《数列部分系统复习》课件

数列部分系统复习数列是高中数学的重要内容之一，也是大学数学的基础知识本节课我们将对数列部分进行系统复习，帮助大家更好地理解和掌握数列的知识数列定义及分类定义分类

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2.12数列是由一系列按照特定规律数列可分为有限数列和无限数排列的数字组成每个数字称列，根据项与项之间的关系，为数列的项又可分为等差数列、等比数列等常见类型应用

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4.34等差数列项与项之间的差值数列在数学、物理、经济学等相等等比数列项与项之间领域有着广泛的应用的比值相等等差数列等差数列定义通项公式等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个等差数列的通项公式为an=a1+n-1d，其中a1表示首项，常数，这个常数称为公差d表示公差等差数列的性质首尾项性质等差中项性质等差数列的求和公式等差数列中，任意两项的和等于其对应等差数列中，任意两项的算术平均值等等差数列的前n项的和等于首项与末项位置的项的和于这两项中间的项的和乘以项数的一半等差数列的求和求和公式等差数列的求和公式是一个重要的公式，可以快速计算出等差数列的总和公式推导公式的推导过程基于数列的性质和规律，通过巧妙的排列和计算，得到了最终的公式应用场景该公式可用于解决各种实际问题，例如计算等差数列的和、预测等差数列的未来值等等比数列定义等比数列是指从第二项起，每一项与其前一项的比值都等于同一个常数的数列，这个常数称为等比数列的公比通项公式等比数列的通项公式为an=a1*q^n-1性质等比数列的各项的符号取决于首项和公比的符号等比数列的性质公比的符号项与项的关系等比数列的性质等比中项公比为正数时，等比数列各项等比数列中，任何一项都是它等比数列各项的平方仍然构成等比数列中，任意两项的等比符号相同公比为负数时，前一项的公比倍也就是说等比数列等比数列各项的中项为这两项的几何平均数等比数列各项符号交替出现，an=an-1*q立方也仍然构成等比数列等比数列的求和公式推导1利用等比数列的性质，推导出求和公式公式应用2将公式代入具体数值，计算等比数列的和特殊情况3讨论公比为和公比不为的两种情况11等比数列的求和公式是解决等比数列相关问题的关键通过推导公式，可以更深入地理解等比数列的性质，并灵活运用公式解决实际问题数列的收敛与发散收敛数列发散数列收敛数列的项趋近于一个确定的发散数列的项不趋近于任何一个值，称为数列的极限确定的值判断方法通过观察数列项的趋势、利用极限公式、夹逼定理等方法判断数列收敛或发散无穷等比数列收敛与发散发散当公比的绝对值小于时，无穷等比数列收敛，其极限为首项除以当公比的绝对值大于或等于时，无穷等比数列发散，这意味着它111减去公比没有极限正项数列的极限正项数列的极限是指当项数趋于无穷大时，数列的项趋近于一个确定的值如果该极限存在，则称该数列收敛；否则，称该数列发散正项数列的极限可以用来描述一些实际问题，例如，银行存款的利息，股票的增长，以及自然界中的一些现象，例如，人口增长，放射性物质的衰变等等1收敛当数列的项趋近于一个确定的值时，该数列收敛2发散当数列的项不趋近于任何一个确定的值时，该数列发散3极限值收敛数列的极限值就是该数列的项趋近的值负项数列的极限负项数列指的是所有项均为负数的数列当一个负项数列的项趋近于一个负数时，我们说这个数列收敛于该负数负项数列的极限可以通过以下步骤来求解首先，我们需要确定数列的通项公式然后，我们用极限的概念来求解通项公式的极限

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2.最后，我们得到数列的极限

3.例如，数列的通项公式为我们可以发现，当趋近于无穷大时，趋近于因此，这个-1,-1/2,-1/4,-1/8,...an=-1/2^n-1n an0负项数列的极限为0交错数列的极限交错数列是指正负项交替出现的数例如1,-1,1,-1,...列交错数列的极限是指当趋于无穷例如当趋于无穷大时，数列n n1,大时，数列的项趋近于某个常数-1,1,-1,...的极限为0判断交错数列是否收敛，可以使用该方法要求数列的项趋于0，并且莱布尼茨判别法数列的项的绝对值是单调递减的夹逼定理三个数列上下界

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2.12夹逼定理涉及三个数列一个上限数列的值始终大于或等于目标数列，一个上限数列和一目标数列，而下限数列的值始个下限数列终小于或等于目标数列极限相等确定极限

