《数值计算方法绪论》课件

数值计算方法绪论数值计算方法是数学和计算机科学的重要交叉学科，在科学和工程领域有着广泛应用本课程将介绍数值计算方法的基本理论和方法，包括误差分析、线性方程组求解、插值与逼近、数值积分与微分、非线性方程求解等内容引言计算机技术发展数学模型的应用科学研究和工程实践计算机科学技术的飞速发展为科学研究和工许多实际问题都可以转化为数学模型，而数数值计算方法在科学研究、工程设计、数据程实践提供了强大的工具，数值计算方法在值计算方法提供了求解这些模型的有效手段分析、金融建模等领域发挥着重要作用其中扮演着至关重要的角色数值计算方法的重要性现实世界复杂性计算机应用的普及

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22.许多现实世界中的问题无法用解析方法计算机的普及为数值计算提供了强大的求解，需要数值计算方法来进行近似求工具，使复杂计算成为可能解科学技术发展决策分析与优化

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44.现代科学技术的进步离不开数值计算方数值计算方法在决策分析和优化问题中法，其在各领域扮演着重要角色提供有效的解决方案，助力科学决策数值计算方法的特点近似解离散化大多数情况下，数值计算方法无法得到精确解数值计算方法将连续的数学问题转化为离散的，而是得到近似解解的精度取决于所采用的数值问题，通过有限步的计算来逼近真实解方法、算法和计算机的精度算法误差分析数值计算方法需要采用特定的算法来进行计算数值计算方法不可避免地会产生误差，误差分，不同的算法具有不同的效率和精度析是数值计算方法的重要组成部分数值计算方法的发展历程早期萌芽1古代文明时期，人们就已开始使用一些简单的数值方法解决实际问题，例如算筹、九章算术等近代发展217世纪牛顿、莱布尼兹等数学家发展了微积分和微分方程理论，为数值计算方法奠定了基础现代发展320世纪计算机的出现，极大地推动了数值计算方法的发展，形成了现代数值分析学科数值计算方法的基本概念数值方法离散化数值方法使用近似值来求解数学将连续问题转换为离散问题，方问题，这些问题通常没有解析解便计算机处理例如，将连续函例如，使用迭代法求解方程的数用有限个点值表示根误差分析算法分析数值方法产生的误差，并评描述解决特定数值问题的步骤，估其大小和影响例如，舍入误并提供解决方法的逻辑顺序例差、截断误差等如，牛顿迭代法、欧拉方法等误差的概念及其分类误差的定义误差的分类误差是指数值计算过程中产生的实际值与误差可以分为截断误差和舍入误差两类理论值之间的差异在数值计算中，由于截断误差是由于采用近似公式或方法而产计算机硬件和软件的局限性，无法完全精生的误差舍入误差是由于计算机使用有确地表示和计算实际值，因此误差是不可限位数来表示数字，而实际数字是无限位避免的的，因此在进行算术运算时，会发生舍入浮点数的表示尾数指数

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22.浮点数的尾数表示小数点后的指数表示小数点的位置，用二有效数字，用二进制形式存储进制形式存储，并加上一个偏移量符号位规格化

