八年级数学变量与函数课件

变量与函数变量与函数是数学中重要的概念，它们是描述和研究数量关系的重要工具什么是变量定义举例变量是指可以改变的值它代表一个未知的量，可以是数字、文例如，你的年龄是一个变量随着时间的推移，你的年龄会发生字、符号等变化变量的表示字母表示代数式图表表示数学中常用字母来表示变量，例如用x代变量可以用字母和数字结合在一起构成代数变量也可以用图表来表示，例如用折线图、表未知数，用y代表自变量等式，用来表示变量之间的关系柱状图等展示变量的变化趋势变量的命名规则字母开头不能是关键字区分大小写有意义变量名必须以字母开头，可以变量名不能与系统保留的关键变量名区分大小写，age和变量名应该清晰易懂，反映变包含字母、数字和下划线字相同，例如if、else、Age是不同的变量量的含义等while变量在生活中的应用变量在生活中无处不在，从我们每天的消费到股票市场的波动，变量都在起着重要的作用例如，我们去超市购物，购买商品的价格就是一个变量，它会根据市场供求关系而发生变化学习变量可以帮助我们更好地理解生活中的各种现象，并做出更理性的决策什么是函数对应关系输入输出唯一性123函数表示两个变量之间的一种对应关函数就像一个“黑盒子”，输入一个每个输入值只能对应一个输出值，不系，一个变量的值确定后，另一个变值，就会输出一个值能有多个输出值量的值也随之确定函数的表达方式解析式1用一个等式来表示函数关系，比如，其中是自变y=2x+1x量，是因变量y图像2用坐标系上的点集来表示函数关系，每个点对应一个自变量和因变量的值列表3用表格的形式来表示函数关系，每一行对应一个自变量和因变量的值函数的特性对应关系定义域与值域每个自变量都有且仅有一个对应函数的定义域表示自变量的取值的函数值，这保证了函数的唯一范围，值域表示函数值的取值范性围单调性奇偶性函数在定义域内，当自变量增大对于定义域内任意一个自变量x，时，函数值也随之增大，称为单如果函数满足f-x=fx，则称调递增函数反之，则称为单调为偶函数；如果函数满足f-x=递减函数-fx，则称为奇函数函数的图像函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的变化规律，更方便地研究函数的性质例如，一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线，反比例函数的图像是一个双曲线一次函数定义图像一次函数是指形如y=kx+b k≠0的函数，其中k和b是常数一次函数的图像是一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，截距，称为一次函数的斜率，称为一次函数的截距决定了直线与轴的交点k bb y性质应用一次函数的性质包括单调性、奇偶性、对称性等，这些性质可以帮一次函数在现实生活中有着广泛的应用，例如描述速度和时间的关助我们更深入地理解一次函数系、计算成本和利润等一次函数的表达式一般式1y=kx+b斜截式2y=kx+b点斜式3y-y1=kx-x1一次函数表达式是表示一次函数关系的数学公式常用三种表达式一般式、斜截式和点斜式一般式适用于所有一次函数，斜截式能够直观地体现出函数的斜率和截距，点斜式则能够方便地用已知点和斜率来表示函数一次函数的图像一次函数的图像是一条直线直线的倾斜程度由一次函数的斜率决定，斜率越大，直线越陡直线与轴的交点是函数的常数项y一次函数的图像可以用来表示现实生活中的各种关系，比如速度和时间的关系、距离和时间的关系等等一次函数的性质斜率截距单调性对称性一次函数的图像是一条直线，一次函数的图像与纵轴的交点一次函数的图像是一条直线，一次函数的图像关于原点中心其斜率表示直线的倾斜程度，坐标称为截距，它表示当自变它具有单调性，即随着自变量对称，即如果点x,y在一次它反映了自变量变化一个单位量为零时，因变量的值的增大或减小，因变量也随之函数图像上，那么点-x,-y时，因变量的变化量增大或减小也在图像上一次函数的应用一次函数在现实生活中有着广泛的应用，例如计算商品的价格•预测未来天气•分析人口增长•设计机器零件•反比例函数反比例函数图像反比例函数表达式反比例函数性质反比例函数应用反比例函数的图像是一条双曲反比例函数的表达式为y=k/x反比例函数有许多重要的性质反比例函数在现实生活中有很线，它有两个分支，并且关于，其中k为常数且不等于0，例如，它在定义域内单调递多应用，例如，它可以用来描原点对称增或递减，并且它有水平渐近述两个变量之间的反比例关系线和垂直渐近线，比如速度和时间之间的关系反比例函数的表达式一般形式1y=k/x k≠0特殊形式2y=a/x a≠0图像特征3双曲线，过第

