利用均值不等式求最值课件

利用均值不等式求最值均值不等式是一个重要的数学工具，可用于求解函数的最大值和最小值它在解决优化问题、几何问题和物理问题中发挥着关键作用课程导入欢迎大家学习利用均值不等式求最值在接下来的课程中，我们将深入探讨均值不等式的原理和应用通过学习，我们将掌握运用均值不等式解决各种优化问题的技巧什么是均值不等式算术平均数几何平均数

1.

2.12算术平均数是指将所有数据加几何平均数是指将所有数据乘总后除以数据的总数，得到的积开方，开方次数等于数据的结果就是算术平均数，也称为个数，得到的结果就是几何平平均数均数均值不等式

3.3均值不等式是指在一定条件下，算术平均数大于或等于几何平均数，并且等号成立的条件是所有数据都相等算术平均数的性质非负性单调性加权平均数比较大小算术平均数永远是非负的，当如果一组数字都增加，那么它可以为每个数字分配权重，以算术平均数可以用来比较不同且仅当所有数字都为零时，算们的算术平均数也会增加反映其在平均数中的重要性组数字的大小术平均数才为零几何平均数的性质定义几何平均数是个非负数的乘积的次方根n n等式当且仅当所有数相等时，几何平均数等于算术平均数不等式几何平均数总是小于或等于算术平均数调和平均数的性质定义特点调和平均数是倒数的算术平均数的倒数调和平均数对较小的数值比较敏感，更能反映数据中较小数值的影响用于计算一组数据中各个数据的倒数的平均值，再取倒数，得到这组数据的调和平均数当数据集中存在极端值时，调和平均数更能反映数据中较小数值的真实水平均值不等式的推广推广形式1均值不等式可推广到多个变量的情况，例如，对于个非负数n a1,，有，当且仅当a2,...,an a1+a2+...+an/n≥√[n]a1a

2...an时等号成立a1=a2=...=an权重形式2可以引入权重，例如，对于个非负数，以及个n a1,a2,...,an n正数，有w1,w2,...,wnw1a1+w2a2+...+wnan/w1+w2+...+wn≥，当且仅当√[w1+w2+...+wn]a1^w1a2^w

2...an^wn时等号成立a1=a2=...=an柯西施瓦茨不等式-3均值不等式是柯西施瓦茨不等式的特例，柯西施瓦茨不等式更一--般，适用于任意实数，而均值不等式只适用于非负数应用举例一已知均为正数，且求的最大值a,b a+b=10,a*b由均值不等式可知，当时，取最大值a*b≤[a+b/2]^2=25,a=b=5a*b25应用举例二梯形面积长方形周长圆形面积已知梯形的上底为，下底为，高为已知长方形的长为，宽为求长方形的已知圆的半径为求圆形的面积a bh a b r求梯形的面积周长应用举例三在等式中，变量的乘积是常数目标是最大化或最小化变量的和应用均值不等式，可以轻松地求解该问题的最值应用举例四求证对于任意的正数满足，求证a,b,c,a+b+c=1a^2+b^2+c^2≥1/

