函数的单调性与最值课件

函数的单调性与最值函数的单调性与最值是微积分的重要概念，是研究函数性质的基础单调性描述函数值的变化趋势，最值则代表函数在某个区间内的最大或最小值什么是单调性单调递增单调递减常数函数函数值随着自变量的增加而增大函数值随着自变量的增加而减小函数值保持不变，既不增也不减单调性的定义定义定义如果函数在某个区间上满足当时，有如果函数在某个区间上满足当时，有fx:x1x2fx1fx2fx:x1x2fx1fx2，则称函数在该区间上是单调递增的，则称函数在该区间上是单调递减的fx.fx.单调递增函数定义图像特征应用场景当自变量的值增大时，函数的值也随之图像始终向上倾斜，从左到右不断上升在许多现实生活中，我们可以用单调递增大，即满足时，有，没有下降趋势，表现为单调上升的趋增函数来描述某些事物的增长趋势，例x12fx12势如人口增长、经济发展等单调递减函数定义在函数的定义域内，随着自变量的增大，函数值减小图像图像总是从左向右下降，斜率始终为负公式对于任意两个自变量值和，如果，则x1x2x1x2fx1fx2确定单调性的方法定义法1通过观察函数图像，判断函数值的变化趋势如果函数值随着自变量的增大而增大，则函数单调递增如果函数值随着自变量的增大而减小，则函数单调递减导数法2利用导数的符号来判断函数的单调性如果导数大于，则函数0单调递增如果导数小于，则函数单调递减0函数性质法3利用已知的函数性质，比如奇偶性、周期性、对称性等，来判断函数的单调性单调区间的确定求导数首先求出函数的导数，得到导函数分析导数分析导数的符号变化情况，确定导数为正、负、零的区间确定单调区间当导数为正时，函数单调递增；当导数为负时，函数单调递减；当导数为零时，函数可能出现极值点最大值和最小值的概念最大值最小值最值

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33.函数在定义域内取得的最大值，表示函数在定义域内取得的最小值，表示最大值和最小值统称为最值函数值所能达到的最大值函数值所能达到的最小值求最大值最小值的方法确定定义域1确定函数定义域，排除无意义的点求导数2求函数的一阶导数，找出导数为零或不存在的点判断极值3利用导数判断函数在这些点的极值，例如，如果导数在该点从负变正，则该点是极小值点比较大小4比较所有极值点和端点处的函数值，找到最大值和最小值利用导数判断极值点求导数1找到函数的一阶导数，也就是函数的变化率求解临界点2令导数等于零或导数不存在，求出这些点判断极值3利用二阶导数或符号变化判断临界点是否为极值点利用导数判断极值点是求函数最大值和最小值的重要方法通过求导数、求解临界点以及判断极值，我们可以有效地找出函数的极值点，并进一步确定函数的最大值和最小值函数的极值极值的概念极值点的类型函数的极值是指函数在某一点取得的最大值或最小值极值点是函数的极值点可以分为两种最大值点和最小值点指函数取得极值的点最大值点是指函数在该点取得最大值，最小值点是指函数在该点极值点是函数变化趋势的转折点，是分析函数变化规律的关键取得最小值利用导数求极值点求导1计算函数的一阶导数解方程2将导数设置为零，求解方程验证3验证解是否在函数的定义域内判断4使用二阶导数判断极值点的类型求极值点是函数单调性分析的重要步骤利用导数求极值点，可以找到函数的最高点和最低点，帮助我们了解函数的变化趋势最大值最小值的应用优化问题设计问题找到最大利润、最小成本或最短确定最优形状、尺寸或材料等路径等物理模型工程应用分析物体的运动轨迹、能量变化优化结构设计、提高效率或降低或稳定性等成本几何意义和经济意义函数单调性函数最值经济应用123函数单调性描述了函数值随自变量变函数最值指的是函数在某个区间内的在经济学中，函数最值常用于分析企化趋势例如，上升的曲线表示函数最大值或最小值，例如，山顶的高度业利润最大化问题，例如，在一定的单调递增，下降的曲线表示函数单调就是山的高度函数的最大值生产成本下，如何确定生产数量以最递减大化利润保证函数存在最大值最小值的条件定义域为闭区间函数在闭区间上连续函数在闭区间上单调递增或单调递减连续函数的最值定理连续函数闭区间最大值最小值在闭区间上连续的函数，一定存在最大值和闭区间是指包含端点的区间，例如最大值和最小值可以出现在函数图像的最高[a,b]最小值点和最低点分段函数的最值问题分段函数定义求最值方法