一、三象限或第

二、四象限定义域4x≠0反比例函数的表达式由两个部分组成常数（或）和变量的倒数常数（或）决定了双曲线的形状和位置图像特征是双曲线，它可以位k ax ka于第

一、三象限或第

二、四象限定义域是所有实数除了0反比例函数的图像反比例函数的图像为双曲线，它关于原点对称双曲线的两支分别位于坐标轴的两个象限，且越靠近坐标轴，图像越接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交双曲线的形状取决于常数的值，当时，双曲线位于第一和第三象限；k k0当时，双曲线位于第二和第四象限k0反比例函数的性质

11.定义域和值域

22.对称性反比例函数的定义域是所有非零实数，值域也是所有非零实数反比例函数的图像关于原点对称

33.单调性

44.渐近线当时，反比例函数在第

一、三象限单调递减，在第

二、四象反比例函数的图像有两个渐近线，分别是轴和轴k0x y限单调递增；当时，反比例函数在第

一、三象限单调递增，k0在第

二、四象限单调递减反比例函数的应用汽车行驶速度和时间工作效率和工作时间水深和水流速度浓度和溶液体积汽车行驶速度和行驶时间成反工作效率和工作时间也成反比水深和水流速度成反比例关系溶液的浓度和溶液的体积成反比例关系，速度越快，行驶时例关系，效率越高，工作时间，水深越浅，水流速度越快比例关系，浓度越高，溶液的间越短例如，一辆汽车以60越短例如，如果一个人每天例如，在河流中，水深较浅的体积越小例如，如果将100公里/小时的速度行驶2小时，工作8小时，可以完成16个工区域水流速度通常更快，而水克糖溶解在100克水中，得到则它行驶了120公里如果它作单位，那么如果他的效率提深较深的区域水流速度通常更200克浓度为50%的糖水以120公里/小时的速度行驶，高到两倍，他可以在4小时内慢如果将100克糖溶解在200则行驶时间将减少一半，仅为完成个工作单位克水中，则得到克浓度为116300小时

33.3%的糖水二次函数特征二次函数的图像为抛物线，其顶点坐标可以通过公式计算得出抛物线开口方向取决于系数a的符号二次函数的表达式一般形式二次函数的一般形式为，其中、、为常数y=ax²+bx+c a≠0a bc顶点形式二次函数的顶点形式为，其中为二次函数的顶点坐标y=ax-h²+k h,k交点式二次函数的交点式为₁₂，其中₁和₂为二次函数与轴的交点坐标y=ax-x x-xx xx二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线抛物线的形状取决于二次项系数的符号，正数开口向上，负数开口向下抛物线的顶点是抛物线对称轴的交点，也是函数的最小值或最大值点二次函数的性质对称性开口方向12二次函数图像关于对称轴对称二次函数图像开口向上或向下，对称轴为直线取决于二次项系数的正负号x=-b/a2a.顶点增减性34顶点坐标为当时，函数在对称轴左-b/2a,f-b/a0，顶点是图像的最高点侧递减，右侧递增；当2a a0或最低点时，函数在对称轴左侧递增，右侧递减二次函数的应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用，例如，抛物线运动轨迹可以用二次函数来描述，比如，篮球运动员投篮时篮球的运动轨迹桥梁的设计、建筑物的高度、物体运动轨迹等问题都可以利用二次函数来进行分析和解决，体现了数学模型在实际问题中的应用价值函数综合应用实际问题模型化解决问题将实际问题转化为函数模型，例如，用一利用函数的性质和图像，解决实际问题，次函数表示商品价格与数量的关系，用二例如，求解最佳方案、预测未来发展趋势次函数表示抛物线轨迹函数的变化规律增减性函数在某个区间内，随着自变量的增大，函数值也随之增大，则该函数在这个区间内是增函数；反之，函数值随之减小，则该函数在这个区间内是减函数单调性如果一个函数在其定义域内是增函数或减函数，则称该函数具有单调性最大值和最小值函数在某个区间内，取得最大值或最小值的点，称为该函数在该区间内的极值点周期性如果一个函数在它的定义域内，存在一个非零的常数T，使得对任意自变量x，都有fx+T=fx，则称该函数是周期函数，T称为该函数的周期函数的实际应用函数在现实生活中有着广泛的应用例如，可以利用一次函数来描述物体的运动轨迹，用反比例函数来描述气体压强和体积的关系，用二次函数来描述抛射物体的运动轨迹等函数不仅可以帮助我们理解现实世界，还可以帮助我们解决实际问题例如，我们可以利用函数来预测未来趋势，优化生产过程，提高工作效率等函数知识点回顾函数的概念一次函数反比例函数二次函数理解函数的概念、表达式、图掌握一次函数的表达式、图像了解反比例函数的表达式、图掌握二次函数的表达式、图像像和性质和性质像和性质和性质本课程总结本课程回顾了变量和函数的概念，并深入探讨了一次函数、反比例函数和二次函数的性质和应用我们学习了如何用函数表示现实世界中的关系，并使用函数来解决实际问题。