函数的极值-课件

函数的极值在数学中，函数的极值是指函数在定义域内取得最大值或最小值的地方极值的概念在微积分、优化问题以及物理学等领域中有着重要的应用函数的概念定义表示方法函数是将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的一种对可以用解析式、图像、表格等多种方式来表示函数解析式是描应关系简单来说，函数就是一种输入与输出之间的关系述函数关系的数学表达式，图像可以直观地展示函数的特性，表格可以列出函数的对应关系函数的基本性质定义域和值域单调性奇偶性周期性函数的定义域是指所有可以作函数的单调性描述了函数在定奇偶性描述了函数图像关于原周期性描述了函数图像在一定为自变量的取值范围，值域是义域内随自变量变化而变化的点或y轴的对称性，奇函数关区间内重复出现的规律，周期指函数所有可能的输出值范围趋势，可以分为单调递增、单于原点对称，偶函数关于y轴函数在某个区间内重复出现相调递减和常数函数对称同的图像函数的单调性

11.定义

22.定义在某个区间内，函数值随着自在某个区间内，函数值随着自变量的增大而增大，则该函数变量的增大而减小，则该函数在这个区间内是单调递增的在这个区间内是单调递减的

33.单调性判断

44.应用利用导数的符号判断函数的单函数的单调性是研究函数性质调性当导数大于0时，函数的重要工具，可以用来求函数单调递增；当导数小于0时，的极值、最值以及求解不等式函数单调递减函数的极值定义极大值极小值函数在某点处的函数值大于它在函数在某点处的函数值小于它在该点附近其他点处的函数值，则该点附近其他点处的函数值，则该点处的函数值称为极大值该点处的函数值称为极小值极值点函数取得极值的点称为极值点寻找函数极值的方法求导数首先求出函数的一阶导数，即函数的斜率求驻点找到导数为零或导数不存在的点，这些点称为驻点判断极值通过分析驻点附近的函数单调性，判断驻点是否为极值点验证极值使用二阶导数或其他方法验证驻点是否为极值点，并确定极值类型导数与函数的单调性导数与单调性导数符号决定函数单调性正导数意味着函数递增，负导数意味着函数递减极值与导数函数在极值点处的导数为零或不存在，这是寻找极值的重要依据导数与凹凸性二阶导数符号反映函数凹凸性，正二阶导数对应凹函数，负二阶导数对应凸函数导数的概念定义几何意义函数fx在x0处的导数是函数增量与自变量增量之比的极限.函数fx在x0处的导数fx0等于曲线y=fx在点x0,fx0处的切线的斜率.用公式表示fx0=limΔx→0[fx0+Δx-fx0]/Δx导数的几何意义导数在几何上代表函数曲线在某一点的切线斜率切线的斜率反映了函数在该点变化的快慢程度，即函数值随自变量变化的速率导数的正负号可以判断函数在该点是递增还是递减求导公式多项式函数指数函数例如:x^n=nx^n-1例如:a^x=a^x*lna对数函数三角函数例如:log_ax=1/x*lna例如:sinx=cosx,cosx=-sinx复合函数的求导链式法则1求导过程外层函数2对内层函数求导内层函数3对内层函数求导复合函数4由多个函数构成复合函数的求导是微积分中重要的概念，指对由多个函数组合而成的复合函数进行求导的过程链式法则是一种求复合函数导数的基本方法，通过对内层函数和外层函数的求导，可以得到复合函数的导数高阶导数定义应用高阶导数是指对函数进行多次求导的结果例如，二阶导数是指对高阶导数在物理学、工程学和经济学等领域有广泛的应用例如，函数求导两次，三阶导数是指对函数求导三次，以此类推在物理学中，二阶导数可以用来描述物体的加速度，在经济学中，二阶导数可以用来分析函数的凹凸性函数的极值判定一阶导数二阶导数函数的极值点通常出现在导数为二阶导数可以判断函数极值的类零或导数不存在的点上一阶导型如果二阶导数在极值点处为数为零的点称为驻点，导数不存正，则该点为极小值点；如果二在的点称为奇点阶导数在极值点处为负，则该点为极大值点单调性图像分析函数在极值点附近的变化趋势可通过观察函数图像，也可以判断以判断极值的类型如果函数在极值的类型极值点通常对应函极值点左侧单调递增，右侧单调数图像的峰值或谷值递减，则该点为极大值点反之，则为极小值点一元函数的极值求解求导1首先求出函数的一阶导数，即求函数的导函数求驻点2令导函数等于零，解方程，得到使导函数等于零的点，这些点称为驻点判断极值3利用二阶导数或其他方法，判断驻点是否为函数的极值点，并确定是极大值点还是极小值点二元函数的极值求解求解临界点1令偏导数等于零计算黑塞矩阵2判断其正定性判定极值类型3利用