函数及其性质复习课件

函数及其性质复习本节课将回顾函数的概念、性质和常见函数类型，并通过典型例题帮助大家理解和掌握函数知识函数的定义和性质定义性质12函数将一个集合中的元素映射函数的性质包括定义域、值域到另一个集合中的元素，每个、单调性、奇偶性、周期性、输入值对应一个唯一的输出值有界性等映射应用34函数可以用图形、表格或公式函数在数学、物理、工程等领来表示，其本质是将一个集合域都有广泛的应用，它可以用映射到另一个集合来描述各种关系和变化函数的表示方式图像法解析式法列表法文字描述法通过绘制函数图像，可以直观用数学表达式来定义函数，方通过表格列出函数自变量和因用文字语言描述函数的定义和地展现函数的变化规律，并方便进行代数运算和函数值求解变量之间的对应关系，适用于关系，适用于解释函数的实际便地进行函数性质分析，并能准确地描述函数关系描述离散的函数值或统计数据应用场景或概念函数类型及其特点多项式函数指数函数对数函数三角函数包含多个变量的函数，可以表定义域为全体实数，值域为正是指数函数的反函数，常用于描述角与边之间的关系，具有示各种复杂关系实数，具有单调性、无界性等描述增长速度周期性、奇偶性等特点特点一元函数的定义域和值域定义域是指所有自变量可以取的值的集合，值域是指所有因变量可以取的值的集合例如，函数fx=x²的定义域是所有实数，值域是所有非负实数12定义域值域函数定义域的确定是函数研究的基础值域可以帮助我们了解函数的取值范围34图像应用函数图像可以直观地展示定义域和值域的关系定义域和值域在实际问题中有着广泛的应用函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值是函数在定义域内的极值点，它们是函数取到的最大值或最小值最大值1函数在定义域内取得的最大值最小值2函数在定义域内取得的最小值极值点3函数在定义域内取得最大值或最小值时的点求函数的最大值和最小值通常需要先求出函数的导数，然后求出导数为零的点，即驻点再将驻点和定义域的端点代入函数表达式，即可求出函数的最大值和最小值基本初等函数及其性质幂函数指数函数对数函数三角函数幂函数是指形如y=xn的函数指数函数是指形如y=ax的函对数函数是指形如y=logax三角函数是指正弦函数、余弦，其中n为任意实数当n数，其中a为大于0且不等的函数，其中a为大于0且函数、正切函数、余切函数、为正整数时，幂函数为多项式于1的常数指数函数的图像不等于1的常数对数函数的正割函数和余割函数三角函函数；当n为负整数时，幂函是一条单调递增或递减的曲线图像是一条单调递增或递减的数的图像都是周期函数，且在数为分式函数；当n为分数时，且过点0,1曲线，且过点1,0一定区间内具有单调性和对称，幂函数为根式函数性函数的图像和性质函数的图像可以直观地反映函数的性质例如，函数的单调性、奇偶性、周期性等性质可以通过图像观察出来图像还可用于求函数的极值、拐点、渐近线等通过对图像的分析，可以更深入地理解函数的性质函数的单调性单调递增单调递减函数在定义域内，自变量增大时函数在定义域内，自变量增大时，函数值也随之增大，则称函数，函数值随之减小，则称函数为为单调递增函数例如，单调递减函数例如，函y=x y=-x函数在整个实数范围内单调递增数在整个实数范围内单调递减单调性判定单调区间的确定可利用导数的符号判断函数的单通过导数的符号，可将函数定义调性导数大于零则函数单调递域划分成若干个单调区间，并判增，导数小于零则函数单调递减断每个区间的单调性函数的周期性定义周期

1.

2.12函数的周期性是指函数在某个固定区间上重复出现，且每个函数的周期是指函数重复出现的最小区间长度周期内的函数图像完全相同性质例子

3.

