函数及其图象复习课件

函数及其图象复习函数及其图象是数学中重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用本次复习课将回顾函数的概念、性质和图像，并介绍一些常见的函数类型及其应用函数的定义与分类函数定义函数分类函数是指一个集合中每个元素到另一个集合中唯一一个元素的映射关系.•一元函数和多元函数•显函数和隐函数•奇函数和偶函数•单调函数和周期函数函数的表示方式解析式图像通过数学公式或表达式来表示函用坐标系上的点来描绘函数的对数的对应关系，这是最常见的函应关系，直观地展示函数的性质数表示方法表格文字描述列出函数的自变量和对应函数值用文字语言来描述函数的对应关，方便观察函数的对应关系系，适合一些抽象或特殊的函数函数的性质单调性奇偶性函数图像在某个区间内一直上升或下降，则称函数图像关于原点对称或关于y轴对称，则称该函数在这个区间内具有单调性该函数具有奇偶性周期性极值函数图像呈周期性变化，则称该函数具有周期函数图像在某个点附近达到最高或最低点，则性，周期指图像重复出现的最小间隔称该点为极值点，函数值称为极值函数的基本初等函数一次函数二次函数12一次函数的图像是一条直线，其表达式二次函数的图像为抛物线，其表达式为为y=kx+b，其中k和b分别为斜率y=ax^2+bx+c，其中a，b和c为常和纵截距数反比例函数正比例函数34反比例函数的图像为双曲线，其表达式正比例函数的图像也为直线，其表达式为y=k/x，其中k为常数为y=kx，其中k为常数指数函数与对数函数指数函数和对数函数是重要的基本初等函数指数函数表示以常数为底，自变量为指数的函数对数函数是指数函数的反函数，表示以常数为底，自变量为对数的函数指数函数和对数函数在科学技术、经济管理、社会生活等领域都有广泛应用例如，人口增长、物体的衰变、投资回报率等，都可以用指数函数或对数函数来描述幂函数与根函数幂函数是形如y=x^a的函数，其中a为常数，称为幂函数的指数根函数则是幂函数的特殊情况，当a为分数时，则称为根函数幂函数和根函数在数学和物理学中都有广泛的应用，例如，在研究物体运动、力学、电磁学等方面，幂函数和根函数可以用来描述物理量的变化规律三角函数与反三角函数三角函数是描述角度与边长的关系的函数它们包括正弦sin、余弦cos、正切tan、余切cot、正割sec和余割csc反三角函数是三角函数的反函数，用来求角度常见的反三角函数包括反正弦arcsin、反余弦arccos和反正切arctan三角函数与反三角函数在物理、工程、几何等领域都有广泛应用函数的增减性与单调性增减性定义函数在某区间内，如果自变量的值增大，函数值也随之增大，则称函数在这个区间内是增函数；反之，则称函数在这个区间内是减函数单调性定义如果函数在一个区间内是增函数或减函数，则称函数在这个区间内是单调函数判断方法可以通过函数图像的斜率来判断函数的增减性如果图像的斜率为正，则函数在这个区间内是增函数；反之，则称函数在这个区间内是减函数函数的极值与图像最大最小值极值图像最大最小值函数在某一点取得的局部最大值或函数在定义域上的最大值或最小值最小值可通过导数判断可通过求导和图像分析确定极值是函数在某一点的局部最大值或最小值图像最大最小值是函数在定义域上的最大值或最小值两者密切相关，可以通过导数和图像分析来确定函数的周期性周期函数定义周期函数的图像对于函数fx，如果存在一个非零常数T周期函数的图像关于x轴方向平移T个单，使得对于定义域内的任意x，都有fx+位后，与原图像重合周期函数的图像可T=fx成立，那么称函数fx为周期函以通过一个周期内的图像重复平移得到数，T为函数的周期函数的奇偶性定义奇函数函数的奇偶性是指函数图像关于满足f-x=-fx的函数称为奇函原点对称或关于y轴对称的性质数，其图像关于原点对称偶函数满足f-x=fx的函数称为偶函数，其图像关于y轴对称函数的对称性关于轴对称关于原点对称

1.y

2.12函数图像关于y轴对称时，对函数图像关于原点对称时，对于定义域内任意x，都有fx于定义域内任意x，都有fx=f-x，即函数为偶函数=-f-x，即函数为奇函数关于直线对称关于直线对称

3.x=a

4.y=b34函数图像关于直线x=a对称函数图像关于直线y=b对称时，对于定义域内任意x，都时，对于定义域内任意x，都有fx+f2a-x=2b，其中有fx+fx=2b，其中x为b为直线x=a与函数图像的x关于直线y=b的对称点横交点纵坐标坐标函数的复合与反函数复合函数1将一个函数作为另一个函数的自变量，得到的新函数称为复合函数反函数2如果一个函数存在反函数，那么该函数必须满足单调性函数图像3复合函数和反函数的图像之间存在着密切的联系一元二次函数定义图像一元二次函数是指含有单个未知数，且未一元二次函数的图像为抛物线，形状取决知数的最高次数为2的函数于系数a的符号其一般形式为y=ax2+bx+c，其中a当a0时，抛物线开口向上；当a