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4.34当上限数列和下限数列的极限夹逼定理可以帮助确定目标数相等时，目标数列的极限也等列的极限，即使目标数列本身于该极限难以直接计算判断数列收敛或发散的方法数列极限的定义收敛判别法发散判别法数列极限的概念是判断数列收敛或发散的常用的收敛判别法包括单调有界准则、柯发散判别法主要通过观察数列的极限行为关键如果数列趋近于一个特定的值，则西收敛准则以及一些特殊数列的收敛性判来判断例如，如果数列趋近于无穷大或该数列收敛，否则发散定方法无穷小，则该数列发散数列极限的性质唯一性有界性保号性运算性质一个数列只有一个极限收敛数列一定有界若数列的极限大于零，则从某数列极限的运算性质可以用来项起，该数列的所有项都大于计算数列的极限零数列极限的应用求曲线长度计算面积12利用数列极限可以求解曲线长度，如圆利用数列极限可以计算平面图形的面积周长、椭圆周长等，如三角形面积、圆形面积等求解体积研究物理量34利用数列极限可以计算立体图形的体积利用数列极限可以研究物理量，如速度，如球体体积、圆柱体体积等、加速度、功等函数的连续性函数图像无断点极限等于函数值函数连续性定义连续函数图像连续平滑，没有间断点或跳跃在函数定义域内，函数的极限等于函数值对于函数fx在点x=a处的连续性，fa存点在且极限值等于函数值函数的间断点间断点定义间断点分类间断点识别间断点的意义函数的间断点是指函数不连续函数的间断点可以分为三类可以通过观察函数图像、计算间断点反映了函数在该点处的的点也就是说，当自变量趋可去间断点、跳跃间断点和无极限或判断函数是否满足连续性质，例如，函数在该点处可近于间断点时，函数值并不趋穷间断点性定义来识别函数的间断点能存在突变或不连续近于该点的函数值一元函数的连续性判定函数定义1函数定义域内所有点都必须有定义极限存在2该点处的极限必须存在极限等于函数值3该点的极限值等于函数值判定一个函数在某点是否连续，需要满足三个条件函数在该点必须有定义，该点处的极限必须存在，并且该点的极限值必须等于函数值如果这三个条件都满足，则该函数在该点是连续的常见初等函数的连续性指数函数对数函数定义域为实数集，图像连续，无间断点定义域为正实数集，图像连续，无间断点三角函数多项式函数定义域为其定义区间，图像连续，无间断点定义域为实数集，图像连续，无间断点函数连续性的应用求极限证明函数的性质利用连续函数的性质，可以将求极限问题转利用连续函数的性质，可以证明函数的单调化为求函数值问题，简化运算性、有界性等性质微分方程工程应用连续函数是微分方程解存在的条件之一在物理、化学、工程等领域，许多实际问题都可以用连续函数来描述，例如温度、压力、速度等导数的概念变化率切线斜率导数代表函数在某一点处的瞬时导数也是函数图像在某一点处的变化率它描述了函数值随着自切线的斜率它反映了函数在该变量变化而变化的速率点处的变化方向微分运算导数是微积分中的一个基本概念，它代表了对函数进行微分运算的结果导数的性质可导性导数的几何意义导数的物理意义导数的应用如果函数在某一点可导，则它导数表示曲线在某一点的切线导数表示函数在某一点的变化导数可以用来求函数的极值、在该点连续，但反之不成立的斜率，反映了曲线在该点的率，例如，速度是位置函数关拐点、单调性等性质，并广泛例如，函数y=|x|在x=0处连变化趋势例如，当导数为正于时间的导数，加速度是速度应用于物理、化学、经济等领续，但不可导时，曲线在该点上升；当导数函数关于时间的导数域为负时，曲线在该点下降；当导数为零时，曲线在该点可能存在极值点导数的基本公式常数函数幂函数

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2.12常数函数的导数为，即幂函数的导数为，0n*x^n-1即d/dxc=0d/dxx^n=n*x^n-1指数函数对数函数

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4.34指数函数的导数为对数函数的导数为a^x*，即，即lna d/dxa^x=a^x*1/x*lnalna d/dxlog_ax=1/x*lna高阶导数定义函数的高阶导数是指对函数进行多次求导的结果表示用符号或表示函数的阶导数，为正整数fnx yn nn计算计算高阶导数可以通过对函数进行多次求导得到函数的单调性与极值单调性极值导数与单调性导数与极值函数在某个区间内单调递增或极值是指函数在某一点取得的导数的正负性决定了函数的单导数为零的点或导数不存在的单调递减，意味着函数值随自局部最大值或局部最小值，是调性，导数为正则函数递增，点可能是函数的极值点，但需变量的变化而发生规律性的变函数变化趋势的转折点导数为负则函数递减要进一步判断化函数图像的描绘函数图像的描绘是理解函数性质和应用的重要工具通过描绘函数图像，我们可以直观地观察函数的单调性、极值、拐点等特征，并可以更深入地理解函数的行为描绘函数图像需要掌握一些基本方法，例如求函数的定义域、值域、零点、单调区间、极值点、拐点等利用这些信息，结合函数图像的形状特点，就可以绘制出比较准确的函数图像积分的概念面积的计算体积的计算12积分可以用来计算平面图形的面积积分可以用来计算立体图形的体积曲线的长度物理量的计算34积分可以用来计算曲线的长度积分可以用来计算工作、能量、质量等物理量不定积分基本概念1不定积分是导数的逆运算，求导数的过程是寻找函数的导函数，而求不定积分的过程是寻找一个函数的原函数积分符号2不定积分的符号为，表示所有导数为的函数∫∫fxdx fx积分常数3不定积分的结果中包含一个任意常数，称为积分常数，记为C，表示任意常数定积分定义定积分是函数在某一区间上的积分，表示该区间上函数曲线与x轴围成的图形的面积计算方法可以通过牛顿-莱布尼茨公式来计算定积分，该公式将定积分与不定积分联系起来应用定积分广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，例如计算面积、体积、质量、功等应用题实际场景将数列知识与实际问题结合，例如•投资收益•人口增长•物理运动模型构建利用数列模型解决实际问题，例如•等差数列计算年金•等比数列模拟病毒传播数学工具运用数列知识和公式进行计算，例如•求解等差数列的和•计算等比数列的极限。