《数值分析》》课件

数值分析数值分析是数学的一个分支，它使用数值近似来解决数学问题数值分析是计算机科学和工程的基础课程简介学习目标课程内容本课程旨在让学生掌握数值分析的基本理论和方法学生将学习课程内容包括误差分析、插值法、数值积分、微分方程数值解、如何使用数值方法解决实际问题，并能够运用这些方法进行数据线性方程组的数值解、特殊函数的数值计算、最小二乘法、常见分析、建模和仿真算法的时间复杂度分析等数值分析概述数值分析是数学的一个分支，它研究使用数值方法来解决数学问题，特别是那些无法用解析方法求解的问题数值分析方法广泛应用于科学、工程、金融和计算机科学等领域，例如求解方程、积分、微分方程、优化等数值分析的定义计算机科学领域数学问题的近似解算法和计算数值分析是数学的一个分支，它研究用计算数值分析通过使用数值方法来求解数学方程数值分析涉及设计和分析算法，以便在计算机解决数学问题的方法和模型，并提供近似解机上执行数值计算数值分析的作用和应用科学研究工程设计数值分析在各种科学领域中发挥数值分析广泛应用于工程设计，着至关重要的作用，例如物理学例如桥梁、飞机和汽车的设计、化学、生物学和工程学它用它用于模拟和分析结构的强度、于模拟和分析复杂系统，例如天稳定性和性能气预报、药物开发和材料科学研究数据科学金融分析数值分析在数据科学领域中扮演金融机构使用数值分析来预测市着重要角色，用于分析大数据集场趋势、评估风险和优化投资策、提取有意义的模式和进行预测略建模误差分析数值分析中，误差是一个重要的概念它反映了计算结果与真实值的偏差误差的概念数值计算误差来源12数值计算中，实际值和近似值误差来源主要有舍入误差、的偏差称为误差截断误差和测量误差误差衡量误差分析34误差可以表示为绝对误差或相理解误差是数值分析的重要环对误差，反映误差的大小节，有助于评估结果的可靠性误差的种类舍入误差截断误差传播误差观测误差数值计算中，由于计算机采用用近似公式代替精确公式，或误差在计算过程中传递和累积由测量仪器和人为因素造成的有限位数表示实数，导致出现用有限项代替无穷项，导致的，导致最终结果误差变大误差舍入误差误差误差的传播初始误差累积数值计算中，初始输入数据存在误差，会导致后续计算结果的误差逐渐累积算法误差影响算法本身的近似性也会引入误差，比如用有限项近似无限级数或用有限步长模拟连续函数舍入误差产生计算机存储数据时，由于精度限制，会进行舍入操作，导致舍入误差产生，并随着计算步骤增加而累积插值法插值法是一种数值分析方法，用于在已知数据点之间估计未知点的函数值插值法的概念估计未知点函数近似曲线拟合插值法是一种根据已知数据点，估计未知点插值法通过找到一个函数，在已知数据点上插值法广泛应用于数据分析、信号处理、数函数值的方法与原函数值相同，来近似表示原函数值计算等领域拉格朗日插值基本原理公式12拉格朗日插值法利用已知数据拉格朗日插值公式通过线性组点构造一个多项式函数，该函合已知数据点构造插值多项式数在已知数据点处的值与已知，公式简洁明了数据点一致应用局限性34拉格朗日插值法在数值分析中拉格朗日插值法对数据点数量广泛应用，用于近似函数值、敏感，数据点过多会导致插值求解微分方程等多项式的次数过高，造成龙格现象牛顿插值牛顿插值公式牛顿插值算法牛顿插值应用牛顿插值公式是通过给定点的函数值，求解牛顿插值算法是一种递推算法，通过逐步添牛顿插值广泛应用于数值分析、数据拟合、出该函数的插值多项式加节点，逐步构建插值多项式曲线绘制等领域数值积分数值积分是一种利用数值方法计算定积分的方法它在工程、物理、经济等领域有着广泛的应用数值积分概述近似计算应用广泛