《数与代数》课件

《数与代数》课程简介《数与代数》是一门基础数学课程，它介绍了数的概念、代数运算、方程等重要内容课程目标培养数学思维掌握数学知识和技能，培养逻辑推理、抽象思维和问题解决能力拓展知识广度了解数学在科学、技术、生活等各个领域中的应用，培养对数学的兴趣和理解提升学习能力掌握学习数学的方法，培养独立思考、合作交流和自主学习的能力数的概念

1.自然数整数自然数是我们日常生活中最常用整数包括自然数、0和负整数，它的数字，从1开始，依次递增们可以用来表示正负方向上的数量有理数实数有理数可以表示为两个整数的比实数包括有理数和无理数，可以值，例如分数和有限小数用来表示连续的量，例如长度和面积基数和序数基数序数12表示数量多少，例如

一、二表示顺序位置，例如第

一、、

三、四…第

二、第

三、第四…区别应用34基数表示数量，序数表示顺序在日常生活中，基数和序数都非常常见，例如数数、排序等整数的性质加法减法整数的加法满足交换律和结合律交换律是指两个整数相加的顺整数的减法满足交换律和结合律交换律是指两个整数相减的顺序可以改变，结果不变结合律是指三个或更多个整数相加时，序可以改变，结果不变结合律是指三个或更多个整数相减时，可以先加任意两个整数，再加第三个整数，结果不变可以先减任意两个整数，再减第三个整数，结果不变有理数的概念分数小数整数有理数可以用分数表示，如1/

2、3/4或-有理数也可以用小数表示，如

0.

5、

0.75或所有整数都是有理数，因为它们可以写成分5/7-

1.25数形式，如2/

1、-3/1等实数的性质完备性有序性

1.

2.12实数集是完备的，这意味着任实数集是有序的，这意味着任何一个实数序列，如果它有上何两个实数，都可以比较大小界或下界，那么它一定有极限稠密性可数性

3.

4.34实数集是稠密的，这意味着任实数集是不可数的，这意味着何两个不同的实数之间，一定实数集中的元素无法一一对应存在无数个实数自然数代数的基本概念

2.变量和表达式方程和不等式变量表示未知数或可变的量表方程是包含等号的数学式，表示达式则是由常数、变量和运算符等式两边相等不等式则表示两号组成的代数式边不相等的关系一次方程二次方程一次方程是指未知数的最高次幂二次方程是指未知数的最高次幂为1的方程，也称为线性方程为2的方程，具有较为复杂的解法变量和表达式变量表达式变量是代表未知数值的符号，通常用字母表示表达式是通过运算符号将常数和变量组合在一起的式子方程和不等式方程包含未知数的等式称为方程求解方程即找到使方程成立的未知数的值不等式包含未知数的不等式称为不等式求解不等式即找到使不等式成立的未知数的取值范围问题解决方程和不等式是数学中解决实际问题的工具通过建立方程或不等式，我们可以将实际问题转化为数学模型，从而求解问题一次方程定义1一次方程是指含有未知数的最高次数为1的等式，其标准形式为ax+b=0，其中a和b是常数，a≠0求解方法2利用移项和合并同类项，将未知数x移到等式的一边，常数项移到另一边，然后将两边同除以未知数的系数即可求得x的值应用3一次方程广泛应用于实际生活中，例如，计算物体运动的速度、距离和时间，解决商品的成本、利润和售价问题等二次方程标准形式1ax²+bx+c=0求解2求根公式判别式3Δ=b²-4ac应用4物理、工程二次方程是指最高次数为2的代数方程它可以通过求根公式求解，根据判别式可以判断方程解的个数和类型二次方程在物理、工程等领域有着广泛的应用高次方程一元三次方程1含有一个未知数，且最高次项为三次的方程一元四次方程2含有一个未知数，且最高次项为四次的方程一元五次方程及以上3含有一个未知数，且最高次项为五次或更高次的方程高次方程通常比一次方程和二次方程更难求解，但可以使用一些特殊的方法，例如代数式变换或数值计算复数的概念

3.复数的加减法是分别对实部和虚部进行运算乘法则类似于多项式乘法，注意i²=-1除法则将分子和分母同乘以分母的共轭复数，以消除分母的虚数项复数由实部和虚部组成虚数单位用字母“i”表示，它满足i²=-1复数可以写成a+bi的形式，其中a和b是实数复数的定义复数是实数的扩展，包含一个实部和一个虚部复数通常表示为a+bi的形式，其中a和b是实数虚部用虚数单位i表示，i的平方等于-1a是实部，b是虚部，i是虚数单位复数的四则运算加法减法12复数的加法是将两个复数的实复数的减法是将被减数的实部部和虚部分别相加和虚部分别减去减数的实部和虚部乘法除法34复数的乘法遵循分配律，将两复数的除法可以通过将除数的个复数的实部和虚部分别相乘共轭复数乘以被除数和除数，，并将结果相加将除法转化为乘法来进行复数的几何表示复数可以用复平面上的点来表示横轴代表实轴，纵轴代表虚轴复数z=a+bi可以用复平面上的点a,b来表示复数的应用电子工程复数用于描述交流电路中的电流和电压信号处理复数在傅里叶变换和数字信号处理中得到广泛应用量子力学复数用于描述量子力学中的波函数函数的概念

