函数图象变换课件

函数图像变换函数图像变换是数学中重要的概念，涉及对函数图像的平移、伸缩、对称等操作这些变换可以帮助我们更好地理解函数性质，并解决实际问题函数图象变换的概念定义目的函数图象变换是指将函数图象通过变换，我们可以得到新函在坐标系中进行移动、缩放、数的图象，从而更好地理解函翻转、旋转等操作数的性质和变化规律应用函数图象变换在数学、物理、计算机图形学等领域都有广泛的应用函数图象变换的类型平移变换伸缩变换对称变换旋转变换将函数图像沿水平或垂直方将函数图像沿水平或垂直方将函数图像关于某直线或点将函数图像绕某点旋转一定向移动一定距离向拉伸或压缩进行对称变换角度平移变换定义平移变换是指将一个图形沿某个方向移动一定距离的变换它是一种最简单的图形变换，可以通过简单的平移向量来描述公式设点Px,y在平移向量a,b作用下变换为点Px,y，则有公式:x=x+a,y=y+b.示例例如，将点P1,2沿向量2,3平移，则平移后的点P坐标为3,5应用平移变换广泛应用于图像处理、计算机图形学等领域例如，在图像处理中，可以用平移变换来移动图像中的某个物体平移变换的应用应用场景具体应用图像处理图像移动、位置调整计算机图形学游戏场景、模型的移动数据可视化图表、地图的平移操作伸缩变换纵向伸缩1y轴方向上的变换横向伸缩2x轴方向上的变换中心伸缩3以某点为中心进行伸缩伸缩变换是指将图形在某个方向上拉伸或压缩的过程，可以分为纵向伸缩和横向伸缩两种纵向伸缩是指将图形沿y轴方向拉伸或压缩，横向伸缩是指将图形沿x轴方向拉伸或压缩还可以以某点为中心，将图形在所有方向上同时进行伸缩，称为中心伸缩伸缩变换的应用伸缩变换在图形处理、图像处理和计算机图形学中具有广泛的应用23维维二维图形的缩放三维物体的缩放1001%像素图像的缩放比例图像的像素变换例如，在图像处理中，我们可以使用伸缩变换来调整图像的大小，或在计算机图形学中，我们可以使用伸缩变换来改变物体的尺寸对称变换轴对称1将图形沿一条直线折叠，使直线两侧的图形完全重合，这条直线叫做对称轴中心对称2将图形绕着一个点旋转180度，使图形能够与自身重合，这个点叫做对称中心点对称3点对称是中心对称的一种特殊情况，对称中心是图形本身的一个点对称变换的应用对称变换在图形学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用它可以用于图像处理、动画制作、模拟物理现象等方面例如，在图像处理中，可以利用对称变换进行图像的镜像、旋转和翻转等操作在动画制作中，可以利用对称变换来创建对称的物体或角色，从而使动画更加生动旋转变换旋转中心1旋转图形绕其旋转中心旋转旋转角度2以逆时针方向旋转旋转方向3角度为正值表示逆时针旋转，角度为负值表示顺时针旋转旋转变换是指将图形绕着某个点旋转一定角度的操作旋转变换由三个要素决定旋转中心、旋转角度和旋转方向旋转变换的应用旋转变换在计算机图形学、图像处理、物理学等领域都有广泛的应用例如，在计算机图形学中，旋转变换可以用来模拟物体的旋转，例如旋转一个三维模型或一个二维图像在图像处理中，旋转变换可以用来调整图像的方向，例如将一张横向的照片旋转成竖向的照片3602D3D角度二维空间三维空间旋转变换可以将物体围绕一个点旋转任意角度旋转变换可以将一个二维空间中的点绕着一个点旋旋转变换可以将一个三维空间中的点绕着一个轴旋转转复合变换定义应用将多个基本变换组合起来，按照一定的顺序依次进行可用于创建更复杂的图形变换123顺序变换的顺序会影响最终结果复合变换的应用图形设计旋转、平移和缩放的组合可以创建复杂的图形动画通过改变图形的变换参数，可以实现动态效果图像处理复合变换可以用于调整图像的大小、方向和位置游戏开发复合变换用于处理角色、场景和物体的移动和动画线性变换线性变换1向量空间之间的一种映射保持向量加法2Tu+v=Tu+Tv保持标量乘法3Tcu=cTu线性变换是一种特殊的映射，它保持向量空间的线性结构这意味着，它满足向量加法的性质和标量乘法的性质线性变换在数学和计算机科学中都有着广泛的应用，例如，在图像处理中，线性变换可以用于旋转、缩放和剪切图像线性变换的性质线性性可逆性线性变换保持向量加法和标量乘法的运算性质它将向量空间有些线性变换是可逆的，即存在一个逆变换，可以将变换后的中的直线映射成直线或点，并保持原向量空间中的比例关系向量还原回原向量例如，旋转变换和缩放变换都是可逆的矩阵表示线性变换线性变换的矩阵表示1线性变换可以通过矩阵乘法来表示矩阵的维度2矩阵的维度与变换的维度相同矩阵的元素3矩阵的元素表示变换对坐标轴的影响矩阵的运算4矩阵的运算可以用来表示变换的组合例如，二维线性变换可以通过一个2x2矩阵来表示矩阵的第一行表示变换对x轴的影响，第二行表示变换对y轴的影响每个元素代表变换对相应轴的缩放和旋转矩阵的运算性质矩阵加法矩阵乘法12矩阵加法满足交换律和结合律，两个矩阵相加的前提是它们矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律两个矩阵相乘的前必须具有相同的阶数提是第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数矩阵乘以数单位矩阵34矩阵乘以数满足分配律和结合律矩阵乘以一个数，就是把单位矩阵是一个对角线元素为1，其他元素为0的矩阵，单位矩阵中的每个元素都乘以这个数矩阵与任何矩阵相乘都等于该矩阵本身仿射变换定义仿射变换是一种线性变换，它保留了点之间的相对位置和线之间的平行关系它可以将点、线和形状进行平移、旋转、缩放和剪切等操作公式一个仿射变换可以表示为以下公式y=Ax+b，其中A是一个线性变换矩阵，b是一个平移向量性质仿射变换保持平行线平行，保持线段的比例，保持点的相对位置应用仿射变换广泛应用于计算机图形学、图像处理和计算机视觉等领域仿射变换的性质保持直线仿射变换将直线映射为直线，不会扭曲直线保持平行仿射变换将平行线映射为平行线，保持平行关系保持比例仿射变换保持线段的比例关系，但可能会改变线段的长度齐次坐标系定义1齐次坐标系是一种用n+1维向量表示n维空间点的方法优势2齐次坐标系可以方便地描述平移变换、旋转变换和缩放变换，还可以表示无穷远点应用3齐次坐标系在计算机图形学、计算机视觉和机器人学等领域应用广泛齐次坐标系下的矩阵变换矩阵乘法1矩阵乘法实现变换坐标变换2点和向量变换齐次坐标系3简化变换操作使用齐次坐标系表示点和向量，可以将平移、旋转、缩放等变换统一为矩阵乘法操作在齐次坐标系下，通过矩阵乘法，可以实现对点的平移、旋转、缩放等几何变换坐标系的变换定义1不同坐标系之间的转换方法2矩阵运算、旋转和平移应用3图像处理、地理信息系统坐标系变换是将一个坐标系中的点映射到另一个坐标系中的过程常用的方法包括矩阵运算、旋转和平移等坐标系变换在图像处理、地理信息系统等领域有着广泛的应用坐标系变换的应用坐标系变换在图形学、图像处理和计算机视觉等领域有广泛应用，例如，将图像从一个坐标系转换到另一个坐标系，或将三维场景中的物体投影到二维平面，从而实现图像的缩放、旋转、平移等操作例如，在游戏开发中，我们可以使用坐标系变换来实现角色的移动、旋转和缩放，或将场景中的物体进行变换，从而创造出更加逼真的游戏画面此外，坐标系变换还可以应用于机器人控制、导航和地图绘制等领域，例如，可以利用坐标系变换来实现机器人定位，或将地图数据进行转换，以便更好地进行导航和路径规划图像处理中的变换色彩变换尺寸变换调整图像的颜色，例如亮度、对比度、饱和调整图像的大小，例如缩放、裁剪等度等旋转变换镜像变换旋转图像，改变图像方向对图像进行镜像翻转，例如水平翻转或垂直翻转图像处理中的应用实例图像处理中的变换技术广泛应用于各种领域，例如医学图像处理、计算机视觉、图像压缩等医学图像处理可以使用几何变换和灰度变换进行图像增强、噪声去除和病灶识别等操作计算机视觉领域中，图像变换可以用于目标识别、场景理解和三维重建等任务图像压缩则利用变换将图像数据压缩成更小的文件，以便于存储和传输总结图像变换线性变换