数值积分方法利用函数在离散点在科学和工程领域，许多问题无上的值，来近似计算定积分的值法通过解析方法求解，需要借助数值积分方法不同方法误差分析常用的数值积分方法包括梯形公数值积分方法会带来误差，需要式、辛普森公式、牛顿柯特斯公分析误差来源，并选择合适的积-式等分方法和步长梯形积分公式公式梯形积分公式利用梯形面积计算定积分近似值函数在区间上的积分近似等于区间端点处的函数值之和乘以区间长度的一半梯形公式适用于连续函数的积分辛普森积分公式公式推导精度更高利用二次多项式插值公式，在积与梯形积分公式相比，辛普森公分区间上近似代替被积函数，从式能够更好地逼近积分值，提高而得到辛普森积分公式精度应用广泛广泛应用于工程、物理、化学等领域，用于求解各种积分问题微分方程数值解微分方程数值解方法是求解微分方程近似解的常用方法数值解方法通过一系列离散点上的函数值来近似表示函数，从而求解微分方程的近似解微分方程数值解概述求解近似解离散化许多微分方程无法求得精确解，因此需要使用数值方法求解数值方法将连续的微分方程转化为离散的差分方程近似解迭代计算误差控制利用迭代方法逐步逼近微分方程的解数值解与精确解之间存在误差，需要控制误差的范围欧拉方法概念欧拉方法是一种简单的一阶数值方法，用于求解微分方程的数值解它基于微分方程的斜率在特定点处的近似值，并通过线性近似来估计下一个时间点的函数值龙格库塔方法-龙格库塔方法-一种常用的微分方程数值解法，可以达到更高的精度算法原理利用多个函数值来逼近微分方程解，从而提高精度应用场景应用于许多科学和工程领域，例如物理、化学、生物学等线性方程组的数值解线性方程组的数值解是数值分析领域的重要组成部分在实际应用中，我们经常会遇到无法直接求解的线性方程组，需要借助数值方法来求解近似解线性方程组数值解概述方程组数值解矩阵表示线性方程组由多个线性方程组成，每个方程线性方程组的数值解是指利用数值方法求解线性方程组可以使用矩阵表示，方便进行运代表一条直线或平面方程组的近似解算和求解迭代法迭代法概述迭代法的原理迭代法是数值分析中求解方程组、微分方程等问题的一种重要方迭代法基于一个基本思想将原问题转化为一个等价的迭代形式法它通过不断重复某个计算步骤，逐步逼近问题的解，即用一个序列来逼近问题的解迭代法适用于各种问题，尤其适用于非线性方程组和微分方程迭代法需要确定一个初始值，然后根据迭代公式不断更新这个值，直到满足一定精度要求为止高斯赛德尔法-迭代过程矩阵形式收敛性高斯赛德尔法是一种迭代法，通过不断重该方法将方程组转化为矩阵形式，并利用矩高斯赛德尔法的收敛性取决于矩阵的性质--复计算，逐步逼近线性方程组的解阵元素进行迭代计算，需满足一定条件才能保证收敛特殊函数的数值计算特殊函数是指一些常见的非基本初等函数，例如对数函数、指数函数、三角函数等数值计算是通过计算机程序来求解这些函数的值，它可以用于科学计算、工程应用、数据分析等各个领域特殊函数概述伽马函数贝塞尔函数勒让德多项式艾里函数伽马函数是阶乘函数在复数域贝塞尔函数是一类特殊的函数勒让德多项式是正交多项式的艾里函数是描述光波衍射的函上的推广它在概率论、统计，用于描述圆柱坐标系中的波一种，常用于球坐标系中的问数，在光学和量子力学中有着学和物理学等领域有着广泛的动现象题重要应用应用对数和指数函数对数函数指数函数对数函数是指数函数的反函数指数函数是幂函数的一种，其自它用于求解指数方程变量出现在指数位置它用于描述快速增长或衰减现象应用对数和指数函数在科学、工程和金融领域有广泛应用，例如计算利率、分析人口增长和测量声音强度三角函数正弦、余弦和正切反三角函数

1.