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44.符号位用来表示浮点数的正负为了提高浮点数的精度，需要号对浮点数进行规格化，即保证尾数的最高位为1舍入误差及其分析舍入误差的来源舍入误差的影响舍入误差的分析计算机使用有限位数表示实数舍入误差舍入误差会累积，并可能导致计算结果出分析舍入误差需要考虑舍入方式、数字的是指在将实数转换为计算机表示时，由于现较大偏差在数值计算中，舍入误差的精度以及计算过程通过分析舍入误差的精度限制而产生的误差舍入误差是一种控制至关重要，因为它会影响结果的准确来源和传播规律，可以采取一些措施来控不可避免的误差，因为计算机无法精确地性研究舍入误差的传播和控制是数值计制误差的累积，提高数值计算的精度表示所有实数算方法的重要内容计算机算术的基本运算加减法1计算机使用二进制进行加减运算乘除法2乘法使用移位和加法实现，除法使用减法和移位实现浮点数运算3浮点数运算需要考虑精度和溢出问题计算机算术运算的基础是二进制运算，包括加减法、乘除法等计算机使用特定的硬件电路实现这些运算浮点数运算需要特殊的处理，以确保精度和避免溢出稳定性和收敛性概念稳定性收敛性数值方法的稳定性指的是在计算数值方法的收敛性指的是随着计过程中误差的传播情况，一个数算步长的减小或迭代次数的增加值方法是稳定的，意味着误差不，数值解是否越来越接近问题的会随着计算的进行而迅速放大真实解，一个数值方法是收敛的，意味着随着计算的进行，数值解会越来越接近真实解插值及其算法插值定义插值是一种根据已知数据点，估计未知数据点的数值方法插值算法常见的插值算法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法插值应用插值在科学计算、工程设计、数据分析等领域都有广泛应用拟合及其算法拟合是指用一个函数来近似地表示一组数据，并使用该函数来预测其他数据的过程拟合算法的目标是找到一个最优的函数，该函数能够在某种意义上最佳地拟合数据线性拟合1直线方程多项式拟合2多项式方程非线性拟合3非线性函数局部加权回归4加权平均不同的拟合算法使用不同的函数形式和优化方法线性拟合是最简单的拟合形式，而多项式拟合则可以拟合更复杂的数据非线性拟合可以用于拟合非线性函数，而局部加权回归则可以用于拟合非平滑数据数值积分及其算法矩形公式1用矩形面积逼近曲线下方面积梯形公式2用梯形面积逼近曲线下方面积辛普森公式3用抛物线段面积逼近曲线下方面积牛顿柯特斯公式-4用更高阶的多项式逼近曲线下方面积数值积分方法广泛应用于科学工程领域，例如计算力学、流体力学、热力学等等常微分方程数值解的求解欧拉方法1欧拉方法是求解常微分方程的一种简单而常用的方法它使用微分方程的导数来近似地逼近解龙格库塔方法-2龙格-库塔方法是欧拉方法的推广，它使用多个中间点来提高精度这些方法通常称为RK方法，并根据中间点的数量进行标记，例如RK

2、RK4等多步方法3多步方法使用先前步骤的解值来计算当前步骤的解值这些方法可以实现更高的精度，但需要更多初始条件偏微分方程数值解的求解有限差分法将偏微分方程中的导数用差商近似表示，得到一系列代数方程组，求解这些方程组即可得到偏微分方程的近似解有限元法将求解区域划分为有限个单元，将偏微分方程转化为在每个单元上求解一个简单的局部问题，最后将局部解拼接成全局解谱方法利用正交函数展开，将偏微分方程转化为代数方程组，求解这些方程组即可得到偏微分方程的解线性代数方程组的数值解直接法1高斯消元法迭代法2雅可比迭代法矩阵分解法3LU分解法线性代数方程组的数值解是数值计算中重要的内容之一直接法通过有限步运算得到精确解，迭代法通过逐步逼近的方式得到近似解矩阵分解法将系数矩阵分解为易于求解的矩阵形式，提高计算效率特征值和特征向量的计算特征值定义1特征值是线性变换下保持方向不变的向量，这些向量称为特征向量求解方法2求解特征值和特征向量常用的方法包括特征多项式法和幂法应用3特征值和特征向量在稳定性分析、振动问题、图像压缩等领域有着广泛的应用数值优化方法梯度下降法遗传算法通过迭代的方式逐步逼近最优解，适模拟生物进化过程，通过选择、交叉用于连续可微函数优化问题和变异等操作来搜索最优解模拟退火算法粒子群优化算法类似于金属退火过程，通过模拟温度模拟鸟群觅食行为，通过粒子间的协变化，逐步搜索最优解作来搜索最优解数值算法的程序设计代码实现算法设计结果可视化将数值算法转换为计算机可执行的程序代码根据算法步骤，选择合适的编程语言和数据使用图形库绘制算法的计算结果，以直观地结构展示算法的性能在数值计算中的应用MATLAB强大的矩阵运算丰富的函数库MATLAB提供高效的矩阵运算能包含大量数值计算函数，涵盖微力，适用于线性代数、矩阵分析积分、线性代数、微分方程、统等领域计学等多个领域可视化功能编程语言支持多种图形绘制方式，可以将MATLAB语言语法简洁，易于学计算结果可视化，便于分析和理习，可以方便地进行算法开发和解实现数值计算方法的局限性精度限制算法复杂度收敛性问题适用性限制数值计算方法通常会引入误差,一些数值方法的计算量非常大,并非所有数值方法都能收敛到数值方法并非适用于所有问题,导致计算结果与真实值存在偏需要大量的时间和存储空间才问题的真实解,某些方法可能在对于某些类型的问题,例如存在差误差的累积会影响计算结能完成计算,尤其是在处理高维一定条件下会发散或收敛到错奇点或非线性强烈的函数,可能果的精度或大规模问题时误的结果无法找到有效的数值解数值计算方法的发展趋势高性能计算人工智能随着计算机硬件性能的提升，数值计算方人工智能技术的快速发展，特别是机器学法在高性能计算领域得到广泛应用例如习和深度学习技术的成熟，为数值计算方，并行计算、云计算、量子计算等技术为法注入了新的活力数值计算方法与人工解决大型数值计算问题提供了新的可能性智能技术的结合，将推动更多智能化数值计算模型的开发本课程的特点和要求实践性强强调理解

