《数列函数的极限》课件

数列函数的极限数列函数的极限是微积分中的一个重要概念它描述了当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势课程目标理解概念理解数列函数极限的概念，掌握其定义和性质掌握方法熟练运用函数极限的计算方法，包括极限的性质、定理和公式应用能力能够将函数极限的知识应用于实际问题，解决相关问题理解数列的极限概念

1.收敛与发散极限的定义极限的性质

1.

2.

3.123当数列的项无限趋近于一个确定数列的极限通过定义给出，数列极限具有加法、乘法、除法ε-N的值时，这个值被称为数列的极它描述了当数列的项的序号趋等基本性质，这些性质可以简化n限如果极限存在，则数列收敛于无穷大时，数列的项与极限值数列极限的计算；否则，数列发散之间的距离可以任意小掌握函数极限的定义及判断方法

2.极限的概念极限的判断方法函数极限的应用函数极限是指当自变量无限接近某个判断函数极限可以使用多种方法，如函数极限在微积分、物理学、工程学值时，函数值无限接近于一个定值，语言、极限的性质、极限的运算等领域都有广泛的应用，是许多重要ε-δ这个定值就叫做函数的极限等定理的基础熟练计算常见函数的极限

3.常见函数极限公式洛必达法则计算练习包括多项式、指数函数、对数函数、三用于处理函数极限中出现的不定式，比通过多种函数极限计算的练习，巩固对角函数等常见函数的极限公式如或概念和方法的理解0/0∞/∞数列极限的基本性质唯一性有界性保号性单调性如果数列收敛，那么它如果数列收敛，那么它如果数列收敛于，且如果数列单调递增且有{an}{an}{an}a{an}的极限是唯一的一定有界，即存在一个常数，那么存在一个正整数上界，或者单调递减且有下a0，使得对任意都，使得当时，界，那么它一定收敛M|an|≤M nN nNan0成立数列极限的计算方法直接计算1代入极限值，计算结果利用极限性质2运用极限的性质简化计算夹逼定理3利用夹逼定理求极限等价无穷小量4用等价无穷小量代替原式数列极限的计算方法多种多样，根据不同的数列和不同的计算目标，可以选择不同的方法直接计算是最基本的方法，但并不总能奏效利用极限的性质可以简化计算过程，如加法、乘法、除法、复合等性质夹逼定理适用于无法直接计算的数列极限，通过构造两个已知极限的数列来夹逼目标数列等价无穷小量是极限计算中常用的技巧，可以将复杂的表达式简化为简单的形式，方便计算夹逼定理夹逼定理应用证明如果两个数列分别从两侧逼近同一个极通过夹逼定理可以求解某些难以直接计证明夹逼定理需要用到数列极限的定义限，那么夹在这两个数列之间的数列也算的数列极限和三角不等式会收敛到同一个极限洛必达法则应用条件步骤洛必达法则用于解决函数极限将分子和分母分别求导，然后的不定式问题，如或计算新的极限如果新的极限0/0∞/∞的情况存在，则原极限也存在且相等优势简化计算过程，使复杂函数的极限求解变得更易于操作函数极限的基本性质唯一性有界性保号性如果函数在趋近于时的极限存在，如果函数在趋近于时的极限存在，如果函数在趋近于时的极限存在，fx x a fx xafxxa则该极限值是唯一的则存在一个常数，使得，其中且该极限值大于，则存在一个以为中M|fx|≤M x0a在某个以为中心的邻域内且心的邻域，使得当在该邻域内且时a x≠a xx≠a，fx0函数极限的计算方法代入法1当函数在极限点处连续时，直接代入极限值即可得到函数的极限因式分解法2对函数进行因式分解，消除极限点处的零因子，再代入极限值有理化法3对函数进行有理化，消除极限点处的无穷大，再代入极限值等价无穷小量替换法4用等价无穷小量替换函数中的某些部分，简化计算洛必达法则5当函数极限为0/0或∞/∞型不定式时，可使用洛必达法则进行求解夹逼定理6当函数极限为0/0或∞/∞型不定式时，可使用夹逼定理进行求解函数极限与连续性的关系函数极限反映了函数在某一点附近的“趋势”，而连续性则要求函数在该点处“平滑”如果函数在某一点存在极限，但该点的函数值与极限不相等，那么函数在该点不连续单侧极限与双侧极限单侧极限双侧极限函数连续性123从左侧或右侧逼近一个点的极限当左右极限都存在且相等时，称一个函数在某一点连续，当且仅，分别称为左极限和右极限该点存在双侧极限当该点存在双侧极限且等于函数值无穷小量的概念接近零极限为零符号表示当自变量趋于某个特定值时，函数的值无穷小量是当自变量趋于某个特定值时通常用字母、、等表示无穷小量αβγ趋于零，其函数的极限为零的量等价无穷小量定义应用12当自变量趋于某个值时，两等价无穷小量可以简化函数个无穷小量之比的极限为极限的计算，使计算过程更1，则称它们为等价无穷小量加便捷高效常见等价无穷小量3例如，当趋于时，等价于，等价于x0sinx