0、b、c为常数，且a≠0时，抛物线开口向下一元三次函数定义一元三次函数是指含有最高次数为3的项，且只含有一个未知数的多项式函数，一般形式为y=ax³+bx²+cx+d a≠0性质一元三次函数的图像是一条对称中心为-b/3a,-2b³/27a³+cd/3a-d的曲线，且在x轴上最多有三个交点应用一元三次函数在物理、化学、工程学等领域中有着广泛的应用，例如描述物体的运动轨迹、计算流体的流量等合理分段函数定义域划分图像拼接实际应用根据自变量的不同取值范围，将函数定义域将各个子区间上的函数图像拼接在一起，形分段函数在物理、经济等领域有着广泛应用划分为多个子区间，在每个子区间上分别定成完整的函数图像，例如描述物体运动轨迹、计价方式等义不同的函数表达式函数的图像描绘函数的图像描绘是理解函数的重要工具通过图像，我们可以直观地了解函数的性质，比如增减性、奇偶性、周期性等图像描绘可以帮助我们更好地理解函数的定义和性质，并将其应用到实际问题中函数图像的平移与旋转平移1将函数图像沿坐标轴方向移动水平平移2将函数图像向左或向右移动垂直平移3将函数图像向上或向下移动旋转4以坐标原点为中心，将函数图像旋转一定角度函数图像的平移和旋转是常见的图像变换，通过改变图像的位置和方向，可以更直观地观察函数的性质和变化趋势函数图像的压缩与伸展纵向压缩1y轴方向压缩纵向伸展2y轴方向伸展横向压缩3x轴方向压缩横向伸展4x轴方向伸展函数图像的压缩与伸展是指将函数图像沿坐标轴方向进行拉伸或收缩压缩与伸展是通过改变函数表达式来实现的例如，将函数图像沿y轴方向压缩，则需要将函数表达式中的y值乘以一个大于1的常数；将函数图像沿x轴方向伸展，则需要将函数表达式中的x值乘以一个大于1的常数压缩与伸展可以改变函数图像的形状和大小，但在几何意义上，它们保持了函数图像的整体结构函数图像的反演关于原点对称1将图像关于原点对称坐标变换2x,y变为-x,-y反演公式3y=f-x函数图像的反演是将图像关于原点对称的一种操作可以通过坐标变换和反演公式来实现反演函数图像的平移与旋转综合应用分析函数确定函数的类型和基本图形例如，y=x^2的基本图形是抛物线平移变换利用平移公式将基本图形平移到目标位置例如，将y=x^2向左平移2个单位，得到y=x+2^2旋转变换利用旋转公式将图形旋转到指定角度例如，将y=x^2绕原点逆时针旋转90度，得到y=-x^2综合应用将平移和旋转变换结合起来，完成复杂函数图像的描绘函数图像的压缩与伸展综合应用函数图像的压缩与伸展综合应用1将图像进行压缩与伸展，并结合平移和旋转变换图像变换的综合应用2将多种图像变换组合应用，实现图像的灵活操作图像的几何变换3理解图像的几何变换，掌握相应的变换公式图像变换4理解图像的压缩与伸展，掌握相应的变换公式图像的压缩与伸展变换是函数图像变换的重要组成部分本节将介绍如何将压缩与伸展与平移、旋转等变换组合应用，以实现更复杂的图像操作函数图像的反演综合应用综合应用1将反演与平移、旋转、压缩、伸展等变换结合起来，处理更复杂的函数图像变换问题步骤拆解2先进行基础变换，再进行反演操作，最后将所有变换步骤综合考虑图形分析3观察图像变化，理解各个变换步骤对图像的影响，总结规律，提高解题效率函数图像综合描绘I函数图像综合描绘I侧重于将各种函数图像的变换技巧进行综合应用，例如平移、旋转、压缩、伸展和反演等操作通过综合应用这些变换技巧，可以更加灵活地绘制出各种复杂的函数图像，并能更好地理解函数的性质和变化规律函数图像综合描绘II函数图像综合描绘II部分，涵盖更复杂的函数图像描绘例如，含有参数的函数图像，需要通过参数的变化来分析函数图像的变化趋势，从而更全面地理解函数的性质通过对这些函数图像综合描绘的练习，可以更加熟练地掌握函数图像的绘制技巧，并加深对函数性质的理解函数图像综合描绘III二次函数图像三角函数图像指数函数图像对数函数图像二次函数图像为抛物线，可通三角函数图像具有周期性，可指数函数图像具有单调性，可对数函数图像具有单调性，可过平移、翻转、伸缩等变换得通过平移、翻转、伸缩等变换通过平移、翻转、伸缩等变换通过平移、翻转、伸缩等变换到得到得到得到函数图像综合描绘IV本节课将继续学习函数图像综合描绘，涉及多个函数图像的叠加、组合、平移、缩放等操作通过这些操作，我们可以更深入地理解函数性质，并能够将复杂函数的图像进行直观地描绘学习本节内容，需要掌握前面几节课学习的函数图像变换方法，并能够灵活运用各种变换技巧，以实现对复杂函数图像的准确描绘课堂小结函数的定义与分类函数的图像描绘函数的定义是给定一个集合A，对于A中的每个元素x，按照某函数图像的描绘是通过将自变量和因变量对应点的坐标描绘在坐个法则f，对应唯一确定的一个集合B中的元素y，则称y是x的函数标系中，得到一个曲线，可以直观地观察函数的性质图像描绘，记为y=fx函数的分类可以根据定义域、值域、单调性、奇偶常用方法包括平移、旋转、伸缩和反演等性等进行划分练习与思考巩固基础应用知识

1.

2.12通过练习，加深对函数概念、尝试用函数知识解决实际问题性质、图像的理解，培养分析问题、解决问题的能力拓展思维

3.3思考函数与其他数学知识之间的联系，拓展数学思维。