4.34周期函数在整个定义域上无限次重复，其图像具有对称性三角函数是典型的周期函数，例如正弦函数和余弦函数函数的奇偶性定义奇函数函数的奇偶性是函数自身对称性若对于函数定义域内的任意x，都的体现，反映函数在自变量取相有f-x=-fx，则称函数fx反值时函数值的对应关系为奇函数偶函数判断若对于函数定义域内的任意x，都可以通过验证函数的定义域是否有f-x=fx，则称函数fx为关于原点对称，以及在对称点上偶函数的函数值是否符合奇函数或偶函数的定义进行判断函数的有界性有界函数的概念有界函数的应用函数的有界性是指函数值在一个有限范围内，既有上限也有下限在数学分析和工程领域，有界函数可以用来分析和预测函数的行为，并帮助解决实际问题函数的极限定义1当自变量无限接近某个值时，函数值无限接近于某个常数，则称该常数为函数的极限符号2，表示当无限接近时，无限接近lim x→a fx=L xa fxL性质3极限的性质包括唯一性、有界性、保号性、四则运算等应用极限广泛应用于函数的连续性、导数和积分等概念的定义和计算4中极限的性质和计算极限的性质极限的计算极限运算满足一些基本性质，例如极限的极限的计算需要根据函数的不同形式和极唯一性、极限的加减乘除运算、极限的复限的定义进行合运算等常见的极限计算方法包括代入法、因式这些性质可以帮助我们简化极限的计算，分解法、等价无穷小代换法、洛必达法则并更好地理解极限的本质等函数的连续性定义1函数在某点连续是指该点的函数值等于该点的极限值直观上，函数曲线在该点没有跳跃或间断性质2连续函数具有许多重要性质，例如，连续函数在闭区间上必有最大值和最小值，连续函数的图像是一条连续曲线这些性质在实际应用中非常重要，例如，在物理学中，连续函数可以用来描述物体的位置、速度和加速度应用3连续函数的应用非常广泛，例如，在微积分中，连续函数是求导和积分的基础在经济学中，连续函数可以用来描述商品的价格、需求和供给等间断点和连续区间间断点连续区间函数图像出现断裂或跳跃的地方函数图像无断裂或跳跃的区间“”“”“”“”间断点是函数不连续的点，连续区间是函数连续的区间函数的导数及其性质导数的定义导数的物理意义函数在某一点的导数，表示函数在该点的瞬时变化率函数在点x的导数通常用fx或df/dx函数的导数可以用来描述物理量的变化率，例如速度是位置函数的导数，加速度是速度函数的导数来表示导数的几何意义函数在某一点的导数，代表其图像在该点切线的斜率导数的计算基本公式利用基本函数的导数公式进行计算，例如，常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数的导数公式求导法则应用求导法则，例如，和差法则，乘积法则，商法则，链式法则等，进行计算特殊函数对于一些特殊函数，例如隐函数，参数方程表示的函数，需要运用特殊的方法进行求导高阶导数求导数的导数称为高阶导数，可以通过重复使用基本公式和求导法则来计算导数的应用曲线斜率最大值和最小值速度和加速度优化问题导数可以用来确定曲线上某一利用导数可以找到函数的极值导数可以用来描述运动物体的导数可以用来解决各种优化问点的切线斜率，从而描述曲线点，从而求得函数的最大值和速度和加速度，从而分析物体题，例如寻找最优生产计划、在该点的变化趋势最小值的运动规律最佳投资方案等函数的积分及其性质积分的概念积分的性质积分的应用积分是微分的逆运算，可以理解为求函积分满足线性性质、可加性、积分上限积分在计算面积、体积、物理量等方面数曲线下方的面积和下限的交换性等性质有着广泛的应用基本积分公式基本积分公式幂函数积分公式基本积分公式是积分计算的基础，它们代表了∫x^n dx=x^n+1/n+1+C n≠-1常见函数的积分结果指数函数积分公式三角函数积分公式∫a^x dx=a^x/lna+C a0,a≠1∫sinx dx=-cosx+C,∫cosx dx=sinx+C积分的计算方法直接积分法1利用基本积分公式直接计算积分换元积分法2通过变量替换简化积分表达式分部积分法3将复杂积分转化为更简单的积分数值积分法4利用数值方法近似计算积分定积分及其应用求面积求体积12利用定积分可以计算平面图形的面积，例如曲线与坐标轴围定积分可以用来计算旋转体、截面为已知曲线的立体图形的成的图形面积体积求弧长求物理量34定积分可以用来计算平面曲线弧长，例如函数图像在一定区定积分可以用来计算物理量，例如功、压力、质量等间内的弧长微分方程的概念和分类定义分类微分方程是指包含未知函数及其导数根据未知函数的阶数，可以将微分方的方程程分为一阶微分方程和二阶微分方程等线性与非线性常微分方程与偏微分方程根据未知函数及其导数的次数，可以常微分方程只包含一个自变量的未知将微分方程分为线性微分方程和非线函数及其导数，而偏微分方程则包含性微分方程多个自变量的未知函数及其偏导数一阶微分方程的求解分离变量法1将方程化为可分离的形式，然后对变量进行积分积分因子法2通过引入一个积分因子，将方程转化为全微分方程，然后求解常数变易法3先求出齐次方程的通解，然后将常数替换为一个关于自变量的函数，并代入原方程求解二阶线性微分方程的求解常系数齐次方程1特征方程求解非齐次方程2待定系数法或变易常数法欧拉方程3降阶求解二阶线性微分方程的求解是微分方程理论中的重要内容根据方程的形式和系数的特点，常用的求解方法包括常系数齐次方程、非齐次方程以及欧拉方程函数的应用领域和典型例题物理经济学

1.

2.12描述运动、力、能量等物理现分析供求关系、成本利润、经象，例如牛顿定律、能量守恒济增长等经济问题，例如成本定律等函数、收益函数、利润函数等生物学工程学

3.

4.34研究生物体生长、繁殖、代谢设计、建造、运行各种工程设等生物过程，例如种群增长模施，例如桥梁、建筑、航空航型、酶动力学模型等天等复习思路和学习建议循序渐进，步步为营重视理解，注重应用总结归纳，查漏补缺先复习基础概念，再深入学习重点内容，最理解函数的定义和性质，并能将知识应用于总结学习重点，找出薄弱环节，针对性地进后做习题巩固实际问题行复习总结和展望本课件系统回顾了函数及其性质的相关知识从函数的定义和性质出发，逐步讲解了函数的表示方式、函数类型、函数的图像、函数的单调性、函数的周期性、函数的奇偶性、函数的极限、函数的连续性、函数的导数、函数的积分等重要概念和理论掌握函数及其性质是学习微积分和其他数学学科的基础希望通过本次复习，能够帮助大家更好地理解函数的概念和性质，并应用这些知识解决实际问题。