1.

2.12了解了函数图像的平移、伸掌握了线性变换的定义、性缩、对称、旋转等变换，以质，以及用矩阵表示线性变及复合变换的概念换的方法仿射变换应用场景

3.

4.34学习了仿射变换的定义和性认识到图像处理中的变换，质，并了解了齐次坐标系下以及在计算机图形学、机器的矩阵变换学习等领域的应用思考和讨论函数图象变换是一个重要的数学概念，它在很多领域都有应用通过学习函数图象变换，我们可以更好地理解函数的性质，并利用函数图象变换来解决实际问题在学习函数图象变换的过程中，我们应该注意以下几个问题:•函数图象变换的基本类型有哪些？•不同类型的函数图象变换是如何实现的？•函数图象变换在实际问题中的应用有哪些？此外，我们还可以探讨以下几个问题:•函数图象变换与其他数学概念之间的联系是什么？•函数图象变换在其他学科中的应用有哪些？•函数图象变换的未来发展方向是什么？参考文献教材参考书《高等数学》同济大学数学系高等教育出版社《数学分析》汪林科学出版社《线性代数》同济大学数学系高等教育出版社《微积分学教程》菲赫金哥尔茨高等教育出版社《解析几何》同济大学数学系高等教育出版社《线性代数及其应用》David C.Lay机械工业出版社。