函数与图象复习课件

函数与图象复习函数与图象是高中数学的重要内容通过函数的概念，我们可以描述现实世界中的各种关系函数的图象可以直观地展示函数的性质，例如单调性、奇偶性、周期性等什么是函数？函数是将一个集合中的元素对函数接收输入，根据规则进行对于每一个输入，函数只能对函数可以表示为映射关系•应到另一个集合中的元素的规处理，并输出结果应一个输出则将输入映射到唯一的输出•函数的性质定义域值域单调性奇偶性函数定义域是所有自变量的集函数值域是所有因变量的集合函数的单调性描述了函数值随奇函数的图像关于原点对称，合，是函数能够接受的值的范，是函数输出的值的范围自变量变化的趋势偶函数的图像关于轴对称y围单调递增的函数图像向上倾斜函数的定义域决定了函数图像函数的值域决定了函数图像的，单调递减的函数图像向下倾奇函数的图像和偶函数的图像的横轴范围纵轴范围斜具有不同的对称性函数的表示解析式图像12使用数学表达式来表示函数，在坐标系中，将函数的对应点例如或连接起来形成的曲线y=2x+1fx=x²表格文字描述34列出函数的自变量和因变量的使用语言文字来描述函数的规值，可以直观地展示函数的对律，例如是的两倍加“y x应关系1”函数的运算函数的加减法1两个函数相加减得到新的函数，其定义域为两个函数定义域的交集函数的乘法2两个函数相乘得到新的函数，其定义域为两个函数定义域的交集函数的除法3两个函数相除得到新的函数，其定义域为两个函数定义域的交集，并且分母函数不能为零函数的复合4将一个函数作为另一个函数的自变量，得到新的函数，其定义域需要满足复合条件函数的分类按定义域分类按值域分类函数可以根据定义域的类型进行函数也可以根据值域的类型进行分类，例如实数函数、复数函数分类，例如实值函数、复值函数、向量函数等例如，定义在实、向量值函数等例如，值域为数集上的函数称为实数函数实数集的函数称为实值函数按表达式分类按性质分类根据函数表达式中包含的运算类函数还可以根据其性质进行分类型，可以将函数分为代数函数、，例如单调函数、奇偶函数、周超越函数、分段函数等期函数、有界函数等基本初等函数指数函数对数函数三角函数多项式函数指数函数定义域为全体实数，对数函数定义域为正实数，值三角函数定义域为实数，值域多项式函数定义域为全体实数值域为正实数图像过点域为全体实数图像过点为图像具有周期性和，图像通常为连续曲线0,11,0[-1,1]，且随着自变量的增大，函数，且随着自变量的增大，函数对称性值单调递增值单调递增指数函数和对数函数指数函数对数函数指数函数的基本形式为且，其中为底数，为指数指对数函数是指数函数的反函数，其基本形式为且，其中y=a^x a0a≠1a x y=logax a0a≠1a数函数的图像是一个单调的曲线，当时，图像单调递增；当为底数，为真数对数函数的图像也是一个单调的曲线，当时，图像单调a10x a1递增；当0三角函数定义和表示单位圆三角函数是描述三角形边角关系单位圆是研究三角函数的重要工的函数常见的三角函数有正弦具，它将角度与三角函数值建立、余弦和正切起对应关系sin costan性质和应用三角函数具有周期性、对称性等重要性质，在物理、工程等领域有广泛应用反三角函数定义性质应用反三角函数是三角函数的反函数，例如反余反三角函数具有奇偶性、单调性、周期性等反三角函数广泛应用于物理学、工程学、计弦函数，其定义域为，值域为性质，可用于求解三角方程和三角不等式算机科学等领域[-1,1][0,π]复合函数函数的嵌套复合函数的表达式实际应用复合函数是指一个函数的输出作为另一个函复合函数的表达式通常表示为，其复合函数在物理学、经济学等领域有着广泛fgx数的输入中是内函数，是外函数的应用gx fx反函数定义性质12如果函数的定义域和反函数图像关于直线对称y=fx y=x值域分别为和，那么对；反函数的定义域和值域分别D R于中的每一个值，在为原函数的值域和定义域；反R yD中恰好对应一个值，使得函数的单调性与原函数相同x，则称的反函y=fx y=fx数为x=f-1y求解3求解反函数的步骤交换和，然后解出关于的表达式，即得xyy x到反函数函数的图像函数的图像是在平面直角坐标系中，以自变量为横坐标，因变量为纵坐标，描绘所有函数值对应的点所形成的图形函数的图像可以直观地展现函数的变化规律，以及函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等函数图像在数学研究中扮演着重要的角色，通过图像可以更加深入地理解函数的性质和应用函数图像的性质对称性单调性极值渐近线对称性是指函数图像关于某一点单调性是指函数图像在某个区间函数的极值是指函数图像在某个渐近线是指函数图像当自变量趋或某直线对称例如，偶函数图内是单调递增或单调递减的例局部范围内取得最大值或最小值于无穷大或某一个值时，无限接像关于轴对称，奇函数图像如，当函数的导数大于零时，函例如，函数的导数等于零，且近于某一条直线或曲线例如，y关于原点对称数图像在该区间内单调递增导数在该点附近发生变化，则该当函数的极限存在时，函数图像点可能为极值点可能存在水平渐近线函数图像的平移水平平移向左平移1向右平移垂直平移向上平移2向下平移函数图像平移是指将函数图像沿坐标轴方向移动一定距离水平平移是指将函数图像沿横轴方向移动，垂直平移是指将函数图像沿纵轴方向移动函数图像的伸缩纵向伸缩将函数图像沿纵轴方向拉伸或压缩，得到新的函数图像例如，的图像沿纵轴方向拉伸或压缩倍，得到新的函数图像y=fx ky=kfx横向伸缩将函数图像沿横轴方向拉伸或压缩，得到新的函数图像例如，的图像沿横轴方向拉伸或压缩倍，得到新的函数图像y=fx ky=fx/k伸缩的组合将函数图像同时沿纵轴和横轴方向拉伸或压缩，得到新的函数图像例如，的图像沿纵轴方向拉伸倍，沿横轴方向压缩倍，得到y=fx kk新的函数图像y=kfx/k函数图像的对称轴对称1关于某一条直线对称中心对称2关于某一个点对称奇偶性3奇函数关于原点对称，偶函数关于轴对称y函数图像的对称性是重要的性质之一，可以通过观察函数图像来判断函数的极值和单调性极值的概念单调性的概念

1.

