《实数及其运算》课件

实数及其运算实数是数学中的一个基本概念实数包括有理数和无理数有理数可以表示为两个整数的比值，而无理数则不能实数在生活中随处可见，例如温度、长度、重量等都可以用实数来表示实数的概念和性质定义完备性12实数是包含所有有理数和无理数的集合，可以用来表示任何实数的完备性是指实数轴上没有“空隙”，任何数都可以用一数量，包括正数、负数、零、分数和小数个实数表示稠密性有序性34实数的稠密性是指在任何两个不同的实数之间，总可以找到实数是有序的，可以用“大于”或“小于”符号进行比较，它们无数个其他的实数之间有唯一的顺序关系实数的分类自然数整数自然数是1,2,3,

4...这些数可以用来整数包括自然数和它们的负数，以及计数和排序0有理数无理数有理数可以表示成两个整数的比值，无理数不能表示成两个整数的比值，包括整数和分数例如圆周率π和根号2实数的表示实数可以用多种方式表示，包括十进制形式、分数形式、科学计数法等十进制形式是最常用的表示方法，例如

3.

1415926、-

2.

5、

0.001等分数形式用于表示有理数，例如1/

2、3/

4、-5/7等科学计数法用于表示非常大或非常小的实数，例如

1.234x10^

5、-

5.678x10^-3等实数的大小比较123数轴比较大小关系符号比较方法将两个实数在数轴上表示出来，位于右使用“”表示大于，“”表示小于，“=”可以将两个实数化成相同的形式，例如边的实数大于左边的实数表示相等分数形式，然后比较分子的大小实数的四则运算加法实数的加法遵循交换律和结合律，可以将多个实数相加减法减法是加法的逆运算，将一个数减去另一个数，相当于加上该数的相反数乘法实数的乘法遵循交换律、结合律和分配律，可以将多个实数相乘除法除法是乘法的逆运算，将一个数除以另一个非零数，相当于乘以该数的倒数实数的加法数轴表示1将实数加法转化为数轴上的平移操作，直观地理解加法的意义运算规律2交换律、结合律、加法单位元等，简化运算过程应用场景3日常生活中，比如计算总长度、总重量等实数加法是实数运算的基础，掌握实数加法的性质和运算规律，可以帮助我们更好地理解实数，并应用于实际问题中实数的减法定义1减法是加法的逆运算运算规则2a-b=a+-b性质3减法满足交换律和结合律减法是实数运算的基本操作之一，它可以用来表示两个实数之间的差值减法运算通常用于解决一些实际问题，例如，计算两个数量的差值、计算剩余数量等实数的乘法实数乘法是数学中重要的运算，用来计算两个实数的积它是四则运算中的一个基本运算，在日常生活和科学研究中有着广泛的应用定义1两个实数相乘，得到一个新的实数，称为这两个实数的积运算规则2两个实数相乘，符号相同的，积为正；符号不同的，积为负；两个负数相乘，积为正性质3实数乘法满足结合律、交换律和分配律应用4实数乘法在计算面积、体积、速度、距离等方面有着广泛的应用实数的除法定义实数除法是指将一个实数除以另一个非零实数的操作，得到一个新的实数，称为商符号实数除法通常用符号“÷”或“/”表示运算过程实数除法可以理解为将被除数分解成若干个与除数相等的等份，商就是这些等份的个数示例例如，6÷2=3，表示将6分解成3个2实数运算的性质交换律结合律加法和乘法运算满足交换律，例加法和乘法运算满足结合律，例如a+b=b+a和a×b=b×a如a+b+c=a+b+c和a×b×c=a×b×c分配律单位元乘法对加法满足分配律，例如a实数的加法单位元为0，乘法单×b+c=a×b+a×c位元为1，即a+0=a和a×1=a实数运算的应用交通运输金融领域建筑工程速度计使用实数来测量汽车的实时速度，确财务报表使用实数来记录和分析财务数据，建筑蓝图使用实数来精确测量尺寸和比例，保安全驾驶帮助企业做出明智的决策保证建筑项目的准确性绝对值的概念定义表示符号一个数的绝对值是指该数到零点的距离例如，3的绝对值是3，-一个数的绝对值用两个竖线|表示例如，|3|表示3的绝对值3的绝对值也是3绝对值的性质非负性对称性三角不等式任何实数的绝对值都是非负数，也就是说，对于任何实数a，它的绝对值等于它的相反对于任何实数a和b，它们的绝对值之和大绝对值永远不会小于零数的绝对值，即|a|=|-a|于或等于它们的和的绝对值，即|a|+|b|≥|a+b|绝对值的运算123绝对值的加减法绝对值的乘除法绝对值的平方当两个数的符号相同时，则可以直接相绝对值的乘除法遵循一般的乘除法规则绝对值的平方等于该数的平方，即|a|²加或相减，并取绝对值；当符号不同时，即两个数的绝对值相乘或相除，结果=a²，其中a是任意实数，则要先将绝对值较小的数减去绝对值的绝对值等于它们的绝对值的乘积或商较大的