黑塞矩阵判定二元函数的极值求解，需要先求解临界点，然后利用黑塞矩阵判定临界点处的极值类型黑塞矩阵的正定性可以帮助判断函数在临界点处是否取得极值，以及极值的类型函数图像分析函数图像可以直观地展现函数的性质，例如单调性、极值、拐点等通过观察函数图像，可以更直观地理解函数的定义域、值域、奇偶性、周期性等最大最小值问题函数极值应用实际问题转化12最大最小值问题是函数极值概将实际问题转化为求函数的最念的直接应用值问题求解方法3使用导数等工具，求出函数的最大值或最小值经济管理中的应用利润最大化库存管理投资决策市场分析函数极值可以用于分析企业的利用函数极值可以优化库存管函数极值可以帮助企业做出最利用函数极值可以分析市场需成本函数和收益函数，找出利理，找到最佳的进货量和库存佳的投资决策，例如选择最优求的变化趋势，预测产品销量润最大的产量或价格水平，以降低库存成本并提高的投资组合或投资期限和价格变动，为企业制定营销效率策略提供参考生活中的应用最佳路径规划资源优化函数极值在导航软件中广泛应用在物流管理中，函数极值可以帮，帮助我们找到最短的路线或最助我们找到最优的运输路线，节快的路线约成本和时间收益最大化风险控制在商业领域，函数极值可以帮助在金融投资中，函数极值可以帮我们找到最佳的定价策略，最大助我们找到最佳的投资策略，最化利润大化收益并最小化风险注意事项和技巧注意技巧•函数极值点和导数为零的点不一定可以利用导数的几何意义来帮助判断相同函数的单调性和极值•求极值问题有时需要结合函数的图对于多元函数，可以使用偏导数来求像极值•应用题中要仔细分析问题，确定目标函数和约束条件典型例题解析通过解析典型例题，深入理解函数极值的概念和求解方法例如，求解函数在给定区间上的最大值和最小值问题通过分析例题，掌握函数极值求解的技巧和步骤，并能够运用这些知识解决实际问题综合应用练习多元化场景1将函数的极值应用于不同场景，如物理、经济、工程等领域，例如求最大利润、最小成本或最佳设计参数等多步骤分析2通过构建函数模型、求导、分析临界点和极值来解决问题，锻炼逻辑思维和问题解决能力挑战性题目3设计难度适中、富含趣味性的练习题，激发学生的学习兴趣和求知欲，提升分析和解决问题的能力课后思考题函数极值应用导数的应用函数图像分析思考如何将函数极值应用到现实生活中，例思考如何利用导数来解决实际问题，例如如思考如何根据函数图像来分析函数的性质，如在经济学中如何利用函数极值来最大化利何用导数来求解函数的切线方程，如何用导例如如何根据图像来判断函数的单调性、极润或最小化成本数来判断函数的凹凸性值、凹凸性课堂小结函数极值应用场景12导数方法是求解函数极值的重要工具，函数极值在优化问题、经济管理、物理它利用导数的符号变化来判断函数的单学等领域都有广泛的应用，例如求解利调性，从而确定函数的极值点润最大化、成本最小化等问题练习巩固3通过练习，加深对函数极值的理解，提高解题技巧，并能够灵活运用相关知识解决实际问题学习目标达成情况通过本节课的学习，你是否已经掌握了以下知识点？12函数极值导数与极值34极值求解方法应用案例拓展阅读推荐数学分析微积分在经济学中的应物理学中的微积分数值分析用提供对微积分和实分析更深入展示微积分在物理学中的广泛学习使用数值方法求解函数的的理解探讨函数极值在经济决策中的应用，例如运动学和动力学极值作用课堂互动交流课堂互动交流是教学的重要环节，有助于提高学生学习兴趣，促进师生之间、学生之间相互沟通交流通过课堂互动交流，可以及时发现学生学习中的问题，并进行针对性的指导教师可以利用课堂互动交流，引导学生思考、讨论、分析问题，促进学生深度理解知识课堂互动交流的具体形式可以多种多样，例如小组讨论、角色扮演、案例分析等教师可以根据教学内容和学生的特点，选择合适的互动形式课程总结理解函数极值运用极值知识学习函数极值的概念、寻找极值的方法以能够利用极值知识解决实际问题，例如最及导数在极值求解中的应用大最小值问题和经济管理中的应用掌握极值判定、一元函数和二元函数的极培养分析问题、解决问题的能力，提升数值求解方法学素养和应用能力问卷调查反馈收集学生对课程内容、教学方式等方面的意见和建议分析问卷数据，了解学生的学习情况和对课程的评价根据问卷反馈结果，改进教学方法，提高教学质量下一步学习计划深入研究1学习更高级的微积分概念，例如多变量微积分和向量微积分实践应用2尝试将微积分知识应用到实际问题中，例如物理学、经济学或工程学拓展阅读3阅读更多关于微积分的书籍和文章，以加深理解学习微积分是一个持续的过程，不断深入学习和实践才能掌握精髓。