4.函数的图像函数的定义域和值域函数关系函数可以用图像来表示，将自变量的值作为函数定义域指自变量取值的集合，值域指函函数描述自变量与因变量之间的关系，每个横坐标，对应函数的值作为纵坐标，连接所数取值的集合自变量都有唯一确定的因变量有点就形成函数的图像函数的定义对应关系自变量和因变量定义域和值域函数是一种特殊的对应关系，每个自变自变量是函数的输入，因变量是函数的函数的定义域是所有自变量的集合，值量都有唯一的因变量与之对应输出，函数将自变量映射到因变量域是所有因变量的集合函数的分类按定义域和值域分类按表达式分类根据定义域和值域的不同，函数例如，可以分为一次函数、二次可以分为实数函数、复数函数、函数、指数函数、对数函数等向量函数等按性质分类例如，可以分为奇函数、偶函数、单调函数、周期函数等函数的图像函数的图像能够直观地展现函数的变化规律，帮助人们更好地理解函数性质函数图像的形状取决于函数的定义域和值域，以及函数的自变量和因变量之间的关系通过观察函数图像，我们可以快速判断函数的单调性、奇偶性、对称性以及最大值和最小值函数的性质定义域值域单调性奇偶性函数定义域指函数可以接受的函数值域指函数所有可能输出函数的单调性描述了函数在定函数的奇偶性描述了函数关于输入值的集合值的集合义域内随自变量的变化而变化原点的对称性的趋势常见函数

5.线性函数二次函数线性函数是描述自变量和因变量之间线性关系二次函数是描述自变量和因变量之间二次关系的函数.的函数.其图像为一条直线.其图像为一条抛物线.指数函数对数函数指数函数是描述自变量和因变量之间指数关系对数函数是指数函数的反函数.的函数.其图像也为一条曲线.其图像为一条曲线.线性函数定义线性函数是指其图形为直线的函数它可以通过方程y=mx+c表示，其中m是斜率，c是y轴截距二次函数定义图像12二次函数是指包含一个变量的二次函数的图像是一个抛物线平方项，以及常数项和线性项，可以向上开口或向下开口，的函数取决于二次项系数的正负性质应用34二次函数具有对称轴，顶点，二次函数在物理，工程和经济以及最大值或最小值学等领域中都有广泛的应用指数函数定义指数函数是指形如y=a^x的函数，其中a为常数且a0，a≠1，x为自变量图像指数函数的图像是一个单调递增或递减的曲线，其形状取决于底数a的大小性质指数函数具有单调性、奇偶性、对称性等性质，并在实际应用中具有重要的意义对数函数对数函数图像对数函数性质对数函数应用对数函数图像是一个平滑曲线，随着自变量对数函数有单调性、奇偶性、周期性和对称对数函数在物理学、化学、生物学、经济学的增大，函数值逐渐增大性等重要性质等领域都有广泛的应用数列和级数

6.数列的定义等差数列和等比数列数列是按照一定顺序排列的一列等差数列是指相邻两项之差相等数每个数称为数列的项，第一的数列，等比数列是指相邻两项个数称为首项，最后一个数称为之比相等的数列末项级数的概念级数是指将一个数列的各项依次相加而得到的表达式，也称为无穷级数数列的定义数列的定义通项公式12数列是指按照一定规律排列的数列的通项公式是表示数列中一列数每个数称为数列的项任意一项的公式，用字母an表，第一个数称为首项，最后一示个数称为末项数列的类型数列的应用34数列可以分为有限数列和无限数列广泛应用于数学、物理、数列，有限数列有最后一个项经济等领域，可以用来描述变，无限数列没有最后一个项化规律，解决实际问题等差数列和等比数列等差数列等比数列等差数列是指每一项都比前一项多一个固定值的数列固定值被等比数列是指每一项都比前一项乘以一个固定值的数列固定值称为公差，用字母d表示等差数列的通项公式为an=a1+n-被称为公比，用字母q表示等比数列的通项公式为an=a1*1d q^n-1级数的概念无穷和级数是指将无穷多个数相加得到的和，称为无穷级数级数可以用于研究函数、微积分和概率论等领域常见级数及求和等差级数等比级数等差级数的求和公式Sn=n/2*等比级数的求和公式Sn=a1*a1+an1-q^n/1-q无穷等比级数调和级数当公比的绝对值小于1时，无穷等调和级数的求和公式1+1/2+比级数的和为S=a1/1-q1/3+...+1/n总结与展望本课程介绍了数与代数的基本概念，并深入探讨了函数、数列和级数等重要数学概念通过学习本课程，学生能够理解和掌握数学基本原理，为学习更高阶的数学知识打下坚实基础。