并不等同于函数给定区间内必须一致收敛即调性,才能保证极限存在如有界,才能保证极限存在如连续,但是函数如果在给定区使某点处存在极限,如果函数果函数在区间内有振荡,则极果函数的取值无限增大或减小间内处处连续,则极限一定存不是一致收敛的,则整个区间限不一定存在,则极限不存在在上的极限也不存在极限存在的充分条件函数连续单调有界如果函数在点x0处连续,那么极限存在如果函数在某个区间内是单调的且有并等于函数在x0处的值界,那么极限一定存在可积可导如果函数在某个区间内可积,那么其在如果函数在某点可导,那么其在该点的该区间内的极限一定存在极限一定存在形式上无法求得的极限各种特殊情况应用洛必达法则使用泰勒展开有些极限在形式上难以通过已掌握的方法直对于形式上难以求得的极限,我们可以利用有时,通过将函数展开为泰勒级数,再利用重接求解,需要运用更深层的数学理论和技巧洛必达法则,通过计算导数的极限来求得原要极限公式,也可以解决一些形式上难以求这些形式上无法求得的极限涉及各种特殊函数的极限这是一种行之有效的技巧得的极限问题这样可以转化为更简单的问情况,如0/

0、∞/∞、∞-∞等题间断点和跳跃间断的判定无穷间断点跳跃间断判定方法123当函数在某点无法定义时，该点称为函数在某点处存在左右极限，但它们可以通过计算左极限和右极限是否相无穷间断点这种间断属于第一类间不相等时，称该点为跳跃间断这种等来判断一个点是否为间断点，并进断间断属于第二类间断一步确定其间断类型间断点和跳跃间断的性质稳定间断震荡间断可去间断函数在间断点处左右极限存在且不相等,函数在间断点处左右极限均不存在,称为函数在间断点处虽然左右极限不相等,但称为稳定间断该类间断点具有跳跃震荡间断函数在该点附近剧烈波动通过适当修改函数值,可以使其连续性质分段函数极限的求法识别分段1明确分段点及函数定义域上的各个片段分段处理2分别计算每个片段的极限合并结果3将各片段的极限值综合起来分段函数极限的求解步骤包括首先准确识别函数的分段结构,明确分段点以及各个片段的定义域;然后针对每个片段分别计算极限值;最后将各片段的极限值综合起来,得到整个分段函数的极限结果关键在于充分理解分段函数的结构特点,采取合适的极限计算方法极限存在准则的应用夹逼定理1证明极限存在的强大工具洛必达法则2化简复杂极限形式定量判断3保证极限存在及其值在函数极限计算中,我们常常依赖于一些准则来判断极限是否存在及其数值其中,最为常用的就是夹逼定理和洛必达法则夹逼定理可以通过构造夹逼序列来证明极限的存在,而洛必达法则则可以将复杂的极限形式简化为更易计算的形式除此之外,我们还可以通过定量分析的方法,严格地判断极限是否存在及其具体数值这些准则为我们提供了强有力的工具,助力我们更好地掌握函数极限的理论与应用连续性与可导性的关系连续性可导性关系连续函数在其定义域内任何点处都是连续的可导函数在其定义域内都存在导数导数反连续性是可导性的必要条件但不是充分条它能够在定义域内无缝衔接映了函数在某点的瞬时变化率件-某些连续函数仍然不可导结论与思考重要结论启示与思考通过前面的探讨,我们得出了函数极限存在的充分必要条件,以及涉函数极限理论的应用广泛,在数学分析、工程技术等领域都有重要及极限概念的各种性质和运算规则这些为我们计算复杂函数的意义我们需要不断思考如何更好地运用这些理论,推动相关领域极限提供了重要依据的发展本章小结复习关键概念回顾本章涉及的重要概念,如函数极限、单侧极限、夹逼定理、洛必达法则等确保对这些基础知识有深入的理解练习习题巩固通过大量习题练习,熟悉各种计算极限的方法和技巧,提高解题能力应用实践延伸探讨函数极限在实际问题中的应用,如导数计算、曲线描绘等,加深对理论知识的理解本章习题复习重点综合应用思考提升错题分析回顾本章涉及的函数极限的判尝试结合实际问题,综合运用针对一些特殊情况下的极限计仔细分析习题中出现的常见错定方法,如洛必达法则、夹逼本章所学的知识和技能,分析算,思考如何创新应用之前学误,找出问题症结,进一步加深定理等,掌握其适用条件和计并判断函数极限的存在性和具到的方法,提高解决问题的能对函数极限概念和性质的理解算技巧体值力。