数，再取相反数，并取绝对值绝对值在生活中的应用在现实生活中，绝对值可以用来计算距离、测量误差等等例如，在地图上，两点之间的距离可以用绝对值来表示另外，在测量中，绝对值可以用来衡量实际值与理论值的误差实数与距离实数与距离之间存在密切联系在直线上，两个点之间的距离可以通过减去它们的坐标来计算例如，如果点A的坐标为2，点B的坐标为5，那么A和B之间的距离就是5-2=3实数与坐标二维坐标系地理位置三维坐标系实数可以用坐标系中的点来表示，点的位置经度和纬度可以使用实数来表示地球上的位在三维空间中，实数可以用来描述点的三维由两个坐标值决定置坐标实数直线模型实数直线模型将实数与直线上的点一一对应，建立了实数与几何图形之间的联系实数直线模型将数轴上的点与实数对应起来，直线上的点表示实数，实数用直线上的点来表示直线模型使我们能够直观地理解实数的大小关系，以及实数之间的加减运算例如，两个实数的加法，可以用数轴上两点的距离来表示实数的几何表示实数可以用数轴上的点来表示数轴上的每个点都对应一个实数，每个实数也对应数轴上的一个点这种几何表示方法可以帮助我们更直观地理解实数的大小关系、运算规律等实数线上的测量确定起点1在数轴上找到一个点，并将其指定为起点选择单位2确定数轴上的单位长度标示位置3根据单位长度，确定其他点在数轴上的位置测量距离4通过测量起点到目标点的距离来确定目标点的数值实数线上的测量需要确定起点、单位长度和目标点的距离通过这些步骤，我们可以准确地确定目标点的数值例如，假设起点为0，单位长度为1厘米，目标点距离起点3厘米，则目标点的数值为3实数与测量长度测量面积测量长度是生活中常见的测量项目，例如测量身高、桌子的长度等实面积测量需要用到两个长度，例如测量房间的面积，需要测量长和数可以精确地表示长度，并进行相关计算宽实数可以用来表示面积，并进行相关计算体积测量温度测量体积测量需要用到三个长度，例如测量水箱的体积，需要测量长、温度测量使用摄氏度或华氏度等单位实数可以用来表示温度，并宽和高实数可以用来表示体积，并进行相关计算进行相关计算实数的近似表示有效数字舍入误差科学计数法123有效数字表示一个数的精確程度，从用近似值表示一个数，不可避免地引使用科学计数法表示实数，可以方便左起第一个非零数字开始，到最后一入舍入误差舍入误差是近似值和精地表示非常大或非常小的数个数字确值之差实数的误差分析误差类型•绝对误差•相对误差误差来源•测量工具•计算方法•舍入误差误差评估评估误差大小，判断计算结果的可靠性实数近似值运算加减运算1近似值加减运算遵循四舍五入原则乘除运算2近似值乘除运算需考虑有效数字幂运算3近似值幂运算应注意舍入误差实数近似值运算在实际应用中十分常见由于实际测量或计算中不可避免地存在误差，因此需要运用近似值运算来处理这些误差近似值运算需要注意有效数字的概念，以及舍入误差的控制，以确保结果的精度实数近似值的应用工程测量科学计算金融市场地图导航工程测量中，需要对距离、面科学计算中，很多结果无法精金融市场中，股票价格、汇率地图导航系统中，需要使用实积、体积等进行精确测量，实确表示，需要使用实数近似值等数据需要进行实时更新和计数近似值来表示经纬度坐标，数近似值可以用来表示测量结来近似表示，并进行误差控制算，实数近似值可以用来表示并进行路线规划和距离计算果，并进行误差分析价格变化趋势，并进行风险评估小结实数概念运算性质实数包括有理数和无理数，涵盖了我们日常生活中遇到的所有数量实数运算遵循加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律几何表示应用广泛实数可以通过数轴上的点来表示，方便我们直观地理解实数的大小实数在数学、物理、工程、金融等各个领域都有着广泛的应用和运算思考与练习通过本章的学习，我们对实数有了更深入的理解现在，让我们来检验一下自己的学习成果以下是一些思考和练习题，可以帮助您巩固所学知识

1.尝试用自己的语言解释实数的概念，并举例说明

2.如何比较两个实数的大小？

3.简述实数的四则运算及其性质

4.绝对值有什么用？

5.实数在生活中有哪些应用？课后延伸探究实数的应用扩展实数的概念思考实数的意义了解实数在现实生活中的应用学习复数的概念和性质，理解思考实数在数学体系中的地位场景，比如测量、地图、科复数是实数的扩展，并在更广和作用，理解实数是数学研究学研究等领域阔的数学领域中发挥作用的基础之一参考文献《数学》《高等数学》

1.

2.12中学数学教科书，人民教育出同济大学数学系，高等教育出版社版社《数学分析》《数学史》

3.

4.34华东师范大学数学系，高等教李文林，科学出版社育出版社。