利用导数判断函数的单调性课件

利用导数判断函数的单调性导数是函数变化率的度量，可以用于判断函数的单调性通过分析导数的符号，可以确定函数在不同区间上的递增或递减趋势课程大纲单调性定义导数与单调性介绍单调递增和单调递减的定义，并举例说讲解函数的单调性与导数符号的关系，并给明出判断函数单调性的定理步骤和例题应用案例详细讲解利用导数判断函数单调性的步骤，介绍单调性的应用，例如求函数的最大值和并通过例题进行演示最小值，以及与凹凸性的关系单调性的定义单调递增函数当自变量增大时，函数值也随之增大单调递减函数当自变量增大时，函数值随之减小常函数当自变量增大时，函数值保持不变单调递增与单调递减单调递增单调递减函数值随着自变量的增大而增大，就像山坡上向上延伸的道路函数值随着自变量的增大而减小，就像山坡上向下延伸的道路函数的单调性与导数的符号导数为正1函数单调递增导数为负2函数单调递减导数为零3函数可能取得极值函数的单调性与导数的符号之间存在密切的联系当导数为正时，函数单调递增；当导数为负时，函数单调递减；当导数为零时，函数可能取得极值利用导数判断单调性的步骤求导数先求出函数的导数，即fx分析导数符号对导数进行分析，找出导数为正、负和零的区间确定单调性当导数fx0时，函数在该区间上单调递增当fx0时，函数在该区间上单调递减结论最后，将结果整合，得到函数的单调性结论示例一fx=x^2+3x-1此示例展示了如何利用导数判断函数的单调性首先，我们需要找到函数fx的导数然后，我们将分析导数的符号变化最后，根据导数的符号变化，我们可以判断函数fx的单调性求的导数fx求导法则1根据导数定义幂函数求导2使用公式求导常数求导3导数为0线性组合求导4求导后乘以系数根据导数定义和求导法则，求出函数fx的导数，得到fx.分析导数的符号变化确定导数为零的点1通过解方程fx=0，求出导数为零的点，即函数的驻点分析导数的符号变化2在驻点两侧，分别选取一点带入导数表达式，判断导数的正负号，进而确定导数的符号变化规律绘制符号变化表3将导数的符号变化规律整理成符号变化表，方便直观地观察函数单调性的变化判断函数的单调性123导数为正导数为负导数为零函数在该区间内单调递增函数在该区间内单调递减函数在该点处可能存在极值点，需要进一步分析示例二fx=sinx/xfx的定义域为x不等于0的实数集合求导数fx=xcosx-sinx/x^2求的导数fx运用导数公式利用商函数求导公式，得到fx的表达式化简导数对fx进行必要的化简，得到更简洁的表达式最终结果最终得到fx的导数表达式，即fx分析导数的符号变化求导数1计算函数的导数fx找出零点2求解方程fx=0，找到导数的零点符号变化3在导数的零点附近，观察导数的符号变化区间划分4根据导数的符号变化，将定义域划分为不同的区间判断函数的单调性导数为正1函数单调递增导数为负2函数单调递减导数为零3函数可能存在极值通过分析导数的符号变化，可以判断函数在不同区间的单调性示例三fx=e^x-x^2本例中，函数fx由指数函数和二次函数组成，求导后可得到fx=e^x-2x需要先求出导数为零的点，再利用导数的符号变化来判断函数的单调性求的导数fx求导公式使用导数公式求解函数的导数例如，e^x的导数为e^x，x^2的导数为2x求解fx的导数利用导数公式，分别求解e^x和x^2的导数，然后相减最终结果fx的导数为e^x-2x分析导数的符号变化确定导数为零的点1求解导数方程fx=0，找到导数为零的点划分区间2将实数轴划分成若干个区间，每个区间内导数符号不变取值判断符号3在每个区间内取一个值，代入导数表达式，判断导数的符号总结符号变化4根据导数符号的变化情况，确定函数的单调性判断函数的单调性fx单调递增1当x1x2时，fx1fx2fx单调递减2当x1x2时，fx1fx2fx单调3如果fx在某个区间上单调递增或单调递减，则称fx在这个区间上是单调的单调性应用案例优化算法经济学模型物理学定律利用导数判断单调性可帮助优化算法，找到在经济学模型中，单调性用于分析供求关系单调性在物理学中用于分析运动规律，例如最优解和市场均衡速度和加速度变化最大值和最小值的确定单调性与极值求解最大值和最小值函数在单调递增区间内，导数大于0；在求解函数在闭区间上的最大值和最小值，单调递减区间内，导数小于0需要先求出函数在该区间内的所有驻点和导数不存在的点，然后将这些点以及区间极值点是函数由单调递增转为单调递减或的端点代入函数，比较大小即可由单调递减转为单调递增的点，对应导数为0或不存在的点例如，求函数fx=x^2-2x在区间[0,2]上的最大值和最小值，需要先求出fx=2x-2=0，解得x=1，再将x=0,1,2代入fx，比较得到fx的最大值为f2=0，最小值为f1=-1单调性与凹凸性

11.函数凹凸性

22.二阶导数凹凸性描述函数曲线向上或向下弯曲的趋势函数的二阶导数决定了函数的凹凸性

33.凹函数

44.凸函数二阶导数小于零，函数曲线向下弯曲二阶导数大于零，函数曲线向上弯曲实操练习一以下是第一个练习，旨在巩固利用导数判断函数单调性的知识练习内容已知函数fx=x^3-3x^2+2，求该函数的单调区间请尝试独立完成此练习，并参考课堂讲解和示例进行验证实操练习二本练习重点考察利用导数判断函数单调性的步骤，并结合图像分析函数的单调性变化设函数fx=x^3-3x^2+2，求函数fx的单调区间，并绘制函数图像首先求函数fx的导数，得到fx=3x^2-6x接下来，分析导数fx的符号变化，并根据导数的正负判断函数fx的单调性最后，利用函数的单调性绘制函数图像，并验证结果实操练习三通过以上学习，现在我们进行一些综合的练习，巩固所学知识求函数fx=x^3-3x^2+2x的单调区间，并求出函数在区间[0,2]上的最大值和最小值课程总结导数与单调性应用场景利用导数判断函数的单调性是微积分中的重要应用导数的正负单调性在最大值最小值问题、函数图像的绘制、优化问题等方面号可以反映函数的增减趋势都有广泛的应用导数为正，函数单调递增；导数为负，函数单调递减通过学习单调性，我们可以更好地理解函数的性质，并应用于解决实际问题思考题

11.比较

22.总结应用导数方法和单调性定义判断函数的单调性，你更喜欢哪总结利用导数判断函数单调性的关键步骤和注意事项种方法？

33.扩展

44.应用如何利用导数判断函数的凹凸性？思考导数在其他数学领域和实际应用中的作用。