xtanx x无穷小量的运算加法1两个无穷小量的和仍然是无穷小量减法2两个无穷小量的差仍然是无穷小量乘法3无穷小量与有界量的积仍然是无穷小量除法4无穷小量除以非零常数仍然是无穷小量需要注意的是，无穷小量不能进行除法运算，因为除以零没有意义高阶无穷小量定义例子若有两个无穷小量和，且，则当时，是比高阶的无穷小量，因为αxβx limx→aαx/βx=0x→0x²x limx→0x²/x=称是比高阶的无穷小量αxβx limx→0x=0无穷大量的概念无限增大符号当自变量趋于某个极限值时，函数无穷大量通常用符号表示，它表∞的值无限增大，则称该函数为无穷示一个无限大的值大量无穷大量的运算加减运算无穷大量与有限数的加减运算结果仍为无穷大量例如，x→∞时，x+1=x乘除运算无穷大量与有限数的乘除运算结果仍为无穷大量，无穷大量与无穷大量的乘除运算结果可能为无穷大量，也可能为有限数，具体取决于两个无穷大量的阶数幂运算无穷大量的幂运算结果仍然为无穷大量，例如，x→∞时，x²=∞需要注意的是，无穷大量不能直接作为指数函数的连续性定义性质当自变量在某一点的附近变化连续函数的性质包括中间值时，函数值也随之变化，并且定理、介值定理、最大值最小变化趋于零这表明函数在该值定理等，这些性质在数学分点处是连续的析中有着广泛的应用应用连续函数在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用，例如微分方程、积分计算等连续函数的性质连续函数的图形极限的传递性连续函数的图形在定义域内没有间断点，是如果函数在某一点连续，那么该点的函数极一条连续的曲线限等于函数值介值定理最值定理如果函数在闭区间上连续，那么它在该区间如果函数在闭区间上连续，那么它在该区间上取遍所有介于函数值之间的值上一定存在最大值和最小值间断点的分类第一类间断点第二类间断点第一类间断点是指函数在该点左右极限都存在，但左右极限不第二类间断点是指函数在该点左右极限至少有一个不存在，或相等或极限不存在者左右极限都存在，但都不等于函数值又分为跳跃间断点和振荡间断点两种第二类间断点无法通过简单的修改函数值来消除函数的间断点第一类间断点第二类间断点12函数在间断点附近存在左右极限，但左右极限不相等函数在间断点附近至少有一个极限不存在，或左右极限都存在但都不等于函数值可去间断点跳跃间断点34函数在间断点附近左右极限相等，但函数值不存在或不等于函数在间断点附近左右极限存在且不相等极限值函数的连续性检验直接代入法1直接代入求解函数值定义法2使用函数极限的定义判断间断点法3判断是否存在间断点函数的连续性检验是判断函数在特定点是否连续的过程常用的方法包括直接代入法、定义法和间断点法直接代入法适用于函数在该点处没有间断点定义法需要使用函数极限的定义进行判断，而间断点法则是通过分析函数是否存在间断点来判断连续性函数极限存在的充要条件连续性单调性有界性震荡性函数在某一点连续，则该点单调函数在某一点的极限存有界函数在某一点的极限不震荡函数在某一点的极限可极限存在，且等于函数值在，但可能不等于函数值一定存在，但如果存在，则能不存在，例如，当函数在必为有限值该点附近无限振荡时函数极限的应用求函数的渐近线判断函数的连续性利用极限求解函数的水平渐近利用极限判断函数在某点处的线、垂直渐近线和斜渐近线连续性或间断性，并确定间断点的类型计算定积分求解微分方程利用极限方法求解定积分，包利用极限求解微分方程，例如括利用黎曼和或牛顿莱布尼兹求解常微分方程的通解或特解-公式本课程小结课程全面介绍了数列函数的极限概念及相关理论学习了数列极限的定义、性质、计算方法和应用掌握了函数极限的定义、判断方法、计算方法和应用了解了函数极限与连续性之间的关系练习与总结复习重点巩固练习总结反思123回顾数列函数极限的定义、性质完成课后练习题，并尝试解答一总结学习内容，反思学习过程，和计算方法些拓展问题并展望下一步学习目标。