函数的图象-课件

函数的图像函数的图像，也称为函数曲线，是函数的一种图形表示它由函数中所有自变量和对应函数值的点组成，这些点在坐标平面上连成一条曲线函数的概念定义要素函数是数学中描述两个变量之间关系的一一个函数由三个要素组成定义域、值域种重要概念它将一个输入值映射到一个和对应关系唯一的输出值定义域是所有可能的输入值集合，值域是函数可以表示为一个公式，例如，所有可能的输出值集合，对应关系描述了y=fx其中是输入值，是输出值输入值与输出值之间的关系x y函数的表示解析式图像12用数学表达式表示函数的对应函数的图像可以直观地展现函关系，是函数最常用的表示方数的变化趋势，便于理解函数法的性质表格文字描述34通过表格列出函数的自变量和用文字描述函数的对应关系，因变量的对应值，可以清晰地适用于一些较为复杂的函数，展示函数的值域和定义域例如分段函数函数的基本性质定义域值域函数自变量取值范围，影响函数图象的横向范函数因变量取值范围，影响函数图象的纵向范围围单调性奇偶性函数在定义域内，随着自变量增大，函数值的函数关于原点的对称性，影响图象对称性变化趋势一次函数一次函数是数学中一种重要的函数类型它的一般形式为y=kx+b，其中k和b是常数，k称为斜率，b称为截距一次函数的图象是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与y轴的交点一次函数的性质包括单调性、奇偶性、对称性等它在现实生活中有着广泛的应用，例如描述匀速直线运动、计算利润等一次函数的图象直线图像斜率的影响截距的影响一次函数的图像是一条直线，该直线由其斜正斜率表示直线向上倾斜，斜率越大，直线截距表示直线与轴的交点，截距越大，直y率和截距决定倾斜程度越大线与轴交点越高y二次函数二次函数是数学中常见的函数类型之一，其表达式为y=ax^2+bx+c a≠0二次函数的图象是一个抛物线，其形状取决于二次项系数的正负当时a a0，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下a0二次函数在现实生活中有着广泛的应用，例如，在物理学中，描述物体运动轨迹的函数，在经济学中，描述商品价格变化的函数，等等二次函数的图象二次函数的图象是一个抛物线抛物线的形状取决于二次函数的系数如果二次项系数为正，抛物线开口向上；如果二次项系数为负，抛物线开口向下抛物线的对称轴是过顶点的垂直线顶点是抛物线上最低点或最高点二次函数的图象可以用来解决实际问题，例如求最大值和最小值反比例函数双曲线渐近线奇函数反比例函数的图形是双曲线，它有两支，分双曲线有两条渐近线，分别是坐标轴当自反比例函数是奇函数，它的图像关于原点对别位于坐标轴的两侧变量趋于正无穷或负无穷时，函数值趋于零称反比例函数的图象反比例函数的图象为双曲线，曲线两支分别位于两个象限，且对称于坐标轴反比例函数图象的形状取决于常数的符号，当时，图象位于第