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22.本课程将理论知识与实际应用本课程鼓励学生深入理解数值紧密结合，注重培养学生的动计算方法的原理和应用，而不手能力是死记硬背公式注重创新

33.本课程鼓励学生探索新的数值计算方法和应用场景，并进行独立思考和研究本课程的学习目标掌握基本概念应用计算方法理解数值计算方法的基本概念、原理和方法能够应用各种数值计算方法解决实际问题，并进行误差分析编写程序拓展研究能力掌握常用的数值计算软件（如MATLAB）的使为进一步深入学习数值计算方法和应用打下基用，并能够编写简单的数值计算程序础，并提升解决问题的能力本课程的基本内容安排绪论插值与拟合数值计算方法概述，重要性，特点和发展历程介绍多项式插值、样条插值和最小二乘法拟合，误差分析和浮点数表示等方法数值积分与微分方程线性代数方程组和矩阵计算介绍数值积分方法、常微分方程和偏微分方程介绍线性代数方程组的解法，矩阵的特征值和的数值解法特征向量计算本课程的授课方式课堂讲授课后练习实践项目在线讨论理论知识讲解为主，并辅以典通过课后练习，巩固课堂所学结合实际应用场景，进行数值利用网络平台，进行课题讨论型案例分析知识，并培养独立思考和解决计算方法的应用开发，并及时解答学生提出的问题问题的能力本课程的考核方式平时成绩期末考试成绩评定课堂参与、作业完成情况、以及项目实闭卷考试，涵盖课程内容的重点和难点最终成绩将根据平时成绩和期末考试成践结果将计入平时成绩，注重对理论知识的理解和应用绩综合评定，具体比例根据教学安排确定本课程的参考文献数值计算方法MATLAB•《数值分析》李庆扬等编著•《MATLAB数值计算》张志涌编著•《数值计算方法》张维虎等编著•《MATLAB编程与应用》王晓东编著•《数值计算方法》徐树方等编著•《MATLAB基础教程》张志涌编著•《数值计算方法》王能超等编著•《MATLAB数值计算与应用》刘源编著问题探讨本节课主要对数值计算方法中的问题进行探讨讨论数值计算方法的局限性，例如舍入误差、稳定性和收敛性问题，并分析这些问题对计算结果的影响此外，探讨数值计算方法在实际应用中的挑战和未来发展趋势，例如高性能计算、人工智能和大数据分析等领域鼓励学生积极思考和提问，并与老师进行深入的交流，以加深对数值计算方法的理解和应用。