2.12正弦、余弦和正切是三角函数中最常用的三个基本函数，它反三角函数是三角函数的反函数，它们可以用来求解三角函们在许多科学和工程领域都有着广泛的应用数的值，在几何和物理中也发挥着重要作用三角恒等式数值计算

3.

4.34三角恒等式是描述三角函数之间关系的方程式，它们可以用在数值分析中，可以使用数值方法来近似计算三角函数的值来简化三角表达式或求解三角方程，这对于解决实际问题非常有用最小二乘法最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，用于找到最佳拟合曲线或函数，使数据点与拟合曲线之间的误差平方和最小该方法在统计学、机器学习和工程领域有着广泛的应用，例如回归分析、曲线拟合和参数估计最小二乘法概述数据拟合误差最小化12最小二乘法是一种常用的数据该方法通过最小化数据点与拟拟合方法，用于找到一条曲线合曲线之间的平方误差之和来，使它尽可能地接近一组数据实现最佳拟合点广泛应用3最小二乘法在各种科学和工程领域都有广泛的应用，例如统计学、机器学习、信号处理等线性最小二乘法线性方程组数据拟合误差最小化线性最小二乘法用于求解线性方程组，但方该方法可用于寻找一条最优的曲线，使得这通过最小化数据点到曲线的距离的平方和来程组的个数可能多于未知数，导致方程组无条曲线能够尽可能地接近数据点实现数据拟合，从而得到最优的拟合曲线解非线性最小二乘法目标函数非线性函数，无法直接求解解析解迭代算法通过迭代逼近最小值点误差函数度量模型预测值与实际观测值的偏差常见算法的时间复杂度分析时间复杂度是衡量算法效率的重要指标，它表示算法执行时间随输入规模增长而变化的趋势分析算法的时间复杂度，可以帮助我们选择最优的算法，并预测算法在不同输入规模下的执行时间时间复杂度概述定义衡量指标算法的时间复杂度是指算法执行时间复杂度通常用大表示法来表O所需要的计算时间，通常用一个示，例如，，On On^2Olog函数来表示等n影响因素算法的时间复杂度受算法本身的结构、数据规模以及数据本身的特性等因素影响常见算法的时间复杂度分析算法时间复杂度线性搜索On二分搜索Olog n冒泡排序On^2插入排序On^2选择排序On^2归并排序On logn快速排序On logn课程总结本课程涵盖了数值分析的基础知识，并着重介绍了常见数值方法及其应用通过学习本课程，您可以掌握数值分析的基本概念，并能运用相关方法解决实际问题本课程主要内容回顾误差分析数值积分课程涵盖了误差的概念、种类和传播，帮助学生理解数值计算中讲解了梯形积分公式和辛普森积分公式，用于近似计算定积分的误差的来源和影响值插值法微分方程数值解介绍了拉格朗日插值法和牛顿插值法，用于在已知数据点之间进学习了欧拉方法和龙格库塔方法，用于求解常微分方程的数值解-行函数插值数值分析在实际应用中的重要性科学研究工程设计12数值分析是许多科学领域的基础，例如物理学、化学、生物数值分析用于设计和优化各种工程系统，如桥梁、飞机和电学和工程学，为解决复杂问题提供精确解子设备，确保安全性和性能金融领域数据分析34数值分析在金融模型、风险管理和投资策略中发挥重要作用数值分析是数据科学的核心，用于分析大型数据集，识别模，例如预测市场趋势和评估投资组合式并得出有意义的结论后续学习建议深入学习实践应用编程技巧可以选择学习更高级的数值分析课程，例如尝试将数值分析方法应用于实际问题，例如学习使用数值计算软件，例如，Matlab偏微分方程数值解，优化方法等图像处理，数据挖掘等领域等，提高编程能力Python。