2.12函数在某个区间上的最大值或函数在某个区间上，如果自变最小值被称为函数的极值，极量的值增大时，函数的值也随值点是函数取得极值时的自变之增大，则称函数在这个区间量的值上是单调递增的极值与单调性的关系求极值和单调性的方

3.

4.34法函数的极值点通常出现在函数的单调性发生变化的地方，也求极值和单调性的方法主要包就是导数为零或导数不存在的括求导数、判断导数的正负号地方、分析函数图像等函数的周期性周期函数周期对于函数，如果存在一个非零常数满足上述条件的最小正数称为函数fx TT，使得对于定义域内任意实数，都有的周期，也称为最小正周期x fx成立，则称为周期fx+T=fx fx周期函数的周期可以是任何非零实数，但函数不一定是正数周期函数在一个周期内重复出现，图像形状完全相同函数的奇偶性奇函数偶函数定义域关于原点对称，满足定义域关于原点对称，满足f-x f-x=-fx=fx判断方法将替换为，观察函数表达式是否满足奇函数或偶函数的定义x-x函数的有界性有界函数无界函数上界和下界有界性与图像函数值在某个区间内，始终保如果函数值在某个区间内，可函数值在某个区间内的最大值有界函数的图像在一定区间内持在一定的范围之内，则称该以无限增大或无限减小，则称称为该函数的上界，最小值称不会超出某个特定的范围，而函数在这个区间上有界该函数在这个区间上无界为下界无界函数的图像则没有这个限制函数的渐近线水平渐近线垂直渐近线当趋向正无穷或负无穷时，函数的值无当趋向某个特定值时，函数的值无限接x x限接近于某个常数，该常数对应的直线称近于正无穷或负无穷，该特定值对应的直为水平渐近线当趋向正无穷或负无穷线称为垂直渐近线当趋向某个特定值x x时，函数的值无限接近于某个常数，该常时，函数的值无限接近于正无穷或负无穷数对应的直线称为水平渐近线，该特定值对应的直线称为垂直渐近线曲线与直线相交的性质交点个数交点坐标12曲线与直线可能相交于一个点交点坐标满足曲线和直线的方，多个点，或者不相交程斜率关系应用34在交点处，曲线的切线斜率等曲线与直线相交的性质可以用于直线的斜率来求解方程组，确定函数的极值点等函数的定积分面积体积定积分可以用来计算曲线与坐标定积分可以用来计算旋转体积轴围成的面积功概率定积分可以用来计算物体在力场定积分可以用来计算随机变量的中的功概率微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理函数在闭区间上连续，开区间上可导，且两函数在闭区间上连续，开区间上可导，则存两个函数在闭区间上连续，开区间上可导，端点函数值相等，则存在一点使得导数为零在一点使得导数等于该区间两端点函数值之则存在一点使得两函数在该点导数之比等于差与区间长度之比两函数在区间端点函数值之差之比导数的应用物理学工程学经济学导数在物理学中有广泛应用，例如求解运动导数在工程学中用于优化设计，例如找到最导数在经济学中用于分析经济变化，例如预学问题，计算加速度和速度等优尺寸和形状，提高效率和性能测价格波动和评估投资回报率导函数的几何意义切线斜率导数在点的值表示曲线在点处的切线fx xy=fx x,fx的斜率函数图像与导数的关系导数的几何意义导数在函数图像上的几何意义是切线的斜率在函数图像上，每一点都有唯一的一条切线，切线的斜率就是该点的导数值导数与函数单调性导数与函数的单调性密切相关导数为正，则函数单调递增；导数为负，则函数单调递减导数为零，则函数可能取得极值导数与函数凹凸性导数的二阶导数可以用来判断函数的凹凸性二阶导数为正，则函数图像向上凹；二阶导数为负，则函数图像向下凹二阶导数为零，则函数图像可能存在拐点曲线的凹凸性与拐点凹凸性拐点函数图像的凹凸性是指函数图像拐点是指函数图像的凹凸性发生在某个区间内是向上弯曲还是向变化的点，即从向上弯曲变为向下弯曲下弯曲或从向下弯曲变为向上弯曲的点判定应用可以通过判断函数二阶导数的符凹凸性与拐点在函数图像的绘制号来判定曲线的凹凸性，如果

二、函数的极值、函数的单调性等阶导数大于零则为凹，小于零则方面都有重要的应用为凸，等于零则可能为拐点常见初等函数的导数公式指数函数的导数公式对数函数的导数公式三角函数的导数公式指数函数的导数与其自身成正比，导数公式对数函数的导数与其自变量的倒数成正比，常见的三角函数的导数公式如下为导数公式为sinx=cosxy=a^x*lna y=1/x*lna cosx=-sinxtanx=sec^2x习题分析与总结巩固知识点提高解题能力12通过练习，加深对函数概念和掌握解题方法和技巧，提高解性质的理解决函数问题的效率发现学习漏洞3通过习题，找出学习中的不足，并进行针对性地复习和改进。