离散型随机变量课件

离散型随机变量离散型随机变量是一个随机变量，其取值只能是有限个值或可数个值例如，硬币抛掷的结果，可以是正面或反面，这只有两个可能的值随机变量的概念随机变量是一个数值变量，其值取决于随机事件的结果它可以随机变量通常用大写字母表示，例如，，随机变量的值用小X YZ表示一个可量化的结果，例如掷骰子的结果，或一个事件发生的写字母表示，例如，，x yz可能性，例如在特定时间内某网站的访问量随机变量的具体值取决于随机事件的结果，它可以是确定的，也随机变量可以是离散的或连续的，取决于它可以取值的范围离可以是不确定的因此，随机变量的值可以是一个确定的数字，散随机变量可以取有限个值或可数个值，例如掷骰子的结果，可也可以是一个范围内的数字以取到之间整数连续随机变量可以取任何值，例如人的身高16离散型随机变量的定义有限个值可数个值离散型随机变量的值可以被列举出来，并且数量是有限的例如，离散型随机变量的值也可以是可数的，这意味着它们可以与自然数一个骰子可以掷出到点，因此随机变量的值是有限的六个值一一对应例如，掷硬币直到出现正面，随机变量可以取值为、

1612、，是一个可数的无限集合

3...离散型随机变量的例子离散型随机变量在现实生活中有很多例子，比如一个硬币抛掷六次，正面出现的次数•一小时内经过某个路口的汽车数量•一个公司在一个月内收到的投诉数量•离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布是指该随机变量取不同值的概率概率分布描述了随机变量取每个值的概率离散型随机变量的概率分布可以用表格、公式或图形表示离散型随机变量的概率质量函数概率质量函数定义离散型随机变量的概率质量函数定义为对于每个可能取值PMF x用于描述每个可能取值的概，其概率质量函数为，表PMF PX=x率它将随机变量的每个取值映示随机变量取值为的概率X x射到其相应的概率性质重要性的总和为，并且每个取值的是理解离散型随机变量行为PMF1PMF概率都非负的关键工具，因为它提供了每个取值的概率信息离散型随机变量的概率分布图离散型随机变量的概率分布图可以直观地展示每个取值的概率大小例如，掷骰子得到每个点数的概率可以用柱状图表示柱状图的横轴表示随机变量的取值，纵轴表示每个取值的概率柱状图的面积代表每个取值的概率所有柱状图的面积之和为1伯努利分布定义概率

1.

2.12伯努利分布描述了一个随机事成功概率用表示，失败概率p件只有两种可能结果，通常被用表示，其中是一个介1-p p称为成功和失败于和之间的数值01例子应用

3.

4.34抛硬币，正面朝上是成功，反伯努利分布是许多其他离散型面朝上是失败；抽取一张扑克随机变量分布的基础，例如二牌，抽到红桃是成功，抽到其项分布和泊松分布他花色是失败二项分布定义公式二项分布是指在次独立试验中，每次试二项分布的概率质量函数为n PX=k=验只有两种可能的结果，称为成功和失败，其中表Cn,k*p^k*1-p^n-k Cn,k，且每次试验成功的概率是相同的，则示从次试验中选出次成功的方案数p nn k次试验中成功的次数服从二项分布X泊松分布定义泊松分布描述在给定时间段或空间内，事件发生的概率，事件发生是独立的，且平均发生率是已知的公式泊松分布的概率质量函数为，其中是单位时间或空间内事件的平均发生率PX=k=λ^k*e^-λ/k!λ应用泊松分布广泛应用于各种领域，例如，电话呼叫中心、医院急诊室、交通流量等二项分布与泊松分布区别1二项分布描述的是在固定次数的试验中，成功次数的概率分布泊松分布描述的是在固定时间或空间内，事件发生的次数的概率分布应用2二项分布常用于分析有限次试验的结果，例如掷硬币实验或抽样调查泊松分布常用于分析稀有事件，例如一段时间内发生的交通事故或某个区域内的客户电话数量联系3当试验次数无限增大，单次试验的成功概率无限减小时，二项分布近似于泊松分布几何分布定义例子几何分布是离散型概率分布，描述了在独立的伯努利试验序列中，例如，在一个抛硬币的游戏中，我们想知道连续抛出多少次正面才第一次成功之前发生的失败次数能得到第一次反面，这就可以用几何分布来描述参数应用几何分布只有一个参数，即成功的概率它描述了每次试验中成几何分布广泛应用于可靠性分析、质量控制和风险管理等领域p功的可能性负二项分布独立试验概率固定

1.

2.12每一次试验都是独立的，相互每次试验中成功的概率保持不之间没有影响变固定次数随机变量

3.

