《数学分析华师大》课件

《数学分析华师大》课程介绍本课程为高等数学的重要组成部分，是学习后续相关课程的基础课程将深入讲解实数、函数、极限、连续、导数、积分等数学概念，并探讨其应用课程大纲极限概念连续函数•极限的定义与性质•连续函数的定义•单侧极限和双侧极限•连续函数的性质•无穷大与无穷小的概念•复合函数的连续性•极限的计算方法•初等函数的连续性•极限存在的必要条件•间断点的分类导数概念微分学的应用•导数的定义及几何意义•平面曲线的切线与法线•导数的计算规则•微分中值定理•高阶导数•洛必达法则•隐函数的微分•函数的凹凸性与拐点•函数的单调性与极值•函数的渐近线第一章极限概念极限概念是微积分学的基础，是理解连续函数、导数、积分等核心概念的关键本章将介绍极限的定义、性质、计算方法以及极限存在的必要条件极限的定义及性质极限定义极限性质12极限概念是数学分析的基础,是极限运算具有许多重要的性质,描述函数值在自变量无限接近包括极限的唯一性、有界性、某点时趋于一个固定值的现象.保号性等等.极限计算3掌握极限的定义和性质,可以利用极限的计算方法,例如代入法、等价无穷小代换法、洛必达法则等.单侧极限与双侧极限单侧极限双侧极限单侧极限指的是函数在自变量趋近于某一双侧极限是指函数在自变量趋近于某一点点时，仅从一个方向趋近于该点时，函数时，无论从左侧还是右侧趋近于该点，函值的极限例如，函数fx在x趋近于a数值的极限都存在且相等双侧极限存在时，从左侧趋近于a的极限记为limx→a-的前提是左右单侧极限都存在且相等记fx，从右侧趋近于a的极限记为为limx→a fxlimx→a+fx无穷大与无穷小的概念无穷大无穷小无穷大表示一个无限大的值，它不受任何界限的限制无穷小表示一个无限小的值，它接近于零但永远不等于零极限的计算方法直接代入法当函数在自变量趋于极限值时，函数的值也趋于一个确定的值，则可以用直接代入法求极限例如，函数fx=x^2+1在x趋于2时，函数的值趋于5，因此极限值为5因式分解法当函数在自变量趋于极限值时，函数的值可能出现无穷大或无穷小，可以用因式分解法化简函数，消除无穷大或无穷小，进而求极限等价无穷小替换法当函数在自变量趋于极限值时，可以用等价无穷小替换法，用更简单的函数替换原函数，求极限洛必达法则当函数在自变量趋于极限值时，函数的值可能出现0/0或∞/∞的不确定形式，可以使用洛必达法则求极限极限存在的必要条件有界性单调性如果一个函数在某点附近有极限如果一个函数在某点附近单调增，则它在该点附近一定有界这加或单调减少，则它在该点附近意味着函数的值不会无限增长或可能存在极限，但也有可能不存下降在柯西收敛准则柯西收敛准则是判定函数极限存在的一个重要条件，它与函数的振荡有关第二章连续函数连续函数是数学分析的重要概念之一本章将介绍连续函数的定义、性质及其相关应用连续函数的定义

11.函数值存在

22.极限值存在函数在定义域内每个点都有唯当自变量趋于某个点时，函数一的值，且该值是有限的的值也趋于某个确定的值

33.极限值等于函数值在该点处的极限值必须等于该点处的函数值连续函数的性质中间值定理介值定理最大值最小值定理如果函数在一个闭区间上连续，那么它连续函数的图像在两点之间没有间断，连续函数在一个闭区间上必取得最大值在这个区间内取遍所有介于函数值之间也就是说它可以在两个点之间平滑地连和最小值，这表示它在这个区间内存在的值接最高点和最低点复合函数的连续性复合函数一个函数的输出作为另一个函数的输入，形成复合函数连续性函数在定义域内没有间断点，图像连续不断链式法则复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数的导数初等函数的连续性初等函数的类型连续性证明常见结论常数函数、幂函数、指数函数、对数函数证明初等函数的连续性，通常采用极限的初等函数在其定义域内都是连续函数，这、三角函数、反三角函数等都属于初等函定义或利用已知函数的连续性在数学分析中是一个重要结论数间断点的分类第一类间断点第二类间断点无穷间断点函数在该点处有左右极限且极限值相等该函数在该点处左右极限存在但不相等，或左函数在该点处左右极限中至少有一个为无穷点称为可去间断点可去间断点可以通过重右极限中至少有一个不存在该点称为跳跃大，该点称为无穷间断点新定义函数值来消除间断性间断点第三章导数概念导数是微积分的核心概念之一，它反映了函数在某一点的变化率导数的概念不仅在数学领域有广泛应用，还与物理、经济、工程等众多学科密切相关导数的定义及几何意义导数定义导数表示函数在某一点的变化率几何意义导数表示函数曲线在该点切线的斜率函数图像导数可以帮助我们分析函数图像的形状、变化趋势和极值导数的计算规则求导公式求导法则链式法则常用的导数计算公式，例如常数的导数为0包含求导法则，例如求和、求差、乘积、除计算复合函数的导数，例如y=fu,u=gx，幂函数的导数，三角函数的导数等法的导数的导数y=fu*gx高阶导数