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22.分段函数是指在不同区间上用不同函数表达式定义的函数对每个区间内的函数分别求最值然后比较所有区间的最值.,,确定分段函数的最值.考虑端点例题

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44.注意分段函数的定义域边界点可能在这些点处取得最值例如求函数在区间上,.,fx={x^2,x≤1;2x,x1}[-2,2]的最值.利用图像判断单调性与最值通过函数图像，可以直观地判断函数的单调性与最值如果函数图像在某个区间内是上升的，则该区间函数单调递增如果函数图像在某个区间内是下降的，则该区间函数单调递减函数图像的最高点对应函数的最大值，函数图像的最低点对应函数的最小值函数单调性与极值的关系单调性与极值的关系极值点与单调性变化函数的单调性是判断函数是否有函数的极值点通常出现在函数单极值的必要条件在单调递增或调性变化的点，即由单调递增变递减的区间内，函数不存在极值为单调递减，或由单调递减变为点单调递增的点单调区间与极值函数的单调区间可以帮助确定函数的极值点在单调递增区间内，函数没有最大值；在单调递减区间内，函数没有最小值函数单调区间与极值点单调递增单调递减极值点拐点在单调递增区间内，函数值随在单调递减区间内，函数值随极值点是指函数值在该点取得拐点是函数图像曲线的凹凸性着自变量的增大而增大着自变量的增大而减小最大值或最小值变化的点，可能也是函数的极值点判断函数单调性的方法图像法导数法观察函数图像若图像始终上升则函数单调递增若图像始终下降求出函数的导函数判断导函数的符号若导函数大于零则函数单,,;,,,则函数单调递减调递增若导函数小于零则函数单调递减,.;,.利用导数判断单调性求导数首先求出函数的导数，即fx分析导数符号分析导数fx的符号，并确定导数为正、负或零的区间判断单调性如果fx0，则函数在该区间单调递增；如果fx0，则函数在该区间单调递减；如果fx=0，则函数在该点可能存在极值点函数单调性的应用优化问题曲线拟合函数单调性可用于确定函数的最值，从而找到单调性可以帮助我们理解曲线的变化趋势，并优化方案进行曲线拟合模型预测数据分析单调性可以用于判断模型的增长趋势，并进行单调性可以帮助我们分析数据的变化趋势，并预测发现规律函数最值的应用场景优化问题工程设计例如，企业如何确定最佳的生产例如，桥梁的设计需要考虑材料规模，以最大程度地提高利润？强度、结构稳定性、安全系数等经济学例如，投资者如何选择最优的投资组合，以最大程度地提高回报率？函数最值的几何意义函数最大值函数最小值区间上的最大值区间上的最小值函数图像上的最高点表示函数函数图像上的最低点表示函数在特定的区间内，函数图像上在特定的区间内，函数图像上的最大值，对应着函数图像的的最小值，对应着函数图像的的最高点表示该区间内的最大的最低点表示该区间内的最小顶点顶点值值函数最值的经济应用利润最大化成本最小化12企业可以通过函数模型分析成本和收益通过求解成本函数的最小值，可以找到，求解利润函数的最值点，找到最佳生最优的生产方式或资源配置，降低生产产规模，实现利润最大化成本，提高效率投资收益最大化定价策略34通过建立投资收益函数，分析不同投资通过分析需求函数，可以确定产品的最方案的收益率，可以找到最优投资策略佳售价，实现产品销售利润最大化，最大化投资收益总结与拓展总结•函数单调性与最值是微积分的重要概念•利用导数可以判断函数的单调性•利用导数可以求函数的最值应用•优化问题•物理模型•经济模型拓展•多元函数的单调性与最值•拉格朗日乘数法•泰勒公式思考与练习本节课学习了函数单调性与最值的概念和方法，让我们通过思考和练习巩固所学知识例如，可以尝试解决一些经典例题，例如求函数在给定区间上的最大值或最小值，或判断函数在哪个区间上是单调递增或递减的还可以尝试设计一些实际应用问题，例如如何利用函数单调性来优化生产流程，或者如何利用函数最值来分析市场行情通过这些练习，可以加深对函数单调性与最值的理解，并将其应用到实际问题中完成课件制作课件制作完成后，您可以通过多种方式进行分享和使用，例如上传至教学平台、在线展示，或通过邮件发送给学生课件制作完成后，建议进行仔细检查和修改，确保内容准确、逻辑清晰、排版美观，并根据学生的需求进行调整。