一、三象k k0限；当时，图象位于第

二、四象限k0反比例函数图象的渐近线为坐标轴，即当自变量趋于正无穷或负无穷时，函x数值趋于y0指数函数指数函数是一种重要的数学函数，在自然科学、社会科学和工程领域都有广泛的应用指数函数的定义为，其中为常数且，，为自变量y=a^x a a0a≠1x指数函数的图象是关于轴对称的曲线，当时，曲线单调递增，当y a10指数函数的图象单调性过原点渐近线指数函数图像呈现单调递增或递减趋势，取当底数大于时，图像经过点图像无限接近于横轴，但不会与之相交，横10,1决于底数的大小轴是其水平渐近线对数函数对数函数是一种常见的函数类型，它与指数函数密切相关对数函数的定义如下对于给定的正数（不等于），以及正数，表示a a1x y=loga xx的为底的对数也就是说，如果，那么aa^y=x logax=y对数函数的图象对数函数的图象是平滑的曲线，它与坐标轴不相交对数函数的图象具有以下特点定义域为正实数，值域为所有实数；单调性取决于底数的大小，底数大于时单调递增，底数小于时单调递减；过点111,0三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正弦函数是三角函数中最基本余弦函数与正弦函数密切相关正切函数的图象是一个周期性余切函数的图象也是一个周期的一种，它的图象是一个周期，其图象也是一个周期性的波的波形，但它在某些点上会趋性的波形，它在某些点上会趋性的波形，可以用于描述许多形，但与正弦函数相比，它在于无穷大，因此它在数学和物于无穷大，并且它与正切函数物理现象，如声波和光波坐标轴上的位置有所不同理中都有着重要的应用有着密切的关系三角函数的图象三角函数是指正弦、余弦、正切、余切、正割和余割等六种函数的统称它们是周期函数，它们的图象具有明显的规律性通过观察和分析它们的图象，我们可以更好地理解三角函数的性质和应用三角函数的图象在实际生活中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学、建筑学等领域奇函数和偶函数奇函数偶函数关于原点对称的函数，即满足关于轴对称的函数，即满足f-y f-的函数例如，的函数例如，x=-fx fx=x=fx fx=x^3,fx=sinx.x^2,fx=cosx.判断方法可以使用函数图像或代入法判断函数的奇偶性，即验证与或f-x-fx fx的关系函数图象的变换平移1沿坐标轴方向移动伸缩2改变形状大小对称3关于坐标轴或原点翻转复合变换4多个变换组合函数图象的变换是指对函数图象进行平移、伸缩、对称等操作，从而得到新的函数图象这些变换可以帮助我们更直观地理解函数的性质和变化规律平移函数图象的平移是指将图象沿坐标轴方向移动一定的距离向上平移1y=fx+b向下平移2y=fx-b向右平移3y=fx-a向左平移4y=fx+a伸缩纵向伸缩函数图象沿轴方向进行拉伸或压缩对横坐标不产生影响图象整体变高或变矮Y,,.横向伸缩函数图象沿轴方向进行拉伸或压缩对纵坐标不产生影响图象整体变宽或变窄X,,.伸缩变换公式或表示函数图象的伸缩变换其中为伸缩比例y=fax y=afx,a.函数图象的对称关于轴对称x1将函数图象关于轴对称，即把每个点的纵坐标变为相反数，再x连接这些点即可关于轴对称y2将函数图象关于轴对称，即把每个点的横坐标变为相反数，再y连接这些点即可关于原点对称3将函数图象关于原点对称，即把每个点的横坐标和纵坐标都变为相反数，再连接这些点即可复合函数定义表达式复合函数是指一个函数的输出作为另一个函复合函数的表达式由两个函数的表达式组成数的输入，最终得到一个新的函数，用嵌套的方式表示性质应用复合函数的性质取决于组成它的两个函数的复合函数在数学、物理、工程等领域都有广性质，可以继承或改变原函数的性质泛的应用，比如模型建立、数据分析等反函数定义存在性12如果两个函数满足每个函数的输出都是另一个函数的输入并非所有函数都存在反函数，只有满足单调性或严格单调性，这两个函数互为反函数的函数才能有反函数求解性质34求反函数的过程是将原函数的自变量和因变量互换，并解出反函数的图象关于直线对称，且反函数的定义域和值域y=x新的因变量表达式分别是原函数的值域和定义域应用实例函数图象在现实生活中有着广泛的应用例如，可以利用一次函数的图象来描述物体的运动轨迹；利用二次函数的图象来描述抛射物体的运动轨迹；利用指数函数的图象来描述人口增长等还可以利用函数图象来解决一些实际问题，例如求解最优解、预测未来趋势等函数图象的判断定义域值域单调性奇偶性函数图象的横坐标范围对应函函数图象的纵坐标范围对应函函数图象从左到右变化趋势反函数图象关于原点对称，则函数的定义域数的值域映了函数的单调性数为奇函数....判断函数的定义域，从而判断观察图象纵坐标的范围，即可观察图象的变化趋势，判断函函数图象关于纵轴对称，则函图象的横坐标范围判断函数的值域数的单调性数为偶函数....函数图像的绘制确定函数表达式首先，需要确定函数的表达式，例如y=fx，以便进行图像绘制选取一些自变量的值根据函数的表达式，选择一些自变量的值，并计算出相应的函数值在坐标系中标出点将计算出的点在坐标系中标出，并用平滑曲线连接这些点，即可得到函数图像使用绘图工具可以使用一些绘图工具，例如电脑绘图软件或函数图像绘制器，方便快捷地绘制函数图像函数图象的应用物理学函数图象可以用于描述物理现象，例如速度、加速度、位移等的变化规律经济学例如，供求曲线可以用来描述商品的价格和数量之间的关系工程学工程师使用函数图象来分析和设计各种工程结构，例如桥梁、建筑物、飞机等总结与展望函数图象知识未来方向函数图象是理解函数性质和应用的关键通过绘制和分析函数图未来可以深入学习更多种类的函数，例如分段函数、周期函数等象，可以更直观地认识函数的特性，并将其应用于解决实际问题还可以探讨函数图象与其他数学分支之间的联系，例如微积分、线性代数等参考文献高等数学同济大学数学系•数学分析华东师范大学数学系•线性代数清华大学数学系•。