11.二阶导数

22.高阶导数的定义当一个函数的导数是另一个函数时，可以对导数再求导，得函数的n阶导数就是对该函数进行n次求导得到的函数，它描到二阶导数述了函数的变化率的變化率

33.常见函数的高阶导数

44.高阶导数的应用对于一些常见的函数，例如多项式函数、指数函数、三角函高阶导数在数学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用数，它们的n阶导数可以很容易地求出，例如在曲线的凹凸性分析和泰勒展开式中隐函数的微分步骤•对方程两边同时求导•使用链式法则求导•将所有y项移到一边，其余项移到另一边•解出y，得到y对于x的导数表达式定义隐函数是指无法直接表示为y=fx的函数，其关系式通常用方程的形式表示对于隐函数Fx,y=0，要计算y对于x的导数，需要使用隐函数微分法函数的单调性与极值单调性极值函数的单调性是指函数值随自变极值是指函数在某个区间内的最量的变化趋势大值或最小值求单调性求极值可以通过导数的正负号来判断函可以通过求导数为零或不存在的数的单调性点来找到极值点第四章微分学的应用本章将介绍微分学在数学、物理和工程等领域的应用通过微分学，我们可以分析函数的性质，解决实际问题，并进行更深层的探索平面曲线的切线与法线切线法线应用切线是与曲线在某一点相切的直线，它表示法线是与切线垂直的直线，它垂直于曲线在切线和法线在物理学、工程学等领域有广泛曲线在该点处的瞬时方向该点处的切线的应用，例如计算物体在曲线路径上的速度和加速度微分中值定理

11.拉格朗日中值定理

22.柯西中值定理如果函数fx在闭区间[a,b]如果函数fx和gx在闭区间上连续，在开区间a,b上可[a,b]上连续，在开区间a,b导，那么在a,b上至少存在上可导，且gx在a,b上不一点ξ，使得fb-fa=为零，那么在a,b上至少存fξb-a.在一点ξ，使得[fb-fa]/[gb-ga]=fξ/gξ.

33.应用微分中值定理可以用来证明一些重要的结论，例如泰勒公式、积分中值定理等.洛必达法则极限计算条件判断洛必达法则应用于求解极限，尤使用该法则需要满足特定条件，其是在无法直接计算的情况下例如分母与分子均趋近于零或无穷大导数运算应用范围洛必达法则利用导数的性质，通该法则在数学分析、微积分以及过计算导数求极限相关领域广泛应用函数的凹凸性与拐点凹凸性拐点函数图像的凹凸性是指函数图像的弯拐点是函数图像凹凸性发生变化的点曲方向二阶导数图像分析二阶导数可以用来判断函数的凹凸性通过图像可以直观地观察函数的凹凸，并找出拐点性与拐点函数的渐近线水平渐近线垂直渐近线斜渐近线当自变量趋于正负无穷时，函数的值趋于当自变量趋于某个值时，函数的值趋于正当自变量趋于正负无穷时，函数的值与一一个常数，则该常数对应的直线称为函数负无穷，则该值对应的直线称为函数的垂个斜率为k，截距为b的直线的距离趋于的水平渐近线直渐近线0，则该直线称为函数的斜渐近线例如，函数y=1/x的水平渐近线为y=0例如，函数y=1/x-1的垂直渐近线为x=1例如，函数y=x+1/x的斜渐近线为y=x结束语感谢大家参与此次《数学分析华师大》课程介绍希望能够帮助大家更好地理解课程内容。