3.利用均值不等式，我们可以将表示为a^2+b^2+c^2a^2+b^2+c^2/3≥[a+b+c/3]^2=1/

9.因此，成立这就是利用均值不等式求解不等式的一种a^2+b^2+c^2≥1/3常用方法应用举例五求函数的最小值y=1/x+x x0利用均值不等式，可得1/x+x≥2√1/x*x=2当且仅当时，即时，等号成立1/x=x x=1因此，函数的最小值为y=1/x+x x02应用举例六已知求证a0,b0,a+b≥2√ab.证明根据均值不等式，我们有，所以a+b/2≥√ab a+b≥2√ab.应用举例七最大面积最小成本最短距离已知矩形的周长为，求该矩形面积的某工厂要建造一个长方形的仓库，仓库的面一条河宽米，一个人要从河岸的点走20cm100A最大值积为平方米，问仓库的长和宽各为多到对岸的点，然后沿河岸走到点，问此100B C少时，建造仓库的成本最低人应选择怎样的路线才能使总的路程最短？应用举例八山峰高度日出时间已知山峰高米，一名登山者从山脚爬到山顶，再从山顶回到山已知太阳升起时间为，落下时间为，求太阳在一天中1006:0018:00脚求登山者在整个过程中爬行的路程和位移照射地球的时间应用举例九求函数的最小值fx=x^2-4x+5利用均值不等式2√x^25-4x≤x^2+5-4x整理得2√5x^2-4x^3≤x^2-4x+5当且仅当时，等号成立x^2=5-4x解得，此时的最小值为x=1fx f1=2应用举例十求函数的最大值y=x+1/x^2+x+1令，则，±，则x^2+x+1=t t0x=-1√4t-3/2y=t-1/t=1-1/t由均值不等式可知，则，所以t≥31/t≤1/3y≤2/3当，即时，取到最大值t=3x=1y2/3应用举例十一最值问题距离问题优化问题几何图形中，常需要求面积、体积等最值问求两点之间最短距离或求点到直线距离问求最佳方案或优化方案问题，例如最大化利题题润、最小化成本等应用举例十二求函数在区间上的最大值和最小值y=x+1/x+2[0,1]利用均值不等式，可以将函数转化为更易求解的形式，从而得到最大值和最小值应用举例十三求证对于任意实数，，，都有a bc a2+b2+c2≥ab+ac成立+bc证明由均值不等式，有，a2+b2/2≥√a2b2=ab，a2+c2/2≥√a2c2=ac b2+c2/2≥√b2c2将三个不等式相加，即可得到结论=bc a2+b2+c2≥ab+ac+bc总结1均值不等式应用广泛均值不等式是一个重要的数学工均值不等式在数学、物理、经济具，它可以帮助我们求解最值问等领域都有广泛的应用题重要结论均值不等式告诉我们，当两个正数的积为常数时，它们的和最小，且只有当这两个数相等时，和取到最小值总结2掌握应用技巧巩固练习拓展延伸灵活运用均值不等式解题，注意条件与结论通过大量的练习，不断积累解题经验，提高深入了解均值不等式的本质和应用范围，拓的关系，并能灵活运用各种变形技巧解题能力和思维能力展其在其他领域中的应用总结3均值不等式在数学中广泛应用，它可以解决许多最值问题在学习过程中，要注意条件的限制，要学会灵活运用均值不等式运用均值不等式，可以快速找到函数的最值，并能方便地进行函数图像的绘制例如，如果条件中包含不等式，就需要用均值不等式来解题，如果条件中包含等式，就需要用等号成立的条件来解题练习1设，，为正数，求证a bc a^2+b^2+c^2≥ab+ac+bc证明利用均值不等式可得a^2+b^2≥2aba^2+c^2≥2acb^2+c^2≥2bc将以上三个不等式相加，即可得证a^2+b^2+c^2≥ab+ac+bc练习2已知、为正数，且，求的最小值a ba+b=11/a+1/b利用均值不等式求解，可以得到1/a+1/b=2√1/a*1/b=2√1/ab根据算术几何平均不等式，当且仅当时等号成立1/a=1/b由可得，此时的最小值为a+b=1a=b=1/21/a+1/b4练习3已知、、为正数，且，求证a bc a+b+c=3a^2+b^2+c^2=

3.利用均值不等式，我们可以证明首先，根据均值不等式，a^2+b^2+c^2=3，所以a^2+b^2+c^2/3=a+b+c^2/9=1a^2+b^2+c^2=3由于，因此，可以得到a+b+c=3a^2+b^2+c^2/3=1a^2+b^2+c^2=3练习4已知为正数，且，求证a,b,c a+b+c=11/a+1/b+1/c≥9证明由均值不等式，得a+b+c/3≥³√abc因为，所以，即，故a+b+c=1³√abc≤1/3abc≤1/271/a+1/b+1/c≥3√1/a*1/b*1/c=3√1/abc≥9等号当且仅当时成立a=b=c=1/3练习5已知、、为正实数，且，求证abc a+b+c=1a2+b2+c2≥1/3证明由均值不等式，得，，将三式相加，得a2+b2/2≥ab1/2b2+c2/2≥bc1/2c2+a2/2≥ca1/2再由均值不等式，得a2+b2+c2≥ab1/2+bc1/2+ca1/2[ab1/2+bc1/2+ca1/2]/3≥[ab1/2bc1/2ca1/2]1/3=abc1/3又因为，所以，所以a+b+c=1abc≤a+b+c3/27=1/27abc1/3≤1/271/3=1/3综上所述，a2+b2+c2≥1/3下一步继续探索均值不等式的应用，并学习如何灵活运用该不等式解决更复杂的数学问题。