4.34直到获得指定次数的成功时停记录直到获得指定次数成功所止试验需的试验次数离散型随机变量的累积分布函数累积分布函数离散型随机变量的累积分布函数应用累积分布函数表示随机变量小于或等于某个对于离散型随机变量，累积分布函数是一个累积分布函数在概率论和统计学中有广泛的值的概率它是一个单调递增函数，从到阶梯函数在每个可能的取值点上跳跃，跳应用，可以用于计算概率、期望和方差等01跃的大小等于该取值的概率离散型随机变量的期望和方差期望值表示随机变量的平均值反映随机变量的中心位置方差表示随机变量的离散程度反映随机变量的波动程度期望和方差可以通过公式计算公式包含随机变量的概率和取值期望的性质线性性常数12期望运算符是线性的，可以将常数的期望等于常数本身期望值从加减运算中分离出来非负性单调性34如果随机变量是非负的，则其如果随机变量总是小于或等X期望值也是非负的于随机变量，则期望值Y E[X]也小于或等于期望值E[Y]方差的性质方差的非负性方差的线性性质方差的独立性方差始终为非负数这意味着方差永远不会对于随机变量和常数，如果随机变量和相互独立，那么X cvarcX=X YvarX是负数c2varX+Y=varX+varY离散型随机变量的期望和方差的计算期望期望是离散型随机变量所有取值的加权平均值，权重为每个取值对应的概率公式EX=Σxi*PX=xi，其中xi表示随机变量的取值，PX=xi表示xi对应的概率方差方差是离散型随机变量取值与其期望值之差的平方的加权平均值，权重为每个取值对应的概率公式VarX=E[X-EX^2]=Σ[xi-EX^2*PX=xi]计算使用公式计算期望和方差，需要先确定随机变量的取值和对应的概率指示随机变量定义例子指示随机变量是一个只取值为例如，如果我们抛一枚硬币，我0或的随机变量它通常用来表们可以用一个指示随机变量来表1示某个事件是否发生示正面朝上的事件应用指示随机变量在统计学和概率论中有着广泛的应用，例如计算期望和方差，以及推导各种分布离散型随机变量的函数函数定义分布推导当一个随机变量是离散型随机变量时，我们可以根据的概率质量函数和的X Xgx任何一个定义在取值范围上的函数表达式推导出的概率质量函数X Y=Y也是一个离散型随机变量gX离散型随机变量的和独立随机变量1两个随机变量独立和的期望2期望的和和的方差3方差的和当两个随机变量相互独立时，它们的和的期望等于各自期望的和同样地，它们的和的方差等于各自方差的和离散型随机变量的乘积独立性1如果两个随机变量是独立的，它们的乘积的期望等于它们期望的乘积相关性2如果两个随机变量是相关的，它们的乘积的期望不等于它们期望的乘积协方差3协方差是衡量两个随机变量线性相关程度的指标离散型随机变量的乘积是一个新的随机变量，其取值为两个随机变量取值的乘积我们可以通过计算乘积的期望和方差来了解两个随机变量之间的关系离散型随机变量的最大值和最小值最大值1所有可能取值的最高值最小值2所有可能取值的最低值计算3根据概率质量函数确定离散型随机变量的最大值和最小值是其取值范围的边界最大值是所有可能取值的最高值，最小值是所有可能取值的最低值我们可以通过检查概率质量函数来确定离散型随机变量的最大值和最小值大数定律独立同分布样本均值集中趋势大数定律适用于多个相互独立且同分布的随随着样本数量的增加，样本均值会越来越接大数定律表明随机事件的平均结果会趋向于机变量近总体均值其期望值，并减少了随机性的影响中心极限定理随机变量之和正态分布样本均值中心极限定理表明，多个独立同分布随机变无论原始随机变量的分布如何，其和的分布中心极限定理在统计推断中至关重要，例如量的和近似于正态分布趋向于正态分布估计总体参数总结理解离散型随机变量掌握常见分布离散型随机变量用于描述可数的我们学习了伯努利分布、二项分有限或无限事件它们在概率和布、泊松分布、几何分布、负二统计学中起着重要作用，广泛应项分布等重要离散型随机变量分用于各种领域布应用期望和方差理解大数定律和中心极限定理期望和方差是描述离散型随机变量的重要指标，它们可以帮助我大数定律和中心极限定理是概率们理解随机变量的平均值和方差论中的重要定理，它们可以帮助我们理解随机变量的长期行为思考题如何判断一个随机变量是离散型还是连续型？

1.常见的离散型随机变量有哪些？它们各自的特点是什么？

2.如何计算离散型随机变量的期望和方差？

3.大数定律和中心极限定理分别揭示了哪些重要的性质？

4.参考文献书籍网站•Sheldon M.Ross,概率论基础，第七版，机械工业出版社•维基百科•茆诗松，概率论与数理统计教程，第四版，高